历史上有过多少次数学危机？
第二个数学危机源于微积分工具的使用。随着人们对科学理论和实践认识的提高，微积分这一尖锐的数学工具在十七世纪几乎同时被牛顿和莱布尼茨独立发现。这个工具一出来，就显示出了它非凡的威力。使用这个工具后，许多难题变得容易了。但是牛顿和莱布尼茨的微积分理论都不严格。他们的理论都是建立在无穷小分析的基础上，但他们对无穷小这一基本概念的理解和应用是混乱的。因此，微积分从诞生之日起就受到一些人的反对和攻击。其中，攻击最猛烈的是英国大主教贝克勒。
罗素悖论与第三次数学危机
19世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，该理论刚产生时就遭到了许多人的严厉抨击。但很快这一开创性的成果就被广大数学家所接受，并赢得了广泛而高度的赞誉。数学家发现，从自然数和康托尔的集合论出发，整个数学大厦就可以建立起来。因此，集合论成了现代数学的基石。“一切数学成就都可以基于集合论”的发现让数学家们陶醉。1900年，在国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱兴高采烈地宣称:“……借助集合论的概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说已经达到了绝对的严格……”
唱诗人领唱者
然而好景不长。1903，一个震惊数学界的消息出来了:集合论有缺陷！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构建了一个集合S: S是由所有不属于自己的元素组成的。然后罗素问:S属于S吗？根据排中律，一个元素要么属于一个集合，要么不属于一个集合。所以，对于一个给定的集合，问它是否属于自己是有意义的。但这个看似合理的问题，答案会陷入两难。如果s属于s，根据s的定义，s不属于s；另一方面，如果S不属于S，那么根据定义，S也属于S。无论如何都是矛盾的。
罗素
事实上，这个悖论在罗素之前的集合论中就已经发现了。比如在1897中，Burali和Folthy提出了最大序数悖论。1899年，康托尔本人发现了最大基数悖论。但由于这两个悖论在集合中涉及到很多复杂的理论，所以只在数学领域产生了很小的涟漪，未能引起很大的关注。罗素悖论则不同。非常简单易懂，只涉及集合论中最基本的东西。所以罗素悖论一提出就在当时的数学界和逻辑界引起了极大的震动。例如，g .弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后悲伤地说:“一个科学家遇到的最不愉快的事情，就是他的基础在工作结束时崩塌。拉塞尔先生的一封信就让我陷入了这种境地。”戴德金因此推迟了他的文章《数字的本质和功能是什么》的第二版。可以说，这个悖论就像是在数学平静的水面上扔了一块巨石，它引起的巨大反响导致了第三次数学危机。
危机过后，数学家们提出了自己的解决方案。希望通过限制集合的定义来改造康托的集合论，消除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以确保消除所有的矛盾；另一方面，它必须足够宽泛，以便康托尔集合论中所有有价值的内容都可以保留下来。”1908年，策梅罗根据自己的原理提出了第一个公理化集合论体系，后来被其他数学家改进，称为ZF体系。这个公理化的集合论体系在很大程度上弥补了康托朴素集合论的缺陷。除了ZF系统，集合论还有许多公理系统，如Neumann等人提出的NBG系统，公理集合论系统的建立成功地排除了集合论中的悖论，从而成功地解决了第三次数学危机。但另一方面，罗素悖论对数学的影响更为深远。它使数学的基本问题第一次以最迫切的需求摆在数学家面前，引导数学家去研究数学的基本问题。这方面的进一步发展深刻地影响了整个数学。比如围绕数学基础的争论，在现代数学史上形成了三个著名的数学学派，每个学派的工作都推动了数学的大发展。