函数概念的历史

函数概念的早期演变是这样的:起初，x的函数只是x的幂；然后，把它的意义推广到一个带x的代数表达式；之后从代数表达式推广到含x的任意解析表达式；最后，从任何一个解析式来看，它都广泛依赖于X或者由X决定的任何一个变量，同时，一元函数已经扩展到多元函数。

2.从约翰·伯努利到欧拉

在1694中，约翰·伯努利提到函数是“由一个不定量和一个常数组成的确定量”。在1718中，他第一次明确提出了函数的新定义:“变量的函数是由该变量和一些常数以任何方式组成的量。”

欧拉在约翰·伯努利定义的基础上，在《无穷分析导论》中首次用解析式定义了函数:“变量的函数是由该变量和一些数或常数以任意方式组成的解析式。”

1755年，欧拉在《微分基础》中更新了函数的定义:“如果一些量依赖于另一些量，当后几个量发生变化时，前几个变量也发生变化，那么前几个量称为后几个量的函数。”

欧拉对“解析公式”和“依赖”的定义对后世影响深远。在19世纪中叶之前，它们是函数定义的蓝图。

3.百科全书中的函数定义

在1757到1838的欧美百科全书或数学词典中，函数的解析定义是绝对占优势的。虽然欧拉已经定义了“代数函数”和“超越函数”，但各种百科全书的作者都没有区分“代数表达式”和“超越表达式”，把“代数表达式”和一般的“解析表达式”混为一谈。只有德·摩根严格区分了这两者。他把我们今天所说的代数函数称为“普通代数函数”，其他所有函数都是超越函数。

4.函数定义演化过程的结论(1855之前)

(1)欧拉对“依赖”的定义并没有影响“解析公式”定义的广泛传播。19世纪中叶以前，英、法、美等国的百科全书和微积分著作中对函数的定义都是基于欧拉的两个定义。解析定义在1840之前占主导地位，但在1840之后逐渐退出历史舞台。

(2)19世纪中叶之前，柯西、傅立叶、狄利克雷、黎曼先后突破了欧拉定义的局限性，但在很长一段时间内，旧定义仍然大行其道，近代定义从诞生到被普遍接受经历了一个曲折而艰难的过程。

(3)从历史上看，函数的定义在微积分和代数教材中一直是滞后的。

(4)“函数”的中文名来源于函数“解析式”的定义，它的诞生具有一定的历史偶然性。