一个数学家的故事
中国最杰出的数学家陈省身最近去世了。临终前，他一直说，“送我去希腊。”就像麦加是伊斯兰教的圣地，恒河是佛教徒的圣地一样，数学家和哲学家的圣地是希腊。古希腊群星璀璨，亚里士多德、苏格拉底、阿基米德等博学睿智的人把其他民族甩在了后面。有记载的第一个哲学家和数学家是泰勒斯。哲学从泰勒斯开始。他预言了一次日食，所以我们很幸运能够根据这一事实确定他的年代。根据天文学家的说法，这次日食发生在公元前585年。他第一次证明了在一个圆上，直径对应的圆周角是90度，这也标志着这种几何的诞生和证明的开始。希腊人中有如此多的哲学家和数学家，几乎可以肯定那里的公民有辩论的自由，他们崇尚逻辑思维而不是武力。
毕达哥拉斯是希腊数学家中的杰出人物，他创立的有理数概念对于中国一些高学历的人来说还是一件很难的事情。说起来很难，其实不然。关键是学习知识太功利了。彻底理解这个概念远比背诵一段政治文章容易。上高等数学课的时候，几乎每年都有人问我:“老师，学这个有什么用？”希腊的欧几里德遇到有人问他这个问题，就从口袋里掏出一枚硬币，对仆人说:“把这枚硬币给他。他问学几何是什么？学几何赚不到钱。让他拿着这个硬币走吧！”
毕达哥拉斯是历史上最有趣也最难理解的人物之一。他的传说不仅几乎是不可分割的真实与荒诞的混合体，甚至以这些传说中最简单、最少争议的形式，也为我们提供了最奇特的心理。他建立了一个宗教，主要教义是灵魂转世和吃豆之恶。他的宗教体现在一个宗教团体中，这个团体获得了对国家的控制，并在各地建立了一套圣人统治。但是还没有改过自新的人都是急于吃豆的，所以迟早都要造反。
毕达哥拉斯教派有一些规则:
1.禁食豆。
2.不要捡起你落下的东西。
3.不要碰白色的公鸡。
4.不要打破面包。
5.不要跨过门闩。
6.不要用铁拨火。
7.不要吃整个面包。
8.不要邀请花环。
9.不要坐在桶上。
10.不要吃心。
11.不要走在路上。
12.房间里没有燕子。
13.当锅从火上取下来的时候，不要在灰烬上留下锅的印记，而要擦掉。
14.不要看灯旁边的镜子。
15.当你脱下睡衣时，把它们卷起来，抚平你身上的痕迹。
毕达哥拉斯认为数是万物之源，所有的数都可以写成两个自然数相除的形式。毕达哥拉斯，或者说他的弟子们，在几何学上最伟大的发现，是关于直角三角形的命题；即一个直角两边的平方和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道，如果一个三角形的边长是3、4和5，那么一定有一个直角。但是毕达哥拉斯第一个给出了严格的证明，所以这个定理也是以他的名字命名的。这个定理在中国被称为勾股定理，但至今没有得到广泛认可。
不幸的是，毕达哥拉斯的定理立即导致了不可约数(无理数)的发现，这似乎否定了他的所有哲学。他的一个学生用毕达哥拉斯定理证明了当正方形的边长为1时，对角线长度不能用任意两个整数相除来表示，即不是有理数。这恰恰否定了毕达哥拉斯关于数的存在是理性的观点。这个学生的发现导致了他的死亡:他被他的会众扔进了海里。这一事件被称为数学史上的第一次危机，它否定了所有数字都是理性的结论。直到18-19世纪，关于微积分严谨性的讨论才给出了第一次数学危机的答案。
不懂几何的人不得入内，阿基米德裸奔。
现在中学生正在学习的平面几何，来源于两千多年前的一部奇书:《几何原本》，这是古希腊数学家欧几里得的不朽杰作，是当时整个希腊数学方法和思想的结晶。它的内容和形式对几何学本身和数学的发展有着不可估量的影响。自问世以来，已经流行了两千多年。它已经被翻译和修改了很多次。自1482年第一次印刷版本问世以来，已有1000多个不同的版本。除《圣经》外，无著作，其研究、使用、传播之广泛，可与《几何原本》相提并论。但《几何原本》有着超越民族、种族、宗教信仰、文化意识的影响力，是《圣经》无法比拟的。《几何原本》的希腊手稿现已失传，其所有现代版本都是基于希腊评论家席恩所写的修订版。《几何原本》修订卷13共有465个命题，内容是阐述平面几何、立体几何、算术理论的系统知识。
几何元素对数学的影响是不可估量的。人类历史上第一次采用公理系统来讨论数学。就是假设一些命题在没有证明的情况下被认可，所有的定理和结论都是基于这些公理的逻辑推导。到目前为止，中学生所学的平面几何和立体几何都没有超出几何元素的范围，所以可以说这是对人类思想影响最远的数学书籍。现代数学的公理化方法都来源于欧几里得的《几何原本》。
古人学几何更是难上加难。据说他们在学习等腰三角形的两个底角相等的定理时，很多人无论如何也学不会，所以这个定理也被称为‘驴子的梯子’，意思是它难倒了一大批人。直到现在，平面几何的一些知识或者立体几何的一些定理仍然难倒了一大批人。也许学数学需要一些天赋。所以，当多萝西国王向欧几里得寻求学习几何的捷径时，欧几里得告诉他，“在几何上没有国王的捷径。”
数学上，古希腊人提出了“三大问题”:平分任意角度；双立方体，求一个立方体，使其体积是已知立方体的两倍；把圆变成正方形，求一个正方形，使其面积等于已知的圆。这些问题的难点在于只允许用尺子(没有刻度的尺子)和圆规作图。这类问题直到现代群论出现才得到解决，这三个问题都是不可解的。
阿基米德是研究几何元素的最杰出的学生之一。11岁时，他离开家乡，到当时希腊的文化中心亚历山大学习《几何原本》。按辈分，他应该是欧几里德的弟子。他在数学和物理方面的奇迹使他成为人类历史上最杰出的科学家。一个著名的故事是，叙拉古国王黑洛委托一个金匠打造了一顶纯金王冠，但他怀疑里面掺杂了银。当然，剖开皇冠是不可能检验的，所以他请阿基米德来鉴定。有一次，他在洗澡打坐时，水溢出了盆外，于是他意识到，虽然不同材质的物体重量相同，但排出的水不会因为体积不同而相等。根据这个道理，可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来，光着身子跑回家，喊着:“找到了！尤里卡！”(我发现了)，于是我就开始在街上裸奔，直到回到家。
他在数学方面的发现和创造数不胜数。阿基米德螺线，抛物线上求面积的弓形方法包含现代积分思想，求圆的面积、球的表面积和体积的公式，求圆周率的方法和误差估计等等。到现在为止，世界上活着的人，至少有60%的人数学不如两千年前的阿基米德。
阿基米德的死也很传奇，甚至可以拍成一部精彩的电影。公元前212年，罗马军队入侵叙拉古，闯入阿基米德家。他们看到一个老人把头埋在地上的几何图形里，士兵们踩坏了沙盘。阿基米德对士兵怒喝道:“不要破坏我的画！”士兵拔出匕首，刺向这位举世无双的伟大科学家。阿基米德死于愚蠢无知的罗马士兵之手。另一个版本是他临死前说的:“让我说完最后一个问题。”
关于阿基米德在数学史上的地位，美国数学史家贝尔(E.T. Bell)在《数学人物》中这样评价阿基米德:“任何一份开放的有史以来最伟大的三位数学家的名单中，一定会包括阿基米德，而另外两位通常是牛顿和高斯。但是，与其辉煌的成就和时代背景相比，或者说与其对当代和后世的深远影响相比，阿基米德应该是第一个被推崇的。”
三牛顿时代有马甲。
从古希腊数学到现代微积分，经历了很长一段时间的停滞。在此期间，各国都产生了一些杰出的数学家和一些成就，但这些成就都是零星的、非本质的。中国最骄傲的数学家是祖冲之，他把圆周率算到了小数点后7位。
17世纪中期以后，数学知识的火山似乎在一夜之间爆发了。其中，以微积分为代表的变量数学彻底改变了人们的数学思维和方法，解决了物理学中提出的大量问题，对传统方法无法想象的问题给出了解决方案。在微积分发现优先权之争中，英国数学家和大陆数学家发生了严重的争执。牛顿随后用许多编造的名字来‘证明’莱布尼茨的知识不是原创，而是从牛顿那里抄袭来的。他言辞之尖刻，谩骂之恶毒，令人难以想象。莱布尼茨去世后，牛顿还大谈如何让莱布尼茨穿背心心碎，沾沾自喜。
在这个时代，法国的伯努利家族是一个数学世家，三代十多位杰出的数学家。这个家里所有的人脾气都不好。最奇怪的是，他们一开始不搞数学，后来都迷上了数学。因为儿子得了数学奖，父亲吃醋，把儿子踢出了窗外。
1696年，约翰·伯努利在《教师杂志》上提出了最快下降线的问题，公然针对他的哥哥雅可比·伯努利，这两个人在学术界一直是势不两立。据说约翰在试图寻找悬链线方程的时候，一夜之间就得到，雅可比做了一年还这么想。那份杂志是莱布尼茨赞助的，影响很大。欧洲所有杰出的数学家都试图解决这个问题。最后，约翰收到了五个答案，包括他自己的，莱布尼茨的，罗比达侯爵的，然后是他哥哥雅各比的，最后一个是匿名的，盖有英国邮戳。
这个问题陈述起来很简单，就是平面上有两点A和B，这两点之间的连线既不水平也不垂直。试着找出连接这两点的曲线，使一个球在自身重力作用下，以最快的时间从这一点滑到那一点(不考虑摩擦阻力)。
据说牛顿已经从科学的第一线退休，并担任了皇家铸币局局长的高薪职位。辛苦了一天回到家，在壁炉前看到了贝辛苦的问题。我熬夜到凌晨4点，把它做完了。贝试着看到匿名回答说:“我看到狮子露出爪子了。”在这么多解中，约翰的应该是最美的一个，类比费马光学原理，用光学做出来的。但从影响力来说，我哥的做法确实体现了变分的思想。思路是把每条曲线看成一个变量，然后每条曲线上花费的时间就是曲线的函数，这就是泛函。类似于求微积分最大值和最小值的方法，把微积分推广到一般的函数空间，这就是变分法。但变分法真正成为理论还是属于约翰的弟子欧拉和法国的拉格朗日。
北京家族在欧洲享有很高的声誉。有一个传说，约翰·北京的儿子丹尼尔·伯努利曾经游历欧洲。他和一个陌生人聊天，谦虚地介绍自己:“我是丹尼尔·北京。”那人当时就生气了，说:“我还是艾萨克·牛顿吗？”从那以后，在很多场合，丹尼尔都深深地回忆起这段经历，把他当成自己听过的最发自内心的赞美。
牛顿死后，有人写了一首诗赞美他:
宇宙和自然的法则隐藏在黑暗中。
上帝说:让牛顿诞生吧。
于是一切都变得轻了。
贝耶家族对数学最大的贡献不在于数学本身，而在于欧拉的发现。
四个数学英雄欧拉
要问历史上这些数学家中我最崇拜谁，那一定是欧拉。
欧拉小学被开除是因为他问的问题太多，太让老师为难了。有人说欧拉说话前就懂算术，高斯也是。高斯一岁就能发现父亲账本中的计算错误，但这一定是个传说。但欧拉从小就知道等周原理:在所有周长固定的图形中，面积最大的一定是一个圆。
著名的约翰·贝耶是欧拉父亲的朋友。第一次见到六岁的欧拉，被他迷惑了:“我知道一个数字6，它有一个因子1，2，3，6，加起来是6的两倍；还有一个数字28，因子是1，2，4，7，14，28，加起来是28的两倍。这样的数字有多少？”这类数称为完全数或欧拉数，最后给出偶完全数的表达式，这是后来的事。对于奇数的情况，谁能正确证明有或没有，谁就一定能获得现在数学的最高奖。欧拉17岁获得瑞士巴塞尔大学硕士学位。欧拉全神贯注于数学，以至于他不得不规定吃饭时不准看书。19岁时，受俄罗斯卡德琳娜女王邀请到彼得堡科学院学习。
欧拉解决了太多的问题，在解决问题的过程中创造的方法创造了数学的很多分支。欧拉通过解决著名的七桥问题开创了拓扑学，哥德巴赫猜想因哥德巴赫与欧拉的交流而闻名。由欧拉首先证明了任意正整数都可以写成不超过四个平方的和，这是一个近两千年来一直没有解决的问题。数论，几何，力学，天体力学，到处都留下欧拉的足迹。现代数学的符号和表达式，如三角形、指数、e、I、π等。，都是欧拉创立的。欧拉写出了历史上第一本通俗的微积分教材。后来所有的微积分教材，不是抄袭欧拉，就是抄袭欧拉。
欧拉学习数学就像人在呼吸，鸟在飞翔一样自由自在。
欧拉很早以前就发现了‘变分法’，但当他发现法国人拉格朗日也有这种思想时，他把自己的藏了起来，一直不公开，把成名的机会留给了年轻人。
欧拉年轻时因为读书太多，失去了一只眼睛。到59岁时，他的左眼逐渐失明。就在他完全失明前试图抢救资料的时候，一场大火毁了他所有的资料。
欧拉的大部分工作都是在失明后完成的，包括四平方定理。
欧拉的两个学生因为一个无穷级数的答案不同而发生了争执。盲人欧拉仔细计算，发现了小数点后第50位的错误，证明两个学生都错了。这是欧拉。
五个业余高手(1)
在分工越来越专业的今天，无论是竞技体育还是专业领域，业余爱好者可能永远达不到专业人士的水平。以围棋为例。每年国内的职业vs业余比赛都是最高的。虽然职业选手放弃两名选手，但业余选手几乎全军覆没，棋坛也是如此。然而，韩国围棋专家刘昌赫曾经是一名业余棋手，但他最终达到了职业超一流棋手的水平。国际象棋全国冠军陶汉明曾以业余棋手起家，曾获全国亚军的金波也是业余棋手。然而，这些只是极端的个别例子。
在数学发展的初级阶段，业余数学家取得了令人瞩目的成就。在我看来，Femart从古至今都不应该和它相提并论，估计以后也不会有超越他的业余数学家了。费马(1601 ~ 1665)是传说中的业余数学家。他先是学习法律，以当律师为生，后来成为议员。数学只是他的爱好，只能在业余时间学习。虽然直到近30岁才认真关注数学，但费马对数论和微积分做出了一流的贡献。费马提出了光沿最快路径传播的原理，进而揭示了隐藏在光的折射定律背后的自然界的秘密。原来，只有遵守折射定律，才能保证光从一点到达另一点的最短时间。费马给我们留下了很多数论中的定理和猜想，有相当一部分没有被证明。选择这两个‘定理’中最有趣的两个，介绍给你。
费马猜想2 (2 n)+1(其中符号“”代表幂，如4 ^ 2 = 16)形式的数都是质数，这些数就成了费马数。对于n = 0，1，2，3，4，证明为真。但对于n = 5，欧拉用心算出来，2(2 ^ 5)+1 = 2 ^ 32+1 = 641×6700417不是素数。有趣的是，对于其他n，到目前为止还没有发现费马数是质数。
先说著名的费马大定理:是费马死后，人们整理他的笔记时发现的。费马热衷于研究不定方程。我想能坚持看完这篇文章的读者应该都知道勾股定理，知道3 ^ 2+4 ^ 2 = 5 ^ 2，5 ^ 2+12 ^ 2 = 13 ^ 2，等等。这种数叫做毕达哥拉斯数(国际上称为毕达哥拉斯数)。这种数字是怎么产生的？在古希腊，费马读到一本关于毕达哥拉斯数的叫丢番图方程的书时，在旁边写道:一个整数的立方不可能写成两个整数的立方之和，一个整数的四次方不可能写成两个整数的四次方之和，等等。我找到了一个很奇妙的证明，可惜这个数字旁边的空白处太少，我写不下来。
费马的不成文证明，天知道有没有，但他的话骗了很多人。欧拉和高斯试图证明这个定理，但都失败了。一战前有个德国人悬赏10万马克给第一个证明费马大定理的人。当时，许多业余专家参与了这场有奖竞赛，但没有一个被证明是正确的。一战后，德国马克贬值，这笔奖金变成了一堆废纸。有人问大数学家希尔伯特为什么不尝试证明这个定理。他说:“这是一只下金蛋的鹅。我为什么要杀它？”这个定理可以引诱很多人从事数学研究，但并没有被证明更好。)
这个定理折磨了数学家300年，直到1993，一个叫怀尔斯的数学家用一种不可思议的方式证明了它。1980怀尔斯在剑桥大学获得博士学位，后来去了普林斯顿大学，在那里成为了一名教授。从1986开始，这家伙已经七年没发表过论文了。如果他在中国，他不能指望任何资金和津贴。1993年6月23日，牛顿学院举办了20世纪最重要的数学讲座。200名数学家听了讲座，但只有四分之一的人完全理解黑板上希腊字母和代数所表达的意思。演讲者是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆了演讲最后时刻的情景:“虽然关于演讲的消息已经被新闻界爆料了，但幸运的是他们没有来参加演讲。但台下有人拍下了演讲结束时的场景，研究所所长肯定提前准备了一瓶香槟。我看校样的时候，会场上特别肃穆。当我写完费马大定理的证明时，我说‘我想我就写到这里吧’，会场响起了持久的掌声。”因为他证明了这个伟大的定理。不过说题外话，他后来发现他的证明有漏洞，还折磨了他一段时间。到9月1994，他把所有的漏洞都堵上了。这个证明后来经过提炼，缩短到130多页，原来的证明有400多页。怀尔斯一下子成了媒体的宠儿和明星，这是数学家难得的露脸机会。大概是费马大定理的内容比较容易理解，并且被证明持续了300多年。
怀尔斯的故事告诉我们:目前我国高校评价文章水平只是急功近利，肯定不会有显著的研究成果。
六位业余大师(b)
提到业余数学家或者数学研究者，总是让我肃然起敬。在中国，有一大批热爱数学的人，是出于对数学中哥德巴赫猜想的兴趣。笔者有幸在网络上和生活中遇到了其中的几位。记得在电视节目《东方时空人的故事》里看到一位以业余爱好者的身份研究哥德巴赫猜想的老先生。他靠卖馒头为生，却把大部分收入花在了哥德巴赫猜想上。虽然学数学不用花什么钱，但是要出去买资料问问题，要有差旅费，差旅费。这些研究哥德巴赫猜想的人都有一个共同的特点，几乎都声称自己已经证明了，但却无法在已出版的学术期刊上发表，或者被别人挑出来却还是看不懂。在一些论坛上，经常看到哥德巴赫猜想的证明，有些看起来很巧妙。比如我看到一个证明，就用了集合论中深刻的良序公理，相当于选择公理。他巧妙地构造了一系列集合，可惜他误解了良序公理‘任何集合都可以良序’，一厢情愿地认为良序就是一类集合的包含。毕竟这些人中有少数是抱着“一夜成名”的心态，大部分是出于对数学的热爱，却因为种种原因，没有机会走上全职研究数学的道路。
德国数学家维尔斯特拉斯(weier strass:1815-1897)也是业余爱好者，后来走上了职业数学家的道路。他先学的是法律和金融，曾经在一所中学教书。这大概是最优秀的中学数学老师了。德国是一个哲学家众多的国家，德国人以严谨认真著称，威尔斯特拉斯也是。他的性格最能体现德国人对待真理的态度。他最大的贡献是对微积分的严密性的杰出贡献。
微积分在建立初期，理论上不够严谨，无穷小成为一个神秘而任意的量需要理解。所以在1734年，英国哲学家、大主教贝克勒发表了一篇文章《给一个无神论数学家的忠告》，文章直指微积分的基础——无穷小问题，提出了所谓的贝克勒悖论。他指出:“牛顿在计算x ^ n的导数时，先给x一个增量0，应用二项式(x+0) n，从中减去x ^ n得到增量，除以0得到x ^ n的增量与x的增量之比，然后让0消失，从而得到增量的最终比值。这里牛顿办理了违反矛盾律的手续——先让x有增量，再让增量为零，即让x没有增量。”他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来挥之即去，是荒谬的。)“消失的幽灵的数量...能消化二阶、三阶流的人，不会因为吞下了神学论据而呕吐。”无穷小到底是不是零？无穷小及其分析是否合理？这引起了一个半世纪以来数学界甚至哲学界的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
瓦尔斯特拉斯和一些法国数学家一起，让微积分变得无懈可击。
斯特劳斯还告诉我们，直觉有时是不可靠的，甚至是完全错误的。人们习惯直观地认为连续曲线一定是光滑的，或者说大部分点是光滑的。应用到函数上，我们总是认为连续函数是可导的或者在大多数点上是可导的。然而，Wallstroms给出了一个反例，它在每一点都是连续的，但在任何一点都是不可微的。他指出这个函数不能画出图像，作为当时的中学老师，这确实让数学家们感到惊讶。
1851年，大数学家高斯最得意的弟子黎曼在博士论文中提出了一个原理:狄利克雷原理。利用这一原理可以漂亮地解决变分法中提出的一系列问题，在数学物理中有着广泛的应用。根据微积分理论，狄利克雷原理应该是理所当然的。但是，Wilstrass说，“在没有证明的情况下使用Dilihlai原理是不严格的。”黎曼也很谦虚，于是回应道:“你是对的，但这个原理肯定是对的，我很快就会证明。”但黎曼直到去世也没有证明，是中学老师举了反例，彻底推翻了狄利克雷原理。所以黎曼博士论文中的所有结果都是有问题的。于是数学家卡尔·诺依曼(Karl Neumann)感叹道，“这样一个具有广泛应用前景的奇妙原理，已经永远从我们的视野中消失了。”
1899年，杰出的天才希尔伯特用了不到六页。通过增加一个条件，消除了黎曼理论的缺陷，从而挽救了这个原理。更神奇的是，这也挽救了黎曼的名声，因为黎曼得到的其他结果，利用这个变换原理都是正确的。
这真是一个群星闪耀，数学家自由飞翔的时代。可惜，一去不复返了。
嫉妒人才七天
先说两位英年早逝的数学家，伽罗瓦和阿贝尔，但先说一个故事。
受过初中教育的人都知道，任何一元二次方程都可以用开方公式求解，这大概是一个存在了很久的公式。根与系数的关系称为维耶塔定理，应用范围很广。而求解三次方程、四次方程甚至高阶方程的公式却一直不为人知。文艺复兴时期，一位名叫塔塔格里亚的业余数学家首先得到了这个公式，但他对此保密，这是当时研究者的一个传统。然而，这个消息仍然在一些寻找公式的业余数学家中流传。
一位名叫卡当的业余研究者找到塔塔格里亚，恳求得到塔塔格里亚的真传。这个卡丹不是一个普通的赌徒，但他在赌博中提出了概率的思想。他还热衷于炼金术和占星术。塔塔格里亚一定是被卡丹搬动了。也许卡丹经常跪不起，也许他在甜言蜜语。总之，塔塔格里亚把他知道的一些公式告诉了他。卡当在学会手工解公式后离开了塔塔格里亚，甚至把对塔塔格里亚的承诺也抛在了脑后，写了一本叫‘大书’的书，介绍了三次方程和四次方程的求解方法。于是卡丹出名了，因为他在书中声称自己发现了这些公式。
两个人的争执开始了，解决争执的方法很简单。让我们来一场决斗:他们每人给对方20个问题，看谁能先解决。塔塔格里亚大获全胜，卡丹没有解决任何问题，因为塔塔格里亚教了他一招，没有把公式的大致情况告诉卡丹。这可能是人类历史上第一次数学竞赛。只有两个人参加比赛。这个故事发生在400多年前。但是，这些公式仍然叫做卡当公式，塔塔格里亚连名字都没有。塔塔格里亚只是一个绰号，在意大利语里是‘口吃的人’的意思。
历史就像一条河流。沉在河里的往往是黄金，浮在河上的往往是水草和马粪。
在得到三次四次方程的根公式后，人们寻求五次及以上方程的求解公式。而欧拉高斯等杰出的数学家并没有找到求解公式，成为当时的数学难题。两个年轻人匆匆来到这个世界，又匆匆离去。也许他们来到这个世界的目的就是为了给我们一些惊喜和感叹。
尼尔斯·亨里克·阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个叫Finder的小村庄。阿贝尔很幸运，遇到了一个有数学头脑，却没有多少数学成就的老师。老师很快发现了他的数学天赋，让他很早就接触了微积分。中学最后一年，阿贝尔开始尝试解决困扰数学界数百年的五次方程问题。19岁时，他证明了一般的五次方程解公式不存在，也就是说方程的根不能用方程系数和根号的有限次乘法运算来表示。亚伯认为这个结果非常重要，所以他在当地的印刷厂印刷了他的论文。因为穷，为了降低印刷成本，他把成果浓缩成了6页的小册子。阿贝尔自信地把这本小册子寄给了国内外的一些数学家，包括数学王子高斯，希望得到一些回应。不幸的是，他的文章太简洁了，没人能看懂。当高斯收到这本小册子时，他觉得不可能在这么短的篇幅内证明这个举世闻名的问题——一个连他自己都无法解决的问题。他看也没看就把它扔进了那堆书里。阿贝尔的另一篇论文交给了伟大的数学家柯西，当时他正在欧洲旅行。柯西没看就扔进了废纸篓。