基本事实和公理的区别

“公理”是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识，是判断其他命题是否成立的依据。被人类长期反复实践证明为真，被普遍公认为不需要其他判断证明，也不能被其他判断证明的命题和原理。有些学科是基于这样的公理；“基本事实”就是人证物证都在，逻辑上能证明是正确的。

公理的历史发展通过可靠的论证(三段论和推理规则)从前提(原有知识)引向结论(新知识)的逻辑演绎方法是由古希腊人发展起来的，已经成为现代数学的核心原理。如果没有假设，除了重言式，没有什么可以推导出来。公理是导致一组特定演绎知识的基本假设。

公理是不言而喻的，所有其他的断言(定理如果我们说的是数学的话)都必须由这些基本假设来证明。但从古至今对数学知识的解释都不一样，最终“公理”这个词在今天的数学家和亚里士多德、欧几里得的眼中有了略微不同的含义。

古希腊人认为几何也是几门科学之一，并把几何定理视为等同于科学事实。他们发展并使用逻辑推理作为避免错误的方法，并用它来构建和传递知识。亚里士多德的后分析是对这一传统观点的决定性阐述。

“公理”，用传统的术语来说，是指许多科学分支中一个不证自明的假设。

在各个科学领域的基础上，可能存在一些未被证实的、已被接受的附加假设，这些假设被称为“公设”。公理存在于许多科学分支中，但每个科学分支中的公设是不同的。公设的有效性必须基于现实世界的经验。的确，亚里士多德曾经说过，如果读者怀疑公设的真实性，这门科学的内容就无法成功传播。

传统的做法在《几何原本》中有很好的描述，给出了一些公设(从人们的经验中总结出来的几何常识事实)和一些“公理”(极其基本且不证自明的断言)。