代数几何简介和详细信息
代数族V关于基域K的维数可以定义为V在K上的有理函数域的超越次数，一维代数簇称为代数曲线，二维代数簇称为代数曲面。
代数簇最简单的例子是平面上的代数曲线。例如，著名的费马猜想(也称为费马大定理)可以归结为以下问题:在平面上，方程
代数几何定义的曲线(称为费马曲线)在n≥3时，没有坐标全是非零有理数的点。
另一方面，下面的齐次方程
代数几何在复数域上的射影空间中定义了一条曲线。这是一条椭圆曲线。
代数簇的研究通常分为局部和全局两个方面。局部研究主要是用交换代数讨论代数簇中的奇点以及奇点周围代数簇的性质。
作为奇点的一个例子，我们可以检查由方程xy定义的平面曲线中的原点(0，0)。这是一个区别。
没有奇点的代数簇称为非奇异代数簇。1964年，数学家Nakatomi证明了基域K的特征为0时的奇点消除定理:任何代数簇都是双有理映射下非奇异代数簇的像。
从一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射称为双有理映射，如果它诱导有理函数域之间的同构。两个代数簇V1和V2称为双有理等价，如果V1中有一个稠密开集同构于V2的稠密开集。这个条件等价于V1和V2的有理函数域的同构。由于这种等价关系，代数簇的分类往往可以归结为代数簇的双有理等价类的分类。
目前代数几何研究的重点是整体问题，主要是代数簇的分类和给定代数簇中子群的性质。同调代数方法在这类研究中起着关键作用。
代数几何中的分类理论是这样建立的:对于每一个相关的分类对象(这样的分类对象可以是某一类代数簇，比如非奇异的射影代数曲线，也可以是相关代数簇的双有理等价类)，人们可以找到一组对应的整数，称为它的数值不变量。例如，在射影代数簇的情况下，同调空间在每一阶的维数都是数值不变量。然后，我们尝试在所有具有相同数值不变量的分类对象的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参数簇，使得当参数簇中的点在一个代数结构中发生变化时，对应的分类对象也在对应的代数结构中发生变化。目前只有一部分代数曲线曲面和少数特殊的高维代数簇建立了比较完整的分类理论。研究最深入的是代数曲线和阿贝尔簇的分类。
与子簇问题密切相关的是著名的Hodge猜想:设X是复数域上的非奇异射影代数簇，P是维数小于X的正整数..那么在x中的任何(p，p)型上同调类中都有代数表示。
1935年4月26日，著名科学家爱因斯坦在为诺特举行的追悼会上说:“根据现代权威数学家的判断，诺特女士是女性开始接受高等教育以来最重要、最有创造力的数学天才。在代数领域，最有才华的数学家已经为此忙碌了几个世纪。她找到了一套方法，当前这一代年轻数学家的成长证明了它的重大意义。按照这种方法，纯数学变成了逻辑概念的诗。
EmmyNoether(1882-1935)，1882年3月23日出生于德国大学城爱尔兰的一个犹太家庭，父亲是马克斯·诺特(1844-192655)。
我弟弟FritzNoether (1884 ~)也是数学家。他最初在德国布莱斯劳动研究所担任教授。1935年被纳粹迫害后逃亡苏联，成为西伯利亚托木斯克数学力学研究所教授。他很快被关进监狱，从此再无音讯。
当诺特12岁时，她是爱尔兰罗茨女子高中的一名中学生。她对专门为女孩开设的宗教、钢琴、舞蹈等课程不感兴趣，只对语言学习感兴趣。高中毕业后，她顺利通过了4月的法语和英语教师资格证考试，1900。她原本打算成为一名教师。同年秋，她改变了主意，决定去父亲任教的爱尔兰根大学学习数学。
但当时德国的大学不允许女性注册，所以只能是被审核人，交学费。只有在极少数情况下，他们才能获得讲师的同意，并参加考试以获得文凭。诺特很幸运，于1903年7月通过了考试。那年冬天，她来到哥廷根大学，直接受到希尔伯特、克莱因、闵可夫斯基等著名数学家讲课的鼓舞。1904德国大学重组，允许女学生注册。当年6月，她正式回到爱尔兰注册学习。到1907年底，她通过了博士考试。她的博士论文题目是“三元双二次型不变完备系”，导师是戈丹(1837 ~ 657)。
戈丹是诺特父亲的同事和最好的朋友，他对诺特的早期生活影响很大。诺特的博士论文完全继承了戈丹工作的特点，充满了戈丹式的公式，充满了符号演算。后来，虽然诺特离开了戈丹的研究方向，但她一直对她的导师怀有深深的敬意，她的书房里挂着一幅戈丹的画像。戈丹于1912年去世，他的继任者是施米特和费希尔。在费希尔的指导下，诺特逐渐实现了从戈丹的形式概念到希尔伯特的研究方法的转变。从这个意义上说，费希尔对诺特学术发展的影响可能比戈丹更深。
1915年，哥廷根大学的克莱因和希尔伯特邀请诺特去哥廷根。他们当时热衷于相对论的研究，诺特在不变量理论方面的实力对他们的研究很有帮助。1916年，诺特离开爱尔兰，定居在哥廷根。希尔伯特想帮她拿到哥廷根大学的教学资格，但当时哥廷根大学哲学系的一位语言学教授和一位历史教授强烈反对，因为诺特是女的。希尔伯特在校务会议上愤怒地说:“先生们，我不明白为什么候选人的性别是阻止她获得讲师资格的理由。毕竟我们这里是大学，不是澡堂。”也许因为这句话，他的对手更加愤怒，诺特仍然没有被允许通过。
但她还是在哥廷根的讲台上给学生们讲课，不过是以希尔伯特的名义。第一次世界大战结束后，德意志共和国成立，形势发生了变化。诺特在1919才成为讲师。从1922到1933，她获得了“编外副教授”的职位，这是一个无薪的头衔。只因为她教代数课，从学生交的学费里拿了一点工资。在这种困难的情况下，在希尔伯特和克莱因的相对论的影响下，诺特在1918年发表了两篇重要论文。一个是把黎曼几何和广义相对论中常用的微分不变量变成代数不变量，另一个是把守恒定律和物理学中的不变量联系起来，被称为“诺特定理”。
1920之后，诺特开始建立自己的“抽象代数”。她从不同领域的相似现象出发，对不同的对象进行抽象和公理化，然后统一处理，得出一个普遍的理论，这个理论也可以处理不同领域的特殊性。诺特的理论是现代数学中“环”和“理想”的系统论，完成于1926。一般认为抽象代数的时间是1926。从此，代数的研究对象从研究代数方程根的计算和分布，转变为研究数字、字符和更一般元素的代数运算规则和各种代数结构，从而完成了从经典代数到抽象代数的本质转变。诺特是当之无愧的抽象代数的创始人之一。诺特的学术论文只有40多篇，她对抽象代数发展的巨大影响并不完全来自于她的论文，更重要的是来自于她与同事和学生的接触、交流、合作和讲座。她的讲课技巧并不高明，而且很匆忙，语无伦次。但她经常详细描述自己尚未定型的新想法，这些想法充满了深刻的哲理和非凡的创造。她很爱自己的学生，在她身边形成了一个熙熙攘攘的“家庭”。这些学生被称为“诺特的孩子”。其中有十几个学生后来成了著名的数学家。1928年在意大利博洛尼亚举行的国际数学家大会上，诺特应邀做了30分钟的小组报告。在1932年苏黎士举行的国际数学家大会上，诺特作了一个小时的全体报告。她的报告受到了许多数学家的称赞，赢得了很高的国际声誉。一些上了年纪的数学家亲眼看到了他们用旧的计算方法解决不了的问题，而诺特用抽象代数又漂亮又简单地解决了，不得不让人信服。同年，由于她在代数方面的杰出成就，诺特和艾丁都获得了阿克曼·瑟伯纳奖。然而，就在发布会后几周，厄运就来了。1933 65438+十月，希特勒上台，疯狂迫害犹太人。当年4月26日，当地报纸刊登通告，哥廷根大学6名犹太教授被勒令离开该校，其中一人是诺特。此刻，诺特被剥夺了她在哥廷根大学的低薪职位，她几乎走投无路。起初，她想去前苏联。因为在1928到1929年的冬天，她访问了莫斯科大学，在那里教授抽象代数，并指导了一个代数几何的研讨会，对前苏联的数学和数学家产生了很好的影响，也和前苏联著名的数学家亚历山德罗夫结下了友谊。亚历山德罗夫立即欢迎诺特到莫斯科大学任教，但由于种种原因未能如愿。后来，在著名数学家韦尔的介绍和帮助下，1933年9月，诺特得以移居美国，在美国布林马尔女子学院任教，在普林斯顿高等研究院工作。
在美国期间，诺特每周都去普林斯顿做讲座。当时正在听她讲课的奎因教授回忆说，诺特个子不高，微胖，皮肤黝黑，黑色短发夹着几缕灰丝。她戴着一副厚厚的近视眼镜，用不连贯的英语讲课。她喜欢散步，经常和她的学生一起去远足。在路上，她总是全神贯注地谈论数学，不管行人和车辆，以至于学生们不得不保护她的安全。在诺特的一生中，也许从来没有像在布林马尔学院和普林斯顿高等研究院那样得到过如此的尊重、同情和友谊。然而，她仍然想念她的祖国和哥廷根。1934年夏天，她回到了哥廷根，看到哈塞还在努力重建哥廷根那光荣而悠久的数学传统，她由衷地感到欣慰。
1935年春天，当诺特回到美国时，医生发现她已经被癌症折磨得千疮百孔，肿瘤对她的身体造成了严重的伤害。只有手术能救她的命。手术后，她的病情一度好转，大家都期待她能康复。没想到，我得了手术并发症。
14年4月，这位终身未婚，将全部精力投入到她所热爱的数学事业中的伟大女数学家去世，享年53岁。4月26日，布林马尔学院为诺特举行了追悼会，爱因斯坦为她写了讣告，韦尔为她写了一篇长长的悼词，深切缅怀她的生活、工作和人格:
她曾经是一个充满活力的模特，
凭着她坚定的情绪和活下去的勇气，
坚定地站在我们的星球上，
所以大家对此毫无准备。
她正处于数学创造力的巅峰。
她深远的想象力，
她长期经验积累的技能，
已经达到了完美的平衡。
她热情地开始研究新问题。现在这一切突然结束了，
她的工作突然被打断了。
掉进了黑暗的坟墓，
美丽，善良，善良，
他们都悄悄地去了；
聪明，机智，勇敢，
他们都悄悄地去了；
我知道，但我永远也认不出来。
我不会服从。
代数几何我们对她的科学工作和她的个性的记忆永远不会很快消失。她是一位伟大的数学家，我坚信她也是历史上产生过的最伟大的女性之一。
发展代数几何的起源自然是从研究平面上的代数曲线开始的。对于平面曲线，人们注意到的第一个数值不变量是它的次数，也就是定义这条曲线的方程的次数。由于一、二次曲线是有理曲线(即代数几何意义上同构于直线的曲线)，一般认为，代数几何的研究始于19世纪上半叶对三次或三次以上平面曲线的研究(早期研究的代数簇都是定义在复域上的)。例如，N.H. Abel在对1827到1829的椭圆积分的研究中发现了椭圆函数的二重周期性，从而为椭圆曲线(两者都可以表示为平面上的三次曲线)奠定了理论基础。另一方面，C.G.J Jacoby考虑了椭圆积分的反函数，他的工作是当今代数几何中许多重要概念的基础(如曲线的雅可比簇、θ函数等。).
b黎曼在1857年引入并发展了代数函数论，使代数曲线的研究取得了关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复平面的某种多层重叠平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。在现代语言中，紧致的黎曼曲面与抽象的射影代数曲线一一对应。利用这个概念，黎曼定义了代数曲线最重要的数值不变量之一:亏格。这也是代数几何史上第一个绝对不变量(即不依赖于空间中代数簇嵌入的不变量)。黎曼还首次考虑了所有亏格为G的黎曼曲面的双有理等价类的参数簇问题，发现这个参数簇的维数应为3g-3，尽管黎曼未能严格证明其存在。
黎曼还用解析法证明了黎曼不等式:l(D)≥d(D)-g+1，其中D是给定黎曼曲面上的除数。然后他的学生G. Roche在这个不等式上加了一项，使之成为一个方程。这个方程是F. Hirzebruch和A. Grotendick著名的Riemann-Roche定理的原始形式(见代数函数域)。代数几何——内容继黎曼之后，德国数学家m·诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻性质。诺特还研究了代数曲面的性质。他的成就为日后意大利学派的工作奠定了基础。
从19年底开始，以g .卡斯特尔诺沃、f .恩里克斯、f .塞维利亚、h .庞加莱为代表的意大利学派，(C.-)？以皮卡尔和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们在复域中低维代数簇的分类方面做了大量非常重要的工作，尤其是代数曲面的分类理论，被认为是代数几何中最美的理论之一。然而，由于代数几何的早期研究缺乏严格的理论基础，这些著作中存在许多漏洞和错误，其中一些直到现在也没有得到弥补。
20世纪以来代数几何最重要的进展之一是在最一般的情况下建立了它的理论基础。20世纪30年代，O . Za Riski和B L Van de Walden首先将交换代数的方法引入到代数几何的研究中。在此基础上，20世纪40年代，阿伟利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后通过重构意大利学派的抽象域上的代数对应理论，成功证明了当k为有限域时，代数曲线上的zeta函数具有类似黎曼猜想的性质。20世纪50年代中期，法国数学家J.P .塞尔在层的概念上建立了代数簇理论，建立了凝聚层的凝聚理论，为格罗腾迪克后来建立概率论奠定了基础。概率论的建立使代数几何的研究进入了一个新阶段。概率的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标选在任何有单位元的交换环中，并允许幂零元存在于结构层中。
概率论的另一个重要意义是将代数几何和代数数域的算术统一在同一种语言下，使得将代数几何中的大量概念、方法和结果应用到代数数论的研究中成为可能。这种应用的两个典型例子如下:① P. Deligne将魏一关于zeta函数的定理推广到1973中有限域上的任意代数簇，证明了著名的魏一猜想利用了Grotendick的概率论。②G伪命题证明了1983中的莫德尔猜想。这个结果的一个直接推论是，费马方程x+y=1在n≥4时最多只有有限个非零值，从而在费马猜想的研究上取得了重大突破。
另一方面，20世纪以来，复域上代数几何中的超越方法取得了很大进展，如G.-W .德拉姆的解析上同调理论，W.V.D .霍奇调和积分理论的应用，平方与D. C .斯潘塞的变形理论，以及p .格里菲斯的一些重要工作。
周伟良对20世纪初代数几何的发展做出了许多重要贡献。他建立的圈、圈簇、圈坐标等概念对代数几何的许多领域的发展起了重要作用。他还证明了著名的周定理:如果一个紧复解析流形是射影的，则它一定是代数簇。
20世纪后期，经典复域中低维代数簇的分类理论取得了很大进展。在代数曲线的分类中，由于D.B. Mountford等人的工作，现在人们对代数曲线参数簇Mg有了深刻的认识。20世纪60年代，Mountford将Grotendick的概率论应用于经典的不变量理论，从而建立了几何不变量理论，并用它来证明Mg的存在性及其拟射影性。众所周知，Mg是不可约代数簇，当g≥24时，它是一般的。目前，我们已经开始了解Mg的子代数簇的性质。
代数曲面的分类理论也取得了很大的进展。比如60年代中期，小平邦彦透彻理解了椭圆曲面的分类和性质；在1976中，丘成桐和宫冈洋一同时证明了一般代数曲面的一个重要不等式:с娝≤3с2，其中с娝和с2是曲面的陈数。与此同时，三维或高维代数簇的分类也开始吸引越来越多的兴趣。
代数几何与数学的许多分支有着广泛的联系。除了上面提到的数论，还有解析几何，微分几何，交换代数，代数群，K理论，拓扑学等等。代数几何的发展和这些学科起着相互促进的作用。同时，作为一门理论学科，代数几何的应用前景也开始引起人们的关注，其中之一就是代数几何在控制论中的应用。
近年来，人们在现代粒子物理的最新超弦理论中广泛应用了代数几何工具，这预示着古代代数几何将在现代物理学的发展中发挥重要作用。