平行公理的推理

罗巴切夫斯基几何的公理体系与欧几里得几何的不同之处仅在于将“一对散乱的直线在其唯一的共同垂线两侧无限远”的几何平行公理替换为“至少有两条直线可以从直线外的一点平行于这条直线”，其他公理基本相同。由于平行公理的不同，通过演绎推理，导出了一系列与欧氏几何内容不同的新几何命题。

我们知道，罗巴切夫斯基几何采用了欧几里得几何的所有公理，除了一个平行公理。因此，任何不涉及平行公理的几何命题，如果在欧氏几何中是正确的，在罗氏几何中也是正确的。在欧几里得几何中，所有涉及平行公理的命题在罗巴尔切夫斯基几何中都是不成立的。

罗巴尔切夫斯基几何中的一些几何事实并不像欧几里得几何那样容易被接受。但是数学家提出我们可以用我们习惯的欧几里得几何中的事实作为直观的“模型”来解释罗氏几何，这是正确的。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名的论文《解释非欧几何的尝试》，证明了非欧几何可以在欧氏空间的曲面(如准球面)上实现。也就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几何命题。如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几里得几何自然也没有矛盾。

黎曼几何以欧几里德几何和各种非欧几里德几何为其特例。比如定义了一个测度(a是常数)，当a = 0时是常见的欧几里德几何，当a > 0时是椭圆几何，当a < 0时是双曲几何。

在数学上，欧几里得几何仍然占主导地位；在物理学中，使用黎曼几何，因为根据黎曼几何，光按曲线运动；在欧几里得几何中，光沿直线运动。