函数发展史
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马克思曾认为函数的概念起源于代数中对不定方程的研究。由于罗马时代的丢番图已经研究了不定方程，函数的概念至少在那时就已经萌芽了。
自从哥白尼的天文学革命以来，运动成了文艺复兴时期科学家们的共同兴趣。人们在思考:既然地球不是宇宙的中心，它有自己的自转和公转，为什么落体会垂直落向地球而不是偏转？这颗行星的轨道是椭圆形的。原理是什么？此外，对地球表面射弹的飞行路线、射程和可达高度的研究，以及射弹速度对高度和射程的影响，不仅是科学家试图解决的问题，也是军事家要求解决的问题。函数的概念是从运动的研究中衍生出来的数学概念，运动是函数概念的力学来源。
(2)
早在函数的概念明确提出之前，数学家们就已经接触和研究了许多具体的函数，如对数函数、三角函数、双曲函数等。笛卡尔在1673左右的《解析几何》中就已经注意到了一个变量对另一个变量的依赖性，但是他当时并没有意识到需要提炼函数的一般概念，所以牛顿和莱布尼茨直到17世纪后期才建立了微积分。
1673年，莱布尼茨首先用“函数”这个词来表示“幂”，后来他又用这个词来表示曲线上各点的几何量，如横坐标、纵坐标、切线长度等。可见“函数”这个词原本的数学含义是相当广泛和模糊的。几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中用另一个术语“流”来表示变量之间的关系，直到。瑞士数学家约翰·伯努利在莱布尼茨的函数概念的基础上明确定义了函数的概念。伯努利把变量X和常数以任何方式形成的量称为“X的函数”，表示为yx。
当时由于连接变量和常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，欧拉简单地把用这些运算连接变量x和常数c的公式命名为解析函数，并将其分为“代数函数”和“超越函数”。
18世纪中期，由于对弦振动的研究，达朗贝尔和欧拉先后引入了“任意函数”的概念。达朗贝尔在解释“任意函数”的概念时，说它的意思是“任意的解析式”，而欧拉认为它是“任意画出的曲线”。现在看来，这些都是函数的表达式，是函数概念的延伸。
(3)
函数概念缺乏科学的定义，造成了理论与实践的尖锐矛盾。例如，偏微分方程在工程技术中有着广泛的应用，但函数缺乏科学的定义，极大地限制了偏微分方程理论的建立。从1833到1834，高斯开始将注意力转向物理学。在和w·威尔伯一起发明电报的过程中，他做了大量的磁学实验工作。“力与距离的平方成反比”这一重要理论的提出，使函数作为一门独立的数学分支出现，实际需要促使人们进一步研究函数的定义。
后来人们给了这样一个定义:如果一个量依赖于另一个量，当后一个量变化时，前一个量也随之变化，那么第一个量就叫做第二个量的函数。“虽然这个定义还没有揭示函数的本质，但给函数的定义注入变化和运动，是一个可喜的进步。”
在函数概念的发展史上，法国数学家傅立叶的工作影响最大。傅立叶深刻地揭示了函数的本质，认为函数不必局限于解析表达式。1822，他在他的名著《热的解析理论》中说，“通常，函数代表一组相连的值或纵坐标，每一个都是任意的...，而且我们不假设这些纵坐标服从一个共同的定律；无论从哪方面来说，它们都是相邻的。”在这本书中，他用三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”给出的函数。更准确地说，任何具有2π的周期函数都可以用[-π，π]来表示。
表明，在他们当中，
傅立叶的研究从根本上动摇了关于函数概念的旧传统思想，在当时数学界引起了极大的震动。本来解析式和曲线之间没有不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线联系起来，函数是解析式的观点最终成为揭示函数之间关系的巨大障碍。
通过一场争论，罗巴切夫斯基和狄利克雷的函数定义产生了。
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出了函数的定义:“x的函数是这样一个数，它对每一个x都有一个确定的值，并随x而变化，函数值可以由一个解析式或一个条件给出，它提供了一种求所有相应值的方法。函数的这种依赖性是可以存在的，只是现在还不得而知。”这个定义建立了变量和函数之间的对应关系。
1837年，德国数学家狄利克雷认为X和Y之间的关系如何建立并不重要，所以他的定义是:“如果对于X的每一个值，Y总有一个完全确定的值与之对应，那么Y就是X的函数。”
根据这个定义，即使它表达如下，它仍然被说成是一个函数(狄利克雷函数):
f(x)= 1？(x是有理数)，
0?x是一个无理数。
在这个函数中，如果x的值从0开始逐渐增大，那么f(x)会突然从0变为1。在任何一个小区间内，f(x)都会突然从0到1无限变化。所以很难用一个或几个公式来表达，甚至能不能找到表达式都是个问题。但是能不能用表达来表达，在狄利克雷里面就说了。
狄利克雷对函数的定义极好地避免了以往函数定义中对依赖性的所有描述，并以完全明确的方式被所有数学家无条件地接受。至此，可以说已经形成了函数的概念和函数的本质定义，也就是人们常说的函数的经典定义。
(4)
生产实践和科学实验的进一步发展，引起了函数概念新的尖锐矛盾。20世纪20年代，人们开始研究微观物理现象。1930年量子力学问世，量子力学中需要一个新的函数——δ函数。
即。ρ(x)= 0，x≠0，
∞，x=0。
和
δ-函数的出现引起了激烈的争论。按照函数的原始定义，只允许数与数之间的对应关系，而不把“∞”作为数。另外，不可思议的是，对于自变量只有一个点不为零的函数，但其整数值不等于零。但是，δ-函数确实是实际模型的抽象。比如汽车和火车过桥，很自然。
P(0)=压力/接触面= 1/0 = ∞。
在静止点x≠0，因为没有压力所以没有压力，也就是？P(x)=0。此外，我们知道压力函数的积分等于压强，即
在这样的历史条件下，函数的概念积极发展，产生了新的现代函数定义:如果集合M的任意元素X总有一个由集合N决定的元素Y与之对应，则称一个函数定义在集合M上，记为y=f(x)。元素X称为自变量，元素Y称为因变量。
虽然函数的现代定义与经典定义在形式上只有一字之差，但这是概念上的重大发展，是数学发展的重大转折。现代泛函分析可以作为这个转折点的标志，它研究一般集合上的泛函关系。
函数的定义经过200多年的锤炼和改造，已经形成了现代意义上的函数定义，应该说已经相当完善了。但是，数学的发展是无止境的，函数现代定义的形成并不意味着函数概念发展的历史终结。在过去的二十年里，数学家们将函数归因于一个更广泛的概念——“关系”。
设x和Y，我们定义x和Y的乘积集X×Y为
X×Y={(x，y)|x∈X，y∈Y}。
乘积集X×Y，R的一个子集称为X与Y的关系，若(X，y)∈R，则称X与Y有关系，记为xRy。如果(X，y)R，就说X和y没有关系.
我们假设F是X和Y的关系，即fX×Y Y，如果(X，Y)，(X，z)∈f，必然有y=z，那么F称为从X到Y的函数，在这个定义中，形式上已经避免了“对应”这个术语，使用了集合论的所有语言。
从上述函数概念发展的全过程中，我们体会到联系实际和大量的数学资料来研究、探索和拓宽数学概念的内涵是多么重要。