梯度(数学术语)细节的完整集合

梯度的原意是一个向量(vector)，意思是函数在该点的方向导数在那个方向上得到最大值，即函数在该点的那个方向(梯度的方向)变化最快，变化率最大(梯度的模)。

中文名:gradient mbth: gradient学科:微积分适用范围:数学科学相关概念:方向导数性质:向量定义、推广、应用、定义设一个二元函数在一个平面区域D中有一个一阶连续偏导数，则可以对每个点P(x，y)确定一个向量。这个函数称为函数在P(x，y)点的梯度，记为gradf(x，y)或，即gradf(x，y)= =其中称为(二维)向量微分操作数或Nabla操作数。设它是L方向的单位向量，那么当L方向与梯度方向一致时，方向导数有一个最大值，这个最大值就是梯度的模，也就是说函数在一点沿梯度方向的变化率最大，这个最大值就是梯度的模。广义梯度的概念可以推广到三元函数的情况。设一个三元函数在空间区域g，a点有一阶连续偏导数，称向量为函数在p点的梯度，记为或，即= =这里称为(三维)向量微分算子或Nabla算子。同样，梯度的方向与获得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值。如果物理参数(如温度、速度、浓度等。)在系统中某处是W，在垂直于它的dy处是w+dw，称为物性参数的梯度，即物性参数的变化率。如果参数是速度、浓度、温度或空间，则分别称为速度梯度、浓度梯度、温度梯度或空间梯度。直角坐标系下温度梯度的表达式如右图所示。温度梯度的表达式在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某点的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度就是最大变化率。更严格地说，函数从欧氏空间R n到R的梯度是R n中某一点的最佳线性逼近，从这个意义上说，梯度是雅可比矩阵的特例。在一元实值函数的情况下，梯度只是导数，或者对于线性函数，是直线的斜率。梯度一词有时用于表示坡度，即表面在给定方向上的倾斜程度。斜率可以通过方向梯度和研究方向的点积来获得。梯度的值有时被称为梯度。