代数几何的发展史

史前时代(约公元前400年-1630年)。d)，

探索阶段(探索，1630-1795)，

射影几何的黄金时代(1795-1850)，

黎曼和双有理几何时代(1850- 1866)，

发展和混乱时期(1866-1920)，

新结构和新思想出现的时期(1920-1950)，

最后一个阶段，代数几何史上最辉煌的时期，是层和图式时代(1950-)。

代数几何的对象是欧氏平面中的代数曲线，即多项式P(x，y)=0定义的轨迹，如最简单的平面代数曲线——直线和圆。自古希腊以来，人们就开始研究圆锥曲线和一些简单的三次和四次代数曲线。从前述可以看出，代数方程组的共同零点集的研究离不开坐标表示，所以真正的研究还得从笛卡尔和费马创造的几何图形的坐标表示开始，但这在17世纪就已经发生了。解析几何对于代数曲线和曲面有相当完整的结果。从牛顿开始，对三次代数曲线进行了分类，得到了72类。

此后，分类问题成为代数几何中的一个重要问题，并且这些问题成为大量研究工作的推动力。但另一方面，也正是因为三次或四次代数曲线的分类过于复杂，才促进了解析几何向代数几何的过渡，即在更粗糙的层面上进行分类和一般理论研究。

18世纪AG(代表代数几何，下同)的基本问题是代数曲线或代数曲面的交，等价于代数方程中的消元问题。这一时期取得的基本成果是贝佐定理(Bezhu定理):

设x和y是p ^ 2中两条不同的曲线，度数分别为d和e，设x # y = {p _ 1，p _ 2，...p _ s}是它们的交点，每一点的交点个数记为I(X，Y；P_j)，那么

∑I(X，Y；P_j)=de .

随着19世纪射影几何的兴起，射影几何的方法开始用于研究代数曲线，其中引入了无穷远点和虚点，代数曲线用齐次多项式和射影坐标P (X_0，X_1，X_2)=0表示，允许复数坐标。1834年，德国数学家普鲁克尔得出了一个关于平面曲线的结论。该公式联系了平面代数曲线的代数特征和几何特征，如次数和拐点等。特别证明了普通三次代数曲线(即椭圆曲线)有9个拐点。在1839中，他还发现四次曲线有28条双切线，其中最多有8条是实数。

以上是前三个阶段代数几何的概述。