描述历史上三次数学危机中涉及无穷和无穷的具体问题。
最后，将不可公度量的概念引入几何学，解决了这一危机。两条几何线段若有第三条线段能同时度量它们，则称它们不可公度，否则称它们不可公度。没有第三条线段可以同时测量正方形的一边和对角线，所以它们是不可通约的。显然，只要我们承认不可公度量的存在使得几何量不再受整数限制，所谓的数学危机也就不复存在了。
我认为第一次危机最大的意义是导致了无理数的出现。比如我们现在谈论的东西，是无法用语言表达的。那么就必须引入新的数字来描述这个问题，于是无理数就出现了。正是有了这种思想，当我们对负数求根时，人们引入了虚数I(虚数的出现导致了复变函数等学科的出现，在现代工程技术中得到了广泛的应用)，这让我不得不佩服人类。但我个人认为第一次危机的真正解决在于德国数学家在1872中对无理数的严格定义，因为数学强调其严密的逻辑和推导。
第二次数学危机发生在十七世纪。17世纪微积分诞生后，由于微积分的理论基础，数学出现了混乱的局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下数学史的资料。早在古希腊就形成了微积分的雏形。阿基米德的逼近法实际上掌握了无穷小分析的基本要素。直到2100年后，牛顿和莱布尼茨开辟了一个新世界——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，用无穷小作为除法的分母。当然，无穷小不可能为零。第二步，牛顿将无穷小视为零，去掉包含它的项，从而得到所需公式。在力学和几何学中的应用证明这些公式是正确的，但其数学推导过程在逻辑上是矛盾的。焦点是:无穷小是零还是非零？如果是零，怎么做除数？如果不是零，如何剔除那些包含无穷小量的项？
直到19世纪，柯西详细而系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小作为一个确定的量，甚至是零，是不合理的，会和极限的定义相冲突。无穷小应该越小越好，所以本质上是一个变量，是一个以零为极限的量。至此，柯西澄清了前人的无穷小概念。此外，魏斯特拉斯创立了极限理论，结合实数理论和集合论的建立，从而把无穷小从形而上学的桎梏中解放出来，基本解决了第二次数学危机。
我自己的理解是无穷小量。是否为零取决于它是运动的还是静止的。如果是静态的，我们当然认为可以看作是零。如果是动的，比如说1/n，我们说，但是n 1/n的乘积是1，不是无穷小。当我们遇到这样的情况时，可以用罗必达定律反复求导来考察极限，也可以用泰勒展开式一步一步地展开比值，总会在有限的顺序中比较大小。
第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论震惊了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。
我看过很久以前的“理发师悖论”，就是理发师给不自己理发的人理发。那么理发师应该自己理发吗？还有众所周知的“骗子悖论”，其大致内容是:一个克里特人说:“所有克里特人所说的一切都是谎言。”这句话是真是假？数学上，这是罗素悖论的一个具体例子。
罗素在这个悖论中定义的集合R，几乎被所有集合论研究者认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。虽然是这样，但原因是什么呢？这是因为R是一个集合。如果R包含自身作为一个元素，就会有R ^ R，那么从集合的角度来看就会有R ^ R。一个集合确实包含自身，这样的集合显然是不存在的。因为很明显，R不可能有不同于R的元素，而R and R也不可能相同。所以任何一套都必须遵循R R的基本原则，否则就是非法的。从这个角度来看，罗素悖论中定义的所有R R的集合应该是所有合法集合的集合，也就是所有集合的集合，也就是说，相似的东西包含所有相似的东西，必然导致最大的这种东西。归根结底，R是包含所有集合的“最大集合”。因此，可以清楚地看到，在本质上，罗素悖论是一个以否定形式陈述的极大集悖论。
此后，数学家们一直在寻找解决这一危机的方法，其中之一就是将集合论建立在一组公理之上，以避免悖论。第一个做这项工作的人是德国数学家泽尔梅罗，他提出了七条公理，建立了不会产生悖论的集合论，并通过另一位德国数学家弗里德里希·克尔的改进，形成了没有矛盾的集合论公理系统(即所谓的ZF公理系统)，这场数学危机得到了缓解。
现在通过对离散数学的学习，我们知道集合论主要分为康托集合论和公理集合论。集合首先定义为完备集I和空集，通过一系列一元和二元运算得到。基于七个公理的集合论体系避免了罗素悖论，使现代数学得以发展。