微积分的历史背景
从15世纪初欧洲的文艺复兴开始，工业、农业、航海和商人贸易的大规模发展形成了一个新的经济时代。宗教改革和对教会思想禁锢的怀疑，通过阿拉伯从东方引进先进的科学技术，以及拜占庭帝国崩溃后大量希腊文献涌入欧洲，都给当时的知识分子呈现了一个全新的面貌。16世纪，欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大发展。生产实践的发展给自然科学提出了新的课题，迫切需要力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科又深深地依赖于数学，从而推动了数学的发展。科学对数学的要求最后总结为几个核心问题:
(1)运动中速度和距离的互解
即知道物体移动的距离S表示为时间的函数，就可以用公式S=S(t)求出物体在任意时刻的速度和加速度。反过来，已知一个物体的加速度计是时间的函数，求出速度和距离。这种问题直接出现在研究运动的时候。难点在于所研究的速度和加速度是时刻变化的。比如计算物体在某一时刻的瞬时速度，我们不能像计算平均速度一样，用移动距离除以移动时间，因为在给定时刻，物体的移动距离和所用时间都是0，0/0没有意义。然而，根据物理学，毫无疑问，每一个运动的物体在其运动的每一个时刻都必须有一个速度。用已知速度公式求移动距离的问题也遇到同样的困难。因为速度是时刻变化的，所以我们不能用移动时间乘以任意时刻的速度来得到物体的移动距离。
(2)求曲线的切线
问题本身是纯几何，对科学应用有重要意义。由于研究天文学的需要，光学在17世纪是一项重要的科学研究。为了研究光线通过透镜的情况，透镜设计者必须知道光线进入透镜的角度，以便应用反射定律。这里重要的是光线与曲线法线的夹角，它垂直于切线，所以永远是求法线或切线。另一个涉及曲线切线的科学问题出现在对运动的研究中，就是求运动物体在其轨迹上任意一点的运动方向，即轨迹的切线方向。(3)求长度、面积、体积和重心等。
这些问题包括求一条曲线的长度(比如一颗行星在已知周期内运动的距离)、一条曲线所围成的面积、一个曲面所围成的体积、一个物体的重心、一个比较大的物体(比如一颗行星)对另一个物体的引力。事实上，计算椭圆长度的问题困扰着数学家，以至于在一段时间内，数学家在这个问题上的进一步工作都失败了，直到下一个世纪才获得新的结果。再比如求面积的问题。早在古希腊，人们就用穷举法寻找一些面积和体积。例如，他们用穷举法求区间[0，1]上抛物线与X轴和直线x=1围成的面积S。当n越来越小时，右端的结果越来越接近所需面积的精确值。然而，穷举法的应用必须增加许多技巧，而且它缺乏通用性，而且常常没有数字解。当阿基米德的工作在欧洲出名后，他对求长度、面积、体积和重心的兴趣又复活了。穷举法先是被逐渐修正，然后由于微积分的创立而被根本修正。(4)求最大值和最小值的问题。
炮弹从炮管中射出的水平距离，即射程，取决于炮管对地面的倾斜角度，即射击角度。一个“实际”的问题是找到能获得最大射程的发射角度。17世纪初，伽利略得出结论，发射角为45°时达到最大射程(在真空中)；他还获得了炮弹从不同角度发射后不同的最大高度。研究行星的运动还涉及到最大值和最小值的问题，比如求行星到太阳的距离。