数学家欧拉导论
直到1936，人们才确切知道欧拉到底写了多少作品。但预计出版欧拉文集需要60到80卷。瑞士自然科学联合会于1909年开始收集出版欧拉文集的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体的支持下进行的。这恰恰说明，欧拉属于整个文明世界，而不仅仅属于瑞士。这部作品精心准备的预算(1909硬币约80000美元)被圣彼得堡(列宁格勒)大量欧拉手稿的意外发现彻底打破。
欧拉和丹尼尔·伯努利一起建立了弹性体的力矩定律:作用在弹性细长杆上的力矩与物质的弹性和通过质心轴和垂直于它们的截面的惯性动量成正比。
他还直接从牛顿运动定律建立了流体力学中的欧拉方程。这些方程在形式上等价于粘性为0的纳维尔-斯托克斯方程。人们对这些方程感兴趣主要是因为它们可以用来研究冲击波。
他对微分方程理论做出了重要贡献。他也是计算力学中使用的欧拉近似方法的创始人。最著名的一个叫做欧拉法。
在数论中，他引入了欧拉函数。
自然数的欧拉函数定义为小于和互质的自然数的个数。比如因为有四个自然数1，3，5和7，8互质。
计算机领域广泛使用的RSA公钥密码算法也是基于欧拉函数的。
在分析领域，欧拉综合了莱布尼茨的微分和牛顿的流数。
他因解决了长期存在的贝塞尔问题而在1735年声名鹊起:
黎曼函数在哪里？
欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这是欧拉公式，成为指数函数的中心。
在初等分析中，本质上要么是指数函数的变型，要么是多项式，二者必居其一。理查德·费曼所说的“最杰出的数学共性”是欧拉公式的简单推论(通常称为欧拉恒等式):
在1735中，他定义了在微分方程中有用的欧拉-马切罗尼常数:
他是欧拉-马切罗尼公式的发现者之一，该公式在计算困难的积分、和、级数时非常有效。
1739年，欧拉写了《Tentamennovaetheoriaemusicae》，试图把数学和音乐结合起来。
一位传记作者写道:这是一本“写给精通数学的音乐家和精通音乐的数学家”的书。
在经济学中，欧拉证明了如果一个产品的每一个要素都用来支付自己的边际产品，那么在规模报酬不变的情况下，总收入和总产出就会完全耗尽。
在几何和代数拓扑中，欧拉公式给出了边、顶点和-(zh-hans:面；zh-hant:surface)-的关系是:
其中f是给定多面体的面的和，e是边的和，v是顶点的和。
这个定理也可以应用于平面图。对于非平面图，欧拉公式可以推广为:如果一个图可以嵌入一个流形，那么::其中χ是这个流形的欧拉特征值，在流形的连续变形下不变。
单连通流形如球面或平面的欧拉特征值为2。
对于任何平面图，欧拉公式都可以推广为:，其中是图中连通分支的个数。
1736年，欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，发表了《几何问题的解法》一文，阐述了一笔问题，是第一个运用图论和拓扑学的模型。
数独是欧拉发明的拉丁方块概念，当时并不流行，直到20世纪才被日本普通上班族伪造出来。