代数几何的创始人

黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一(其中一个甚至可以去掉)，包括他对代数几何的深远影响。迪厄多内甚至说，这一时期对黎曼函数论的研究是整个代数几何史上最重要的一步，黎曼是通过研究阿贝尔函数论而涉足代数几何的。他在研究复变函数时，提出了黎曼曲面的概念，将阿贝尔函数理论与黎曼曲面的工作融为一体。黎曼在黎曼曲面上将代数曲线作为函数论来研究。此外，引入了双有理映射的第一个不变量——亏格。只有在代数几何中才能出现双有理等价的概念，这使得代数几何比微分几何或拓扑学更加刚性，从而开启了代数几何的新篇章。

通过亏格，黎曼提出了模(模空间)的概念，这个概念现在很流行，并且和他的学生罗氏一起，得到了代数几何中的一个中心定理——黎曼-罗氏定理，意思是:设X是亏格G的曲线，若D是X上的除数，则有:l (d)-l (k-d) = degd+1-g，k是典范除数。以后这个定理的每一次推广都是代数几何的一次巨大进步，非常深刻的Atiyah-Singer指数定理(Atiyah-Singer指数定理)是Riemann-Roch定理的巅峰。拓扑学、分析学、偏微分方程、多复变理论等核心数学领域，而杨-米尔斯场论(Yang-Mills field theory)在物理学中已有重要应用，但指数定理的基础仍在代数几何中。

1866年，黎曼病逝。此时，他才40岁。从黎曼的成就来看，可以看出黎曼有多伟大！随着斯里兰卡人的去世，数学的一个辉煌时代也结束了。黎曼的成果被后来的各个学派继承，做出更重要工作的是卡拉巴斯，而他的学生M·诺瑟(伟大的E·诺瑟-诺特之父——)从代数几何的角度看待黎曼曲面，具有几何的思想和力度，几乎与此同时，戴德金(戴德金)和韦伯开辟了基于理想的代数方向。这三个方向最终汇聚在格罗滕迪克(格罗滕迪克)，形成一个统一而宏伟的抽象代数几何体系。