函数发展史
1，函数概念的纵向发展
1.1函数的早期概念——几何概念下的函数
17世纪的伽利略(G.Galileo，1564-1642)在《两种新科学》一书中，几乎自始至终都包含了函数或变量之间关系的概念，并用文字和比例的语言来表达函数之间的关系。笛卡尔(法国，1596-1650)在1673年前后在他的解析几何中注意到了一个变量对另一个变量的依赖性，但他当时并没有意识到需要提炼函数的一般概念，所以直到17世纪后期牛顿和莱布尼茨才建立微积分。
1.2 18世纪函数概念——代数概念下的函数
直到1718年BernoulliJohann(瑞士，1667-1748)才在莱布尼茨函数概念的基础上明确定义了函数的概念:由任意变量和任意形式的常数组成的量，伯努利以任意方式组成变量X和常数。
18世纪中期，L. Euler(瑞士，1707-1783)给出了一个非常形象的函数符号，一直沿用至今。欧拉给出的定义是，一个变量的函数是这个变量和一些数，也就是常数，以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·伯努利对函数的定义称为解析函数，并进一步分为代数函数(仅指自变量之间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数和变量的无理幂)，还考虑了“任意函数”(表示任意绘制曲线的函数)。不难看出，欧拉对函数的定义比约翰·伯努利的定义更具有普适性和更广泛的意义。
1.3 19世纪函数概念——对应下的函数。
1822傅立叶(方法，1768-1830)发现有些函数可以用曲线表示，可以用一个公式表示，也可以用多个公式表示，从而结束了函数概念是否用一个公式表示的争论，把对函数的认识推上了一个新的台阶。在1823中，柯西(method，1789-1857)从变量的定义给出了函数的定义，并指出虽然无穷级数是指定函数的有效方法，但函数不一定要有解析表达式，但他仍然认为函数关系可以用多个解析表达式来表示，这是一个大的。
在1837中，狄利克雷(德国，1805-1859)认为如何建立X和Y之间的关系是无关紧要的。他扩展了函数的概念，指出:“对于X在一定区间内的每一个确定值，Y都有一个或多个确定值，故称Y为X的函数”狄利克雷对函数的定义，避免了以往函数定义中对依赖性的所有描述，简洁准确，以完全清晰的方式被所有数学家无条件接受。至此，可以说函数的概念和函数的本质定义已经形成，也就是人们常说的经典函数定义。
康托尔(Cantor，德国，1845-1918)创立的集合论在数学中发挥重要作用后，凡勃伦(美国，1880-1960)用“集合”和“对应”。
1.4现代函数概念——集合论下的函数
1914年，F. Hausdorff在集合论大纲中用“序偶”定义了函数。其优点是避免了“变量”和“对应”的模糊概念，缺点是引入了“有序偶”的模糊概念。在1921中，Kuratowski用集合的概念定义了“有序偶”，即有序偶(a，b)是集合{{a}，{b}}，从而使Hausdorff的定义非常严谨。在1930中，新现代函数被定义为:若总有一个由集合N确定的元素Y对应于集合M的任意元素X，则称在集合M上定义了一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变量，元素y称为因变量。
函数的定义历经300多年的锤炼和变化，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结。20世纪40年代，出于物理学研究的需要，发现了一种叫做dirac-δ函数的函数，它在一点上不为零，但它在整条线上的积分等于1，这在函数和积分的原始定义下是不可思议的，但由于函数概念是广义的，因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念会不断扩大。。