历史奥林匹克题
解(100+98+96+90) ÷ 4 = 96(点)
答:平均每人96分。
解决问题的关键和技巧
先求总分和总人数，再求平均值。
★例2一辆车前两个小时时速42公里，后三个小时时速40公里。平均每小时行驶多少公里？
溶液(42+40) ÷ (2+3)
=82÷5
=16.4公里
答:平均时速16.4公里。
解决问题的关键和技巧
先求旅行总距离和时间，再求平均值。
★例3某校少先队员组织4个采树小组采树，支援西北绿化。第一天收获15斤，第二天收获20斤，第三天收获19斤。(1)平均每天采集多少公斤树种？(2)平均每组采集多少公斤树种？(3)每组每天采集多少公斤树种？
溶液(1)(15+20+19)÷3 = 18(千克)
(2)(15+20+19)÷4 = 13.5(公斤)
(3)(15+20+19)÷3÷4 = 4.5(公斤)
答:平均每天采集树种18干克，每组采集树种13.5公斤，每天每组采集树种4.5公斤。
解决问题的关键和技巧
平均总数是采集的树种总数，始终不变；根据什么“单位”，三题的要求不同:题(1)要求平均“天”；问题(2)要求按“组数”平均；问题(3)要求平均“每组每天”。
★例4学校食堂第一周烧煤308kg，第二周313kg，第三周288kg。如果按每周6天计算，这三周平均每天要烧多少公斤煤？
溶液(308+313+288) ÷ (6× 3)
=909÷18
= 50.5千克
答:在这三周里，平均每天耗煤50.5公斤。
解决问题的关键和技巧
在这个问题中，先计算出三周的燃煤总量和燃煤天数，再计算出平均每天的燃煤公斤数。
例5少先队五一中队，一次数学测试的结果是:一班12人，平均95分，二班12人，平均96分，三班13人，平均97分，四班12人，平均90分。(保留一位小数)
解(95×12+96×12+97×13+90×12)÷(12+13+65448)
=4633÷49
= 94.6分钟
这个中队的平均成绩是94.6分。
解决问题的关键和技巧
先得出各队总分，再得出四队总分和总人数，最后得出平均分。
例6解放军某团长期野营拉练。第一天走了32.5公里，第二天走了34.5公里，第三天比前两天的总和多了1.5公里。它平均每天走多少公里？
解[32.5+34.5+(32.5+34.5)÷2+1.5]÷3
=[67+35]÷3
=34公里
我平均每天走34公里。
解决问题的关键和技巧
这个问题的关键是要搞清楚你第三天走了多少公里。“第三天是1.5km超过前两天总和的一半”，所以用前两天总和除以2，再加上1.5就是(32.5+34.5) ÷ 2+1.5 = 35，这就是第三天的公里数。
例7一个车间里的三个小组生产同样的机器零件。A组5个人赚了1000块，B组6个人赚了和A组一样的数，C组7个人比A组和B组的总和多赚了50块，每人赚了多少块？
解(1000×2+1000×2+50)÷(5+6+7)
=4050÷18
=225(件)
答:平均每人赚225。
解决问题的关键和技巧
这个问题和例6中的已知条件类似，只是没有直接给出总份数，总份数是由A组、B组和C组的人数相加得到的..
例8中有五篮苹果。从第一个篮子到第四个篮子的每个篮子平均有181个苹果。如果加上第五个篮子，平均有169个苹果。第五个篮子里有多少苹果？
溶液169×5-181×4
=845-724
=121(个)
第五个篮子里有121个苹果。
解决问题的关键和技巧
根据181的四个篮子的平均数，四个篮子的总数为181×4=724。按照169的五筐平均数，五筐总数为169×5=845。最后用四个篮子的总数减去五个篮子的总数，就是第五个篮子的数目。
★例1两县距离22公里。甲乙双方同时从两个城市出发，相向而行。甲方每小时走6公里，乙方每小时走5公里。几个小时后他们见面了？
解答22÷(6+5)=2(小时)
两小时后见面。
解决问题的关键和技巧
这个问题可以用两种方法解决。(1)先求两人每小时的速度之和，减去A的速度，等于B的速度(2)用两个城市的距离减去甲方行驶2小时的距离，等于乙方行驶2小时的距离。找出每小时经过的干米，然后除以2。
★例2 A和B同时从两个县走来。甲每小时走6公里，乙每小时走5公里。两小时后他们见面了。这两个县相距多远？
解(6+5) × 2 = 22(公里)
这两个县之间的距离是22公里。
解决问题的关键和技巧
求两个县的距离，其实就是求A和B的距离之和，距离之和=速度之和×相遇时间。
★例3两县距离22km。甲乙双方同时从两个城市出发，面对面，两个小时后见面。甲方每小时走了6公里，乙方每小时走了多少公里？
解(1): 22 ÷ 2-6 = 5(公里)
方法(2): (22-6× 2) ÷ 2 = 5公里
甲:乙每小时行驶5公里。
解决问题的关键和技巧
题目中的22km是两个城市之间的距离，是甲乙双方旅行的总距离，实际是他们旅行的“距离之和”，而甲乙双方旅行的(6+5) km是旅行时的“速度之和”。求“见面时间”就是看“距离之和”包含几个“速度之和”，也就是见面几个小时。
★★★例4两个人，A和B，同时从两个县走来。甲每小时行驶6公里，乙每小时行驶5公里。两个小时后，他们仍然相距4公里。这两个县相距多远？
解(6+5) × 2+4 = 26(公里)
两个县之间的距离是26公里。
解决问题的关键和技巧
全程分为三段:A走的那段，B走的那段，没走的那段。把这三段加起来，得出两个城市之间的距离。所以我们可以先求出两个人一起走了1小时的距离，也就是速度之和，然后乘以两个人走的时间，就成了已经走了和没有走的两部分之和。如下图所示。
例5:一辆汽车和一辆自行车同时从A和B出发。四个小时后，两辆车在路上相遇。A和B之间的距离是240公里，汽车以每小时45公里的速度行驶。自行车每小时行驶多少公里？(通过等式和算术求解)
解(1):将自行车设置为每小时行驶x公里。
4x+45×4=240
4x=240-180
4x=60
x=15
方法(2): (240-45× 4) ÷ 4 = 15 (km)。
答:自行车每小时行驶15公里。
解决问题的关键和技巧
两车相遇，全程分为汽车和自行车两部分，全长240公里。解方程更方便。有了算术解，你可以这样想:全程——汽车行驶的距离=自行车行驶的距离，然后除以自行车行驶的时间，得到速度。
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例6东西方的距离是60公里。甲骑自行车，乙走路。同时，他们从两地出发，相向而行，三小时后会合。已知A的时速比B快10公里。两个人的时速是多少公里？
裁军:(60÷3+10)÷2=15(公里)
B: 15-10=5公里
A: A的时速是15公里，B的时速是5公里。
解决问题的关键和技巧
a比B快10公里每小时，这是两个人的“速度差”，60÷3=20(公里)是两个人每小时的“速度和”。所以两个人每小时的速度可以用“和差问题”的方法求解。
有7200台电视机要在两个车间里组装。第一车间每天组装250台电视机，第二车间四天可以完成五天的组装。现在两个车间同时开工，需要多少天才能完成任务？完成任务时两个车间每组安装了多少台？
溶液7200 ÷ (250+250× 4 ÷ 5)
=7200÷(250+200)
=7200÷450
=16(天)
第一车间:250×16=4000(台)
第二车间:7200-4000=3200(单位)
答:16天可以完成任务。任务完成时，第一车间组装4000台，第二车间组装3200台。
解决问题的关键和技巧
解决这个问题的关键是每天询问二车间组装的单元数量。根据“第一车间四天可以完成第二车间五天的装配能力”可知，250×4=1000(台)既是第一车间四天的工作量，也是第二车间五天的工作量。所以用1000÷5，就可以得到第二车间每天组装的单元数。
例8体育场的环形跑道有400米长。小刚和小华在赛道的同一起跑线上，同时向相反的方向出发。小刚每分钟跑152米，小花每分钟跑148米。几分钟后，他们第三次见面了。
x分钟后他们第三次见面。
152x+148x=400×3
300x=1200
x=4
答:4分钟后他们第三次见面。
解决问题的关键和技巧
两个人在环形路上跑，开始是“倒车”，后来变成了“对面”，所以其实是相遇的问题。他们见面的时候，只是走了一圈。总长度是400米，所以第三次见面时，他们跑了(400×3)米。所以可以按照“A程+B程=全程”的等式或者通过算术来求解。
即:(1)400×3÷(152+148)= 4(分钟)。
(2)400÷(152+148)×3 = 4(点数)
端口9a和端口b之间的距离是662公里。上午9点，一艘名为寒山的快艇从A港驶往B港，中午12，另一艘名为天元的快艇从B港驶往A港，16，两艇相遇，寒山时速54公里，比天元快。(分两种方式求解)
解决“寒山”号先于“天元”号快艇航行的问题；
12-9=3(小时)
从天元出发到遇见寒山的时间；
16-12=4(小时)
方法(1):“天元”比“寒山”快公里；
(662-54×3)÷4-54-54=500÷4-54-54
=125-54-54
=17公里
方法(2):让天元每小时比寒山快x公里。以下省略。
解决问题的关键和技巧
这个问题中的时间换成了“时间”，那么把时间转换成时间就简单了。换算方法为:结束时间-开始时间=经过时间。
★★★★例10甲骑摩托车，乙骑自行车。同时从相距126公里的A、B两个城市出发，相向而行。三个小时后，在距离两个城市中心24公里的地方，A和B相遇了。求A和B的速度分别是多少？
解除武装的速度:(126 ÷ 2+24) ÷ 3 = 29 (km/h)
B的速度:(126÷2-24)÷3=13(公里/小时)
A:A骑摩托车的速度是每小时29公里，B骑自行车的速度是每小时13公里。
解决问题的关键和技巧
这个问题可以用线段图来表示:
如上图，中点正好在城市A和B的中间，所以中点到城市A和B的距离是(126÷2) km。A骑摩托车比B骑自行车快，所以同样的路程需要3个小时，距离比B多，我们要在距离中点24公里的地方见面，所以A走的距离是(126÷2+24)公里。B走的距离是(126÷2-24) km。
屠宰问题(约瑟夫问题)
在各类竞赛中，世界名题出现在各类初中考试中的概率极高，这是由初中和数学竞赛的特点决定的，这些特点是:知识性、趣味性和思想性的结合。
我先给大家介绍一下这个问题的由来。
据说著名的犹太历史学家约瑟夫斯有这样一个故事:罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人与约瑟夫斯和他的朋友一起躲进了一个山洞，39个犹太人决定宁死不屈，于是决定自杀。41人排成一圈，从1开始数，每数到第三个人，那个人就得自杀。然而，约瑟夫斯和他的朋友们不想服从。约瑟夫斯要求他的朋友先假装服从。他把朋友和自己安排在16和31的位置上，就这样躲过了死亡的游戏。
解决办法
约瑟夫问题可以用代数分析的方法解决这个问题，拓展了问题。假设你和M个朋友现在不幸卷入了这个游戏，你怎么保护你的朋友？只要画两个圈，就可以把自己和朋友从死亡的游戏中拯救出来。这两个圈的内圈是排列顺序，外圈是自杀顺序，如下图所示:
如果用程序解决问题，只需要把数组当成一个环。在显示中，应该从计数1开始，每发现三个没有数据的区域就填充一个计数。如果直接求解，只需要把数组当成一个环。在数组中，要从计数1开始，每发现三个没有数据的区域就填充一个计数，直到计数达到41。然后从索引1开始列出数组，就可以知道各个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列。41的约瑟夫排列如下:
14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 65438以前的人都死了，所以不认识约瑟夫和他的朋友。
小升初常见必杀题举例:
例1:将999个自然数1 ~ 999顺时针排列成一个圆(如下图)。从1开始，顺时针按，保持1，擦除2；保留3，删除4.....这样每隔一个数字就被抹掉，这个数字就被圈着抹掉。问:当只剩下一个数字时，剩下哪个数字？
解析:通过求法可以发现，如果有2n个数，那么转一圈后会擦掉一半，剩下2n-1个数，起始数仍然是1；一回合后擦掉剩下的一半，剩下2n-2个数。起始号码仍然是1...n转之后，余数是1。
如果有2n+d (d < 2n)个数，那么当d的数被擦除后，剩下2n个数，此时的第一个数就是剩下的最后一个数。因为被擦除的数d是2d，所以2d+1是最后剩下的整数。999=29+487，最后剩下的数是487×2+1=975。
例2: 1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。现在1，2算:1同学报完1马上走，2号同学报完1马上走，3号同学报完1马上走，4号同学报2然后留下...学生依次报1或2，报1的学生马上走，报。问:学生的编号是多少？
分析:这个问题和上面的问题很像，只不过这个例子是举报1的离职，举报2的离职，上面的问题相当于举报1的离职，举报2的离职。这个例子的答案可以从上面问题的结果推导出来。在这个例子中，在编号为1的学生离开后，还有999名学生。这时，如果把原来报2的同学都改成1并离开，把原来报1的同学都改成2并离开，那么问题就和上面的问题一模一样。因为还剩999人，所以1的人是2号，所以最后剩下的人数应该是1，也就是975+1 = 976(数)。
为了加深理解，我们再次解决这个问题。
解:如果有2n人，那么报完1圈后，剩下的就是2的倍数；第二圈之后，剩下的是22的倍数...第n圈之后，剩下的就是2n的倍数了。这个时候就只剩下一个人了，就是那个2n的号码。
如果有(2n+d) (1 ≤ d < 2n)人，那么D人退圈后还剩下2n人。因为下一个要退出的是数字(2d+1)，此时的数字(2d+1)相当于有2n人时的数字1，有2n人时的数字2d相当于数字2n，所以剩下的最后一个就是数字2d。从1000 = 29+488，最后剩下的学生数是488×2=976(个)。
例3:一叠有65，438+000张牌。玲玲拿起它们，按以下顺序从最上面的牌开始:扔掉最上面的第一张牌，把下一张牌放在牌堆的底部。放弃原来的第三张牌，把下一张牌放在最下面。如此反复，直到手里只剩下一张牌，那么原来的牌堆里还剩下哪张牌呢？
分析和解决方法:如果把这100张牌用线串起来，其实就是一个圆里的约瑟夫问题。
如果你不明白以上问题的解法，可以学习这个问题，从最简单的情况中寻找规律。
先从一个简单又不失题目本质的问题入手，寻找规律。该列表如下:
设这叠牌中的牌数为n，观察上表:
(1)当n = 2a (a = 0，1，2，3，...)，剩下的牌是原叠的最后一张牌，也就是2a牌；
(2)当n = 2a+m (m < 2a)时，剩余的牌是原叠中的2m张牌。
取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下的牌是原叠的第72张牌。
以上问题和案例1案例2的总结:可以归纳为两种情况:
留下1，杀死2种类型:剩余数量=(总数量-小于总数量最大的2的幂)× 2+1
杀死1，剩下2类:剩余数=(总数-最大总数小于2的幂)×2。
记得加1留1，不加1杀1。我总发现有些同学在这一点上很困惑。
因此，我们可以比较:
例1:属于“离开1”的范畴，可以用:(999-512) × 2+1 = 975。
例2:属于“杀1”的范畴，可以用(1000-512) × 2 = 976。
例3:属于“杀1”的范畴，可以用(100-64) × 2 = 72。
以上512，64都是小于总和的最大2的幂。
看一个改了的逆问题:
例4:如左图，七个棋子组成一个圆。从①开始，每隔一个棋子走一个，依次走①、③、⑤、⑤、④、②。最后20个棋子组成一个圆(如右图)。从一开始每隔一颗棋子拿一颗，到最后只剩下一颗棋子。
其实例子就是抽奖问题中的“杀死1，留下2类”。右图上可以假设从1开始，根据规律剩下的是:(20-16) × 2 = 8。要想离开6，就得逆时针推2块。最终结果是19。
试试我们玩的扑克:
例5:扑克牌有两副，每副牌的顺序按照前两副牌的四种颜色排列:国王和小王，依次是黑桃、红心、方块和梅花。每种花色的牌按照1，2，3，…，J，Q，K Q，K的顺序排列，有人把如上排列的两副扑克牌叠放在一起，然后扔掉第一张牌，把第二张牌放在最下面，扔掉第三张牌，把第四张牌放在最下面，以此类推，直到只剩下一张牌。还剩哪张牌？
注意:如果你手里只有64张牌，按照这个规则丢了，那么第64张牌就留下了。现在手里有108张牌，多了108-64 = 44。我们只需要按照这个规定扔掉44张牌，把88张牌放在手底，那么手正好是64张牌。这样再往下扔，剩下的最后一张牌就是原顺序的第88张牌。下一个困难涉及到循环。是哪张卡？先去掉一对，再去掉十三张黑桃和十三张红心，就是88-54-2× 26 = 6。根据颜色的排列应该是方框6。
让我们以三个数字为一组来问一个难题:
例6:连续自然数1，2，3，…，8899排成一行。从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6...那么最后还剩下多少呢？
例1和例2可以模仿。这个问题留1画2和3，一次留三分之一，显然和3的n次方有关。当有3n个数时，剩下的数是1。
形状为3n小于8899的数是38=6561，所以从1开始按规则计数，8899-6561=2338(个)后，还剩下6561个数。这个划掉的数最后一个是2338÷2×3=3507，所以6561最后一个数的第一个是3508。
这个问题也可以总结为一个规律:“留1，杀2，3”型。
剩下的数=(总数-最大3的幂小于总数)÷ 2× 3+1。
考一个:连续的自然数1，2，3，…，8899排成一行。从1开始，划掉1和2，留下3，划掉4和5，留下6...那么最后还剩下多少呢？
这个问题可以定义为“杀1，2留3”，规则和答案留给你去研究。另外，约瑟夫介绍中的类型可以说是“守1，2杀3”。请探讨一下这个问题的规律。
最后，我们来看看隐形砍杀的问题:
示例7:自然数列表1，2，...，99，100写在纸上。一次运算就是把这个数列的前两个数划掉，然后把这两个数的和写在数列的末尾，比如一次运算后，你得到3，4，…，99，100，3；经过两次运算，我们得到5，6，…，99，100，3，7。这样下去，最后就只剩下一个号码了。问:最后剩下的数字是多少？前100的数字和后面写下的数字之和是多少？
解析:在每次运算中，数列中相加的数等于两个划掉的数之和，所以数列中所有数之和不变，所以当只剩下一个数时，就是原来的100个数之和，即1+2+…+99+100=5050。
当数列中有2n个数时，经过n次运算后将全部被划掉，同时出现n个新数，这n个新数之和等于原来2n个数之和。这就提示我们考虑序列包含2，2 ×2，2 ×2 ×2，…的时间。
2的六次乘法是64。100-64=36运算后，原数1，2，…，71，36×2=72被划掉，划掉数之和为1+2+…+765438。此时数列中有64个数，这64个数之和等于原来100个数之和，为5050。
从这一刻开始，经过3216，8，4，21的运算，纸上出现的新数字个数是3216，8，4，21。根据前面的分析，每一轮出现的所有新数字之和为5050。从序列中的64个数字到只有1个数字，运算已经进行了6轮。
综上所述，所有写在纸上的数字之和为2628+5050+5050×6=37978。学会了查杀问题的思路，就更容易理解这个问题的设计了。