圆锥曲线纸

圆锥曲线的光学性质及其应用第一个考察圆锥曲线的人是梅纳库莫斯(公元前375-325)。大约100年后，阿波罗尼奥更详细、更系统地研究了圆锥曲线。他们对圆锥曲线的研究很实在:考察了不同倾角的平面截锥切割得到的曲线，也就是说，如果切口与底的夹角小于母线与底的夹角，则切口为椭圆形；如果两个角度相等，切口为抛物线；如果前者大于后者，切口为双曲线。此外，阿波罗尼奥进一步研究了椭圆等圆锥曲线的光学性质。他发现，如果把椭圆焦点F的一边做成镜子，在F处放置一个光源，那么所有被椭圆镜子反射的光都会穿过另一个焦点F..热也像光一样被反射，所以这个时候会被烧焦，这就是焦点这个名字的由来。据说这个发现是他在研究椭圆的做法(即现行教材开头介绍的做法)时得出的。圆锥曲线真正从背景走上前台，从学术的象牙塔进入现实世界，要感谢德国天文学家开普勒(公元1571-1630)。开普勒通过长期的天文观测和对记录数据的分析，发现了著名的“开普勒三定律”，其中第一条就是:“行星包含太阳。以太阳为焦点画一个椭圆。”就这样，梅纳库莫斯和阿波罗·尼欧出于对数学的兴趣而研究的曲线出现在了近2000年后的天文学舞台上。后来，哈雷利用圆锥曲线的理论和计算方法，准确地预测了哈雷彗星与地球的最近点。1758年哈雷去世后，哈雷彗星与地球如期相遇，在欧洲乃至全世界引起了轰动，进一步促进了人们对圆锥曲线研究的兴趣。圆锥曲线的光学性质大致有三种，即椭圆、双曲线和抛物线的光学性质。1:椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光或声波在椭圆的外围反射后，反射通过椭圆的另一个焦点。(如图1)圆锥曲线定义中的不动点，因其光学聚焦性质，称为焦点。假设一面镜子的轴向截面轮廓是椭圆，那么当你在固定点F1处放置一个射线源时，所有的射线被椭圆反射后都会集中在另一个固定点F2上；反之亦然(见图7-78)。光线集中的现象在光学上叫做聚焦，那么自然这两个固定点F1，F2就叫做焦点。椭圆的这种光线特性常被用来设计一些照明设备或集热装置。比如热源放在F1，红外线也可以聚焦在F2。在F2温度下加热物体。图1 2:双曲线的光学性质:如果将一个光源或声源放在双曲线的一个焦点F2上，光或声波经过反射后会从另一个焦点F1上射出。(如图2)双曲线的光学性质也有聚焦性质，但它是逆虚聚焦，即放置在双曲线一个焦点上的射线源被双曲线反射后，其反射线的逆延长线必然经过另一个焦点双曲线。这种逆虚聚焦特性也可以在天文望远镜等的设计中找到实际应用。图2 3:抛物线的光学性质:来自抛物线焦点的光或声波在抛物线圆周上反射后，反射光平行于。(如图3)抛物线被认为是一个焦点在无穷远处的“椭圆”。来自一个焦点的光线聚焦在另一个焦点上的椭圆的光学特性在抛物线上表现出来，形式与椭圆有很大的不同:想象一下，射线源在无穷远处的那个焦点上，来自无穷远处的光线经过抛物线反射后会到达有限位置的另一个焦点，但是来自无穷远处的光线，在有限位置的你看来，只能是平行于对称轴的射线束(比如太阳虽然离地球很远，但毕竟不是在无穷远处，所以我们都认为太阳射线是平行的，而不是像灯泡一样散射。 )因此，平行于对称轴的光线经抛物线反射后必定聚焦在焦点上(见图7-80)。反之，把射线源放在抛物线的焦点上(它在一个有限的位置)。抛物线反射后，所有的光线也会汇聚到无穷远处的焦点，所以反射的光线只能平行于对称轴，也就是从焦点发出的光线经过抛物线反射后会变成平行于对称轴的光束。抛物线的聚焦特性使其成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择。比如探照灯、汽车大灯等反光镜的纵向剖面线是抛物线，光源放在其焦点上。经过镜面反射后可以变成平行光束，增加了照射距离，并且可以通过旋转抛物线对称轴来控制照射方向。一般卫星通信用的碗状接收或发射天线，也是绕对称轴旋转抛物线得到的。接收器放在其焦点上，抛物线对称轴跟踪瞄准卫星，使卫星发出的微弱电磁波信号射线最大限度地集中在接收器上，保证接收效果。相反，在焦点处安装发射机，在卫星处跟踪对称轴，可以使发射的电磁波信号射线并行到达卫星的接收机，也保证了接收效果。最常见的太阳能热水器也使用抛物面镜收集阳光来加热焦点处的蓄水池。图3这三条二次曲线的光学性质在生活中有广泛的应用。小灯泡发出的光(图4)会向四面八方散射，但装在手电筒里(图5)就能发出比较强的平行光。为什么？原因是手电筒里的小灯泡后面有一个反光板，形状是抛物面，作用是把焦点发出的光作为平行光(平行于抛物面的轴线)。探照灯(图6)也是利用这个原理制作的。(图4)(图5)(图6)根据光的可逆性，可以设计出加热水和食物的太阳灶(图7和图8)。太阳灶配有可旋转的抛物面反射器。当它的轴线与太阳光平行时，太阳光经过反射后集中在焦点上，这个点的温度会很高。其他的，比如聚光灯，雷达天线，卫星天线，射电望远镜，也都是利用抛物面的光学性质制作的。(图7)(图8)此外，电影放映机的聚光灯有一个旋转椭圆形状的反射器。为了在胶片门(胶片经过的地方)获得最强的光线，聚光灯灯泡和胶片门要分别对应椭圆的两个焦点，如下图所示:因为水波、声波、光波都是波的一种形式，所以有很多相似的性质。比如分析水波遇到椭圆面、双曲线面、抛物面时的反射:为了让走在展厅里的参观者听清楚讲解，根据圆锥曲线的光学性质和声波的相关原理，展厅往往被设计成椭圆形。二次曲线因其方程简单、线型多变美观以及一些良好的力学性能，在建筑中不乏应用。尤其流行于目前的大型薄壳吊顶建筑，其纵剖面线很多都是圆锥曲线。圆锥曲线的光学性质是椭圆、双曲线、抛物线的光学性质，在生活中有广泛的应用。我们应该不断了解和探索它的本质，并利用它来造福人类。科学无止境！