有界线性算子

在此之前，我们关注的空间基本上是由函数空间或数列构成的空间，距离空间、赋范空间、内积空间、希尔伯特空间等概念都是建立起来的。

运用类比、联想、归纳等数学研究方法，将有限维空间的代数结构和几何特征推广到无限维空间。

很多数学问题，比如中学解析几何中的平移和旋转，都只是一些线性变换(运算)。

高等数学中的微分、积分也是线性运算，与空间中的线性变换有许多相似的运算性质(向量的旋转、拉伸、平移等。).

线性方程、微分方程、积分方程都可以看作是特定空间中的线性运算(或线性变换或线性映射)。

我们称这些为线性算子，这是泛函分析中最重要的基本概念之一。我们把所有有界线性算子(如积分、矩阵等。)作为线性空间，并给它一个范数成为赋范线性空间，线性算子被视为赋范空间中的元素。

线性算子空间是线性泛函分析的主要对象。在线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质，以解决分析、代数和几何中的问题。

通过讨论赋范空间中有界线性算子的本质特征，我们可以得到一些深刻的结论:

满足性质的运算称为线性算子。所以微分运算和积分运算都是线性算子。

定义1:设是一个赋范空间，一个线性子空间和一个从到的映射，满足:

其中(是一个数字字段)，映射被称为从到的线性运算符。名为的域。

注1:一般是的真子集，如果是，则称为自上而下的线性算子。

注2:如果(数)，。这样的线性算子称为线性泛函。

即线性泛函(or)是从赋范空间到数域的线性算子。

注3:从信号和系统的角度看，空间实际上是系统的输入空间(输入信号)，空间是系统的输出空间(输出信号)或变换(作用)后的空间；线性算子是线性系统。

定义2:设它是从到的线性算子。如果有一个常数，它使

它被称为有界线性算子。

如果一个线性泛函是有界的，如果有一个常数，那么

它被称为有界泛函。因为泛函被映射成一个数，所以数的范数用绝对值表示。

注1:有界线性算子的有界性是指映射后的“放大倍数”不超过一个常数。(一个元素的大小由一个范数来度量)

注2:由于内积能产生范数，内积空间也是赋范空间，所以关于赋范空间中有界线性算子和有界泛函的讨论在内积空间中仍然成立。

注3:有界线性算子把有界集合映射成有界集合(有界输入，有界输出)。

定义4:设是赋范空间和从到的线性算子。如果是这样，就说它在该点是连续的。

定理5:设是赋范空间和从到的线性算子。如果在该点连续，则在该点连续。

注1:对于线性算子，一点连续就是一点连续。

注2:线性算子连续性意味着:

极限运算和线性运算可以按顺序互换。

定理6:设是赋范空间和从到的线性算子，那么它是连续的当且仅当它是有界的。

接下来，我们把有界线性算子看作一个元素，形成一个新的线性空间，即由所有有界线性算子(如积分运算、矩阵运算)组成的空间。

从赋范空间的角度研究线性算子的性质。

定义7:设是一个赋范空间，表示从到的所有有界线性算子。

如果，让我们记住简。

线性运算(加法、数字乘法)可以自然地在。对于任何总和，定义:

因为加法和乘法运算是封闭的，所以变成了线性空间。

接下来，我们把有界线性算子看作空间中的元素，定义了空间中有界线性算子的范数。

定义8:设它是赋范空间到的有界线性算子，即它存在，使得

制造

叫做线性算子的范数。

定理10:设它是赋范空间的有界线性算子，则:

特别是，当时，您还可以定义乘法运算(表示为):

显然也是线性算子，并且:

此外，还有:

定理11:假设。对于任何，请定义:

它是上的有界泛函。

注意:a上的任何有界泛函都可以写成上述形式，即a上的有界泛函可以由中的元素确定。

下面给出无限维空间上的有界泛函。

定理12:设是一个连续函数，对任何，定义:

它是上的有界泛函。

注1:线性泛函的范数可以证明。

注2:特别地，如果，定积分是上的有界泛函。

注3:不是所有的线性算子都是有界的。比如一个很重要的微分算子就是一种无界算子。例如，为了区分，我们有:

然而，它是无界的。

注意:微分算子是一种非常重要的无界线性算子。虽然微分算子是无界的，但它是闭线性算子。闭线性算子也具有“拟连续性”的良好性质

操作者的距离可以由操作者的规范来诱导:

因此，它也是一个距离空间(元素的距离结构在空间中定义)。有了距离，我们可以讨论空间中元素列的收敛性，进而可以讨论空间的完备性。

显然，算子序列依范数收敛的问题可以在。

定义1:设置，如果

然后有界线性算子序列按照范数收敛到有界线性算子。

定理2:线性算子序列在空间按范数收敛等价于线性算子序列在(收敛速度与值无关，)单位球面上一致收敛。

一致收敛是一个直观的解释，让所有最大的点收敛，那么其他点必然收敛，这是由算子范数的定义决定的，它取最大的放大倍数(算子对不同的值有不同的放大倍数)。

此外，算子序列在范数下的收敛等价于有界集上的一致收敛。

线性算子可以定义空间中除了范数收敛(或一致收敛)以外的其他收敛方式。

定义三:设定。如果对，那就是

叫做逐点收敛到(不同的收敛速度可能不一样)，或者强收敛到。

注意:按范数收敛到(一致收敛)可以导致强收敛到，反之亦然。

由有界线性算子构成的空间是赋范空间，因此其完备性是可以讨论的。

赋范空间是完备的当且仅当空间中的列收敛。

定理5:设它是一个赋范空间和一个空间，那么有界线性算子空间就是一个空间(完备赋范空间)。

我们将线性算子抽象成线性算子空间中的元素。抽象的目的是让我们更清楚地看到线性算子的一些本质特征。

在线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质会得出一些深刻的结论，如一致有界原理、开映射定理、逆算子定理和闭像定理等。这三个定理和定理(线性泛函的延拓定理)可以看作是赋范空间中线性算子理论的基石。

这三个定理刻画了空间中线性算子的重要性质。

定义1:设它是距离空间。如果任何不存在的非空开集是稠密的，则称为稀疏集。

稠密的定义:是距离空间中的一组点，如果是，则称为中稠密。

注意:稀疏集中没有内点。其实如果是内点，是有开球的，所以在开球中是密集的。

定义2:如果一个集合可以表示为至多几个稀疏集合的并集，即

其中，稀疏集称为第一轮廓集。不是第一个大纲集的集合称为第二个大纲集。

定理3(轮廓定理):一个完备的距离空间是第二个轮廓集。

推论:空间是第二类集合。

对于有界线性算子，可以得到一族具有有界点的有界线性算子必定一致有界。

定理7(一致有界原理):

设它是从空间到赋范空间的一族有界线性算子。如果是，是的

它是一个有界集合。属于一个指标集。

注1:“一致性”是指对所有都成立。

注2:该定理表明，如果有任何存在使

有一个共同的，所以

这个定理的否定命题:如果它是一族从空间到赋范空间的有界线性算子，那么它存在，所以

这个命题叫做共振定理。

根据上一节定理5，如果是赋范空间或空间，那么有界线性算子空间就是空间。即空间中的任意一列按照算子的范数收敛(即当，算子范数)。

先考虑强收敛意义下的完备性，即空间中任意一列逐点收敛。

定理12:设一个空间在强收敛意义下是完备的。

注意:完整性的含义:

注意:是算子(模型)第一次迭代后的输出。。

如果对于任何给定的映射(表示映射的值域)只有唯一性，则称该映射是内射的。这时，可以定义从范围到的运算符，称为的逆运算符。

定义1(逆算子):设它是线性空间到线性空间的线性算子。如果中有一个线性运算符，那么

则称该算子有一个逆算子，的逆算子记为。

注1:逆算子存在的充要条件是它是空间到空间的一一映射。

注2:如果存在，就是唯一的。

注3:可以证明也是线性算子。

注4:。

定理2:设是赋范空间到赋范空间的线性算子。如果它存在，那么

有一个有界逆算子。

注1:是从到的映射，不一定是整个空间，也不一定是整个空间。

注2:这里不要求有界，就在下面。

定义3:设是的映射。如果中的任何开集被映射到中的开集，则称之为开映射。

定理4(开映射定理):设从空间到空间被定义。