浅谈数学史在中学概率统计教学中的应用
数学史是学习和理解数学的工具。人们要想了解数学概念、思想和方法的发展过程，树立数学的整体意识，就必须以数学史为指导。概率论和数理统计也有自己不断发展完善的历史。目前，我国正在推进基础教育改革，非常重视数学史和数学文化的教育。在中学概率统计教学中应用数学史，有助于学生理解数学知识与不确定数学特有的思维方法之间的关系，从而提高能力。
1解读史实，促进学生对概率定义的理解。
概率的经典定义是拉普拉斯在1812中给出的，其讨论的对象只限于随机实验中所有可能的结果都是有限且相等的情况。在教学中，可以结合“赌博分配”问题，体验古典概率的模型特征，加深对定义的理解。我们来举一个这个问题的简单案例:A和B赌博，各赌30元，共60元，每局。都是12。大家一致认为，谁先赢三局，谁就赢所有的赌注。现在，60元已经赌了三局，A 2赢了1，但他不知什么原因不赌了。这60块钱的赌注应该怎么分给两个人才公平。他一看就觉得应该按照2: 1分配，即A得40元，B得20元。有些人提出了一些其他的解决方案。正确的划分要考虑到A和B在这个基础上继续赌下去最后赢的几率。其实最多再打两局就能决定胜负，而这两局有A、B、B、B四种可能的结果，前三种情况是最后A赢，只有最后一种是B赢，比例为3∶1，所以投注的公平分配应该是3。
概率的经典定义具有可计算性的优势，但也有明显的局限性。它需要有限的样本点。如果样本空间中有无限个样本点，则概率的经典定义不适用。当有限样本点扩展到无限样本点时，引入了几何概率。这样就形成了确定概率的几何方法。学习概率的几何定义最典型的例子是“相遇问题”和历史上著名的“布丰扔针实验”:在平面上画一些平行线，它们之间的距离等于A，将一根长度为L(L小于A)的针任意扔进这个平面。试求这根针与任何平行线相交的概率。这个几何概率问题可以通过积分运算解决。因为“布丰抛针实验”的理论概率中含有常数π，所以我们可以在教学中设计L和A，通过统计实验估计概率P，然后用上面给出的概率模型公式求圆周率。这样就把概率的几何定义和概率的统计定义的学习有机地联系起来，同时让学生体验到求π的方法的多样性和数学知识之间的关系。
概率的经典定义和几何定义都要求随机实验中基本事件的概率相等，但发现在相同条件下一个事件的次数n与实验总数的比值在实验次数n较大时会稳定在一个常数附近。n越大，这个比值“远离”这个常数的可能性就越小。这个常数叫做这个事件的概率。这个定义与统计学密切相关，是建立在频率的稳定性基础上的，所以叫做概率的频率定义。这种概率讨论的对象不再局限于所有可能结果相等的随机实验，因此更具有一般性。在学生手掷硬币统计实验的基础上，参考历史上著名科学家多次投掷硬币的结果，可以进一步感受到频率概率大规模实验的要求，以及概率统计的随机性和统计规律性。
从下表很容易看出，投掷次数少的时候频率波动很大，投掷次数多了就稳定了，也就是正面脸的频率在0.5左右摆动，逐渐稳定在0.5。概率的这三个定义属于描述性定义，叙述中使用了“可能性”一词，概率也只是关于“可能性”的概念，所以这些定义在理论上并不严格。由于缺乏严格的理论基础，人们往往会找到一些漏洞来钻，最典型的就是法国数学家伯特伦在1889中提出的概率悖论:圆内任意一根弦的长度超过圆内接的等边三角形的边长A的概率是多少？作者给出了三种不同的答案:
第一种解法是当弦中点H均匀分布在直径PQ上时，P=12(图1)；
图1图2和图3的第二种解法是，当弦中点H均匀分布在小圆周上时，P=13(图2)；
第三种解法假设弦的中点H均匀分布在一个小圆内，P=14(图3)。造成这种悖论的根本原因是三种解的等电位假设不同，对应的样本空间也不同。它们是三个不同的随机实验。因此，在样本点无限的情况下，样本空间和样本点必须具体定义，概率的公理化定义应运而生。教学
近年来，随着数学的发展，人们越来越重视主观概率。概率的主观定义也叫直觉定义。“它是指认知主体根据自己所掌握的知识、信息和证据，对某种情境的可能性所作出的定量判断”(陈喜儒，2000，6)。英国学者贝叶斯提出的“贝叶斯公式”被认为是第一个使用主观概率的公式。问题是，在实践中，因为考虑中的过程没有进行，所以往往无法得到很多事情的概率。但事实上，如果人们根据以往的经验数据甚至主观或客观的要求，对获得的数据进行分析，估计出一个最优值作为研究人群的假设概率，最后在获得新信息的基础上对假设概率进行修正，这是无可非议的。在现代日益复杂的经济活动中，当一些决策无法用理论概率或经验概率来判断时，将主观概率应用于投资等经济决策问题是可行的。在教学中适当引入主观概率，可以丰富学生对概率的理解。
2 .分析历史情境，培养学生正确的概率直觉
英国学者威尔斯说:“统计思维方法和读写能力一样，总有一天会成为高效公民的必备能力。”但概率统计不同于研究几何、代数等确定性现象的数学分支，在理论和方法上有自己独特的风格。在概率统计的学习中，学生会遇到很多随机的数学理论。因为各种随机现象不能用“因果关系”来严格控制和准确预测，也不能用一些简单的规律来概括，而是要从大量的观察中综合分析，找出规律性，所以要培养学生正确的概率统计思维方法。
在教学中，我们经常发现很多学生往往局限于确定性数学的思维方式，无法建立正确的概率直觉，在概率学习和解题中存在大量的误区。事实上，对于教师来说，保持概率统计课程的逻辑严密性，注重学生概率直觉能力的培养，是必须处理好的重要问题。让学生尽快体验概率与实际事物的紧密联系。对现实事物中随机性的敏锐感觉是建立正确概率直觉的必要条件。比如在学习“生日问题”时，老师可以先介绍以下历史信息:美国历史上迄今为止共有42位总统，其中11的波尔克，29号的哈丁，生日都是11，亚当斯和亚当斯。
“生日问题”可能非常令人困惑:50个人中有两个人生日相同，你可能认为这只是巧合。事实上，几乎可以肯定至少有两个人在同一天过生日。我们可以用概率的方法来计算。为简单起见，我们不记闰年，一年算365天。所以这个问题的理论概率是1-A50-A50？365?36550?≈ 0.97.这种情况发生的概率并不像大多数人直觉认为的那么小，而是相当大。这个例子告诉我们，通常的“直觉”并不十分可靠，有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性。这个例子中的错误直觉源于人们潜意识中的直觉，认为50个人中有两个人生日相同，50个人中有一部分人生日相同，而后一种情况的理论概率只有65438。≈ 0.13.所以“50个人中有两个生日相同”的概率并不是很大的错觉。在教学中，学生可以通过统计调查或随机模拟实验，经历对随机事件概率的估计和验证过程，逐步建立正确的概率直觉。
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3 .挖掘史料，让学生体验概率统计的思维方法
概率统计是中学数学新课程的重要组成部分。它研究随机现象的统计规律性，有独特的概念、方法和理论。在教学中，要更加注重实验和统计的过程，结合历史实例，尽早培养学生的随机思维和统计概念。
3.1杂念
随机思想的核心是认识隐藏在随机现象背后的统计规律性，强调随机现象个体观察的随机性与大量观察的统计规律性之间的关系。偶然性背后总是隐藏着必然性，大量的随机现象反映了事物发展中的必然性。正是通过对这种偶然性的研究，随机思想找到了其背后的必然性，即统计规律性，并通过这种必然性认识和把握随机现象。
随机实验是随机思维中的一种重要方法。为了研究随机现象的统计规律，历史上进行过著名的随机实验，如布丰和皮尔逊的掷硬币实验，高尔顿设计的高尔顿板测试模型等。比如我们投很多硬币，面朝上的频率非常接近一半，也就是理论上面朝上的概率是12。我们称这种现象为个别结果不确定，但重复多次后，结果有规律。“随机”不是“偶然”的同义词，而是描述一种不同于确定性的顺序，而概率统计是描述随机性和统计规律性的数学。
理解随机思想的关键是要明白一个事件的检验频率与理论概率有偏差，偏差的存在是正常的。虽然重复测试的频率逐渐稳定到其理论概率，但不排除无论做多少次测试，测试概率仍然是理论概率的一个近似值，不能等于理论概率。比如，理论上“随机扔硬币，正面朝上落地”事件的概率是12。但是，100次测试，并不能保证50次对上，50次对下。只要学生真的做了测试，就一定会意识到这一点。其实100抛硬币测试50次都是对上，50次都是对下的概率只有C50？100?(12)100?≈ ?8%，远低于投币硬币面朝上一次的概率50%。在教学中要防止学生把概率直观地理解为“比”，从而对一个事件的概率有更深刻的理解。
随机思想还包括统计实验过程中抽样的随机性和模拟实验或随机抽样结果的随机性。学生只有认识到这一点，才能真正理解现实世界中广泛存在的随机性，并积极应用到生活中。抽样方法有很多种，但无论采用哪种方法进行抽样，都要坚持随机抽样的原则。这是避免人为影响，保证样本客观真实的基本要求。
3.2统计推断思想
统计学课程的核心目标是引导学生理解统计思维的特点和作用，以及统计思维与确定性思维的区别。例如，在利用样本估计总体的研究中，学生要认识到样本提供的信息在一定程度上反映了总体的相关特征，但通过对具体数据的分析，与总体存在一定的偏差。另一方面，如果抽样方法合理，比如著名数学家拉普拉斯研究了伦敦、彼得堡、柏林和法国的男孩和女孩的出生规律，得到的统计数据显示，在10年间，男孩的出生频率在2243左右波动；我国历次人口普查的总人口性别构成数据与拉普拉斯得到的数据非常接近。
科学家发现，不仅在人类社会生活中，在自然界中，生命的繁衍和进化都服从概率统计规律。早在1843年，捷克修道士孟德尔就通过研究豌豆的遗传规律，首次向世人揭示了大自然的奥秘。由于豌豆的两个基因是相互分离的，在进入下一代杂交细胞时互不干扰，最后在生物授粉过程中随机结合。因此，这一定律也被称为“分离现象”。后来，孟德尔经过艰苦的探索，发现两对不同性状的植物杂交时，不同对的遗传基因自由组合，机会均等。这就是孟德尔第二定律，又称“自由组合定律”。孟德尔发现的分离和自由组合规律，本质上是概率统计规律在遗传过程中的体现。
统计推理的过程不同于数学中的逻辑推理，它是一种具有概率性的推理方法，其原理是“小概率事件”。小概率事件原理认为，在一个实验中，小概率的事件几乎不会发生。比如假设检验问题的求解就是统计推断的体现。对于一个假设，给定一个小概率水平标准，如果对抽样数据进行整理计算，如果结果使得一个小概率事件发生(这与小概率事件不同)否则，则认为原假设是可以接受的。这种统计推断思想的实施，充分说明了数理统计的实用性。在教学中，可以利用药物疗效试验等例子，重点介绍统计推断思想。
4 .利用概率模型的历史实例激发学生的创新意识
随机数学很大一部分可以用概率模型来描述，比如有限等概率模型(经典概率模型)、伯努利概率模型、正态分布等。概率模型法的应用，是根据一个随机问题的具体特点，模拟并构建一个现实的原型或抽象模型，以反映问题的内在规律，然后选择相应的数学方法，对得到的数学模型进行解答。它展示了从实践到理论再回到实践的过程。在概率统计教学中，要重视概率模型的理解和应用，淡化复杂的计算，让学生体验从多个例子中总结出具体概率模型的过程，体验这些例子的共同特征，培养学生识别模型的能力。美国普渡大学统计学教授大卫·s·摩尔(David S. Moore)曾说:“学习组合学并不能使我们增强对机会概念的理解。开发使用概率建模的能力并不比其他学科好。在大多数情况下，我们应该避免组合问题，除非是最简单的计数问题。”利用概率模型解决问题是典型的归纳思维方式，离不开人们的观察、实验和合理推理。它是数学意识和思维方法的体现，有助于培养学生应用数学理论解决实际问题的能力和创新意识。
数学史在展示随机数学知识发展过程的同时，数学家在解决实际问题中数学方法的应用和创新思维也常常给后人带来启发。比如用概率模型求π就是典型的历史例子，一部计算圆周率的历史被誉为人类的“文明象征”。1872年，英国学者威廉·桑克斯已经把π的值计算到小数点后707位。时隔半个多世纪，数学家法格森对x的计算结果产生了怀疑，法格森的怀疑是基于以下奇特的想法:在π的取值上，没有对一两个数的偏好，也就是说，每个数的概率应该等于110。随着电子计算机的出现和应用，π的计算取得了迅速的进展。1973年，法国学者让·盖。本文对π的第一个百万位的每一位的出现频率做了一个有趣的统计，得出结论:虽然每一位的出现有一些起伏，但基本上是平分秋色的。看来弗格森的想法应该是正确的，而且在π的数值展开式中，有:p (0) = p (1) = p (2) = … = p (9) =？0.1?但有时，由于概率模型包含不确定的随机因素，比确定性模型更难分析。在这种情况下，可以考虑蒙特卡罗方法。蒙特卡洛法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌场——摩纳哥的蒙特卡洛。它的历史起源于法国科学家布丰在1777年提出的一种计算圆周率的方法，即著名的布丰针问题蒙特卡罗方法，属于实验数学的一个分支。其基本思想是先建立一个概率模型，使问题的解恰好是模型的参数或其他相关的特征量。然后通过模拟统计实验，即多次随机抽样实验，统计出一个事件的百分比。只要实验次数多，百分比就和一个事件的概率差不多。最后，利用建立的概率模型得到待估计的参数，即问题的解。
参考
1李文林。数学史导论[M]。北京:高等教育出版社，2002。
2张丹。统计与概率[M]。北京:高等教育出版社，2006
3张远南。概率与方程的故事[M]。北京:中国少年儿童出版社，2005。
注:“本文涉及的图表、注释、公式请阅读PDF格式的原文。”
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