初三如何学好几何？一年级好，二年级落后，三年级感觉更难。发生了什么事?请教专家，非常感谢。

几何学历史悠久，内容丰富。与代数、分析、数论等密切相关。几何思想是数学中最重要的一种思想。目前数学各个分支的发展都趋于几何化，即用几何的观点和思维方法去探索各种数学理论。

平面几何立体几何

最早的几何属于平面几何。平面几何是研究平面上直线和二次曲线(即圆锥曲线，即椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何采用公理化方法，在数学思想史上具有重要意义。平面几何的内容自然转移到了三维空间的立体几何。为了计算体积和面积的问题，人们实际上已经开始涉及微积分最初的概念。笛卡尔引入坐标系后，代数和几何的关系变得清晰并日益密切。这促使了解析几何的出现。解析几何是笛卡尔和费马独立创立的。这是又一个标志性事件。从解析几何的角度来看，几何图形的性质可以归结为方程的解析性质和代数性质。将几何图形的分类(如将圆锥曲线分为三类)转化为方程代数特征的分类，即寻找代数不变量的问题。立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴，所以研究二次曲面(如球面、椭球面、锥面、双曲面、鞍面)的几何分类归结为研究代数中二次型的不变量。一般来说，上述几何都是在欧氏空间的几何结构即平面空间结构的背景下考察的，并没有真正关注到曲面空间的几何结构。欧几里得几何公理本质上描述了平坦空间的几何特征，尤其是第五公设引起了人们对其正确性的怀疑。于是，人们开始关注其弯曲空间的几何，即“非欧几何”。非欧几何包括几个经典的几何题目，如“球面几何”、“罗氏几何”等。另一方面，人们开始考虑射影几何，以便将无穷远处那些难以捉摸的点引入观察范围。总的来说，这些早期的非欧几何研究的是非度规性质，即与度规关系不大，只关注几何对象的位置——比如平行、相交等等。这几种几何学所研究的空间背景是一个弯曲的空间。

微分几何

为了介绍理论测量(长度、面积等。)的弯曲空间，我们需要引入微积分来局部分析空间弯曲的性质。微分几何应运而生。研究曲线和曲面的微分几何称为经典微分几何。而经典微分几何所讨论的对象，在定义各种几何概念(如切线、曲率)之前，必须事先嵌入欧氏空间。如果一个几何概念与几何对象的空间位置无关，而只与它自身的状态有关，则称它是固有的。在物理语言中，几何性质必须独立于参考系的选择。

内在几何学

有哪些几何概念是内在的？这是当时最重要的理论问题。高斯发现曲面的曲率(即反映弯曲程度的量)实际上是内在的——尽管它最初的定义似乎与它的大空间位置有关。这个重要的发现被称为高斯的奇妙定理。经典几何的另一个重要发现是高斯-博纳特公式，它反映了弯曲空间中曲率与三角形和的关系。黎曼几何，第一个研究内禀几何的学科，在一次著名的演讲中创立了这个基本理论。它第一次强调了内蕴思想，把以往所有的几何对象都归入更一般的范畴，内在地定义了度量等几何概念。这一几何理论开启了现代几何的大门，具有里程碑式的意义。它也成为爱因斯坦广义相对论的数学基础。从黎曼几何开始，微分几何进入了一个新的时代，几何对象扩展到了流形(一种弯曲的几何对象)——庞加莱引入的概念。由此发展出张量几何、黎曼曲面理论、复几何、霍奇理论、纤维丛理论、芬斯勒几何、莫尔斯理论、形变理论等等。从代数的角度来看，几何学已经从传统的解析几何发展成为一种更为普遍的理论——代数几何。传统的代数几何是以多项式方程组的零集合为几何对象来研究几何结构和性质——这种几何称为代数簇。解析几何所研究的直线、圆锥曲线、球面、圆锥等都是特例。稍微概括一下就是代数曲线，尤其是平面代数曲线，它对应的是黎曼曲面。代数几何可以用交换代数环和模的语言来描述，也可以从复几何和霍奇理论等分析方法来讨论。代数几何的思想也被引入数论，从而促进了抽象代数几何的发展，如算术代数几何。

拓扑学

拓扑学是与传统几何密切相关的一门重要学科。也可以看作是一种“柔性”几何，也是一切几何的研究基础。这门学科的雏形是由庞加莱创立的，后来发展成为成熟的数学理论。拓扑学是数学中的核心内容。讨论了描述几何对象的一些基本特征，如亏格(孔数)等。由此发展出同调论、同伦论等基础理论。

其他集体学科

除了以上的传统几何，我们还有闵可夫斯基的《数的几何》；热带几何，一门与现代物理学密切相关的新学科；讨论维数理论的分形几何；还有凸几何，组合几何，计算几何，排列几何，直观几何等等。

编辑此几何图形。

三大问题

古希腊几何作图的三大难题是:①将圆化为正方形，求正方形使其面积等于已知圆；②平分任意角度；(3)立方，求一个立方体，使其体积是已知立方体的两倍。这几道题的难点在于，画图只允许用直尺(没有刻度，只有直尺)和圆规。经过两千多年的探索，终于证明在尺子和尺子的限制下，是不可能做出要求的图形的。希腊人强调只有尺子和圆规才能用于绘画，原因如下。希腊几何的基本精神是从极少的基本假设(定义、公理、公设)中推导出尽可能多的命题。对于绘图工具来说，自然也相应地被限制到了不能少的程度。②受柏拉图哲学的影响。柏拉图片面强调数学在训练智力方面的作用，忽视了它的实用价值。他主张通过几何学习达到训练逻辑思维的目的，所以工具要有限制，就像体育比赛要有仪器限制一样。以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象。用尺子已经可以做出圆和直线了，所以规定只能用这两个工具。历史上最早提出尺子和尺的限制的是Enopides，后来逐渐成为约定俗成，最后总结在欧几里得的《几何原本》中。

直尺圆规作图法

公元前5世纪，雅典的“智人学派”集中讨论了上述三个问题。因为它不是统治者能解决的，所以人们经常闯入新的领域。例如，它启发了圆锥曲线、割线曲线以及三次和四次代数曲线的发现。17世纪解析几何建立后，尺子作图的可能性成为一个判据。1837年，P.L. Wangzel给出了用直尺画任何角和立方体都是不可能的证明，1882年，C.L.F .冯·林德曼证明了π的超越性，圆变正方形的不可能性成立。1895 (C.) F .克莱因总结了前人的研究，写了一本书《几何三大问题》(中译本，1930)，简明地证明了用尺子是画不出三大问题的，彻底解决了两千多年来的悬案。即便如此，还是有很多人不顾这些证明，想要压倒前人的所有工作。他们声称解决了三大难题中的一个，但实际上他们并不了解设定的条件和无法解决的真相。三大问题无法解决，关键在于工具的限制。如果工具不限，那根本不是问题，早就解决了。比如阿基米德，他用巧妙的方法把任何一个角分成三份。为简洁起见，原标题略有修改。在尺边加一点p，尺尾为o，设待三等分的角为∠ACB，以C为圆心，Op为半径，在A、B处做一个边相交的半圆；使O点在CA延长线上移动，P点在圆周上移动。当标尺通过B时，连接OpB(见图)。因为Op=pC=CB，所以很容易知道。∠COB=1/3∠ACB这里使用的工具并不限于尺子，作图方法也与公设不符。其他两个问题也可以通过其他工具解决。

编辑这一段欧几里得和几何元素。

欧几里德在公元前300年左右去亚历山大教书。他是一位受人尊敬、温和而诚实的教育家。他热爱数学，知道柏拉图的一些几何原理。他非常详细地收集了当时所能知道的所有几何事实，并按照柏拉图和亚里士多德提出的逻辑推理的方法，编成了一套体系严密的理论，写出了数学史上早期的巨著——《几何原本》。

历史意义

《几何原本》的重大历史意义在于，它是最早用公理化方法建立演绎数学体系的模型。在这本书里，所有的几何知识都是从最初的除法假设和逻辑推理发展和描述的。也就是说，几何自《几何原本》出版以来，才真正成为一门具有相对严密的理论体系和科学方法的学科。

几何原始内容

欧几里得的《几何原本》有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形的边和角的关系，平行线的理论，三角形和多边形的等积(等面积)的条件；第二册讲的是如何把三角形变成乘积相等的正方形；第三卷讲圈子；第四卷讨论内接和外切多边形；第六册讲相似多边形理论；第五、七、八、九、十卷描述比例和算术增益的理论；最后描述了立体几何的内容。从这些内容可以看出，中学课程中初等几何的主要内容已经完全包含在几何元素中了。因此，长期以来，人们认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教材。属于几何学要素的几何称为欧几里德几何，或简称欧几里德几何。

主要特征

《几何原本》最重要的特点是建立了严格的几何体系，其中主要有定义、公理、公设和命题(包括画法和定理)四个内容。《几何原本》第一册有23个定义，5个公理，5个公设。(最后一个公设就是著名的平行公设，或者说第五公设。引发了两千多年来几何史上最著名的平行线理论大讨论，最终诞生了非欧几何。)这些定义、公理和公设是《几何原本》一书的基础。基于这些定义，公理和假设，整本书逻辑地发展其各个部分。比如后面出现的每一个定理，都说明了什么是已知，什么是验证。我们要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理，并给出仔细的证明。

几何演示的方法

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析、综合和归谬法。所谓分析方法，就是假设所要求的已经得到，分析此时成立的条件，从而实现证明的步骤；综合法是从以前已经证明的事实出发，逐步推导出要证明的事项；反证法是在保留命题的假设下否定结论，从结论的反面出发，从中推导出与已证明的事实或已知条件相矛盾的结果，从而证实原命题的结论是正确的，也称反证法。欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展史上具有重要意义。标志着几何学已经成为一门具有相对严密的理论体系和科学方法的学科。

编辑希尔伯特《几何基础》的这一段。

建立公理系统的原则

《几何原本》中逻辑结果的一些漏洞和瑕疵的发现，是推动几何学不断发展的契机。最后，德国数学家希尔伯特在1899年出版的《几何基础》一书中，在总结前人工作的基础上，提出了一个比较完善的几何公理体系。这个公理系统叫做希尔伯特公理。希尔伯特不仅提出了完善的几何体系，而且提出了建立公理体系的原则。即在一个几何公理系统中，应该采用哪些公理，包含多少公理，要从以下三个方面考虑:一是* * *(和谐)的存在性，即在一个公理系统中，所有的公理应该是不矛盾的，并且是和谐的，存在于同一个系统中。第二，独立性，公理系统中的每一个公理都应该是独立的，相互独立的，没有一个公理可以从其他公理推导出来。第三，完备性，公理系统中包含的公理应该足以证明本学科的任何新命题。这种用公理系统来定义几何中基本对象及其关系的研究方法，就成了数学中所谓的“公理化方法”，欧几里得在《几何原本》中提出的系统就叫经典公理化方法。

意义

公理化方法给几何研究带来了新的视角。在公理化理论中，因为没有定义基本对象，所以不需要探究对象的直观形象是什么，只需要研究抽象对象之间的关系和性质。从公理化规律的角度来看，我们可以任意用点、线、面来表示具体的事物，只要这些具体的事物满足公理中的组合关系、序列关系、契约关系，使这些关系满足公理系统中规定的要求，就构成了几何。所以，一切符合公理体系的元素都可以形成几何，每种几何的直观形象不只有一个，可能有无穷多个。我们把每一个直观的图像称为几何的解释，或者几何模型。熟悉的几何图形在学习几何时并不是必须的，它只是一个直观的形象。在这方面，几何学研究的对象更加广泛，几何学的意义也比欧几里德的时代更加抽象。这些都给现代几何学的发展带来了深远的影响。

平面几何的几个著名定理

1、勾股定理(勾股定理)2、射影定理(欧几里德定理)3、三角形的三条中线相交于一点，每条中线被该点分成2: 1的两部分。4.四边形两边中心的连线与两对角线中心的连线相交于一点。5.每隔一段距离连接六边形各边的两个三角形的中心是6。三角形每条边的垂直平分线相交于一点。7.三角形的三条线相交于一点。8.设三角形ABC的外圆心为O，竖圆心为H，从O到BC画一条垂直线，设竖脚为L，则AH=2OL 9。三角形的外中心、垂直中心和重心在同一条直线上(欧拉线)。10，(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形，三边的圆心，从每个顶点画到其对边的垂足，连接垂足圆心与每个顶点的中点，这九个点在同一圆上。11、欧拉定理:三角形的外圆心、重心、九点圆的圆心、垂心依次位于同一条直线(欧拉线)上。12、库利奇定理:(圆内接一个四边形的九点圆)圆周上有四个点，其中任意三个都是三角形，这四个三角形的九点圆心在同一圆周上。13，(内)三角形的三个内角的平分线相交于一点，内切圆的半径公式为:r=(s-a)(s-b)(s-c)s，S为三角形半周长，14；(近心)三角形内角的一条平分线与其他两个顶点的外角平分线相交于一点，15；中值定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为p，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16，史都华定理:p将三角形ABCD的边BC分成m:n，则有n×AB2+m×AC2 =(m+n)AP2+MNM+NBC 217，波罗米尔和许多定理:在一个圆内。连接Ab中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18，阿波罗尼奥斯定理:定比m:n(值不是1)的点P位于将线段AB分为m:n的内点C和外点D作为直径两端的固定圆上，托勒密定理:设一个四边形AB。然后有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20，以任意三角形△ABC的边BC、CA、AB为底，分别向外做底角为30度的等腰△BDC、△CEA和△AFB，那么△DEF是正三角形，21和埃尔克定理1: If △ 22。埃尔科斯定理2:如果△ABC、△DEF和△GHI都是正三角形，那么由三角形的重心△ADG、△BEH和△CFI组成的三角形是正三角形。23.梅内莱厄斯定理:设△ABC的三条边BC、CA、AB或它们的延长线与一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R，则BPPC× CQQA× ARBB = 1 24、梅内莱厄斯定理的逆定理:(略)25、梅内莱厄斯定理的应用定理1。26.梅内莱厄斯定理应用定理2:若任意△ABC的三个顶点A、B、C为其外接圆的切线，分别与BC、CA、AB的延长线相交于P、Q、R点，则P、Q、R的直线为* * * 27。塞瓦定理:设△ABC的三个顶点A、B、C不存在。如果直线与边BC、CA、AB或它们的延长线相交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1。28、和塞瓦定理的应用定理:设平行于边BC和两条边AB、AC的直线的交点分别为D和E，设BE和CD相交于S，则AS必过BC的中心M 29、塞维尔定理逆定理:(略)30、塞维尔定理逆定理的应用定理1:三角形的三条中线相交于一点31， 以及塞维尔定理2逆定理的应用定理:设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别与点R、S、T相切。 32.辛普森定理:取△ABC的外接圆上的任意一点P作到三边BC、CA、AB或它们的延长线的垂线，设其垂足为D、E、R，则D、E、R的直线***(这条直线称为辛普森线)33 .辛普森定理的逆定理:(略)34。斯坦纳。35.斯坦纳定理的应用定理:△ABC的外接圆上一点P关于边BC、CA、AB的对称点与△ABC的垂心H在一条直线上(平行于辛普森线)。这条直线叫做点P关于△ABC的镜像线。36.博朗热与滕夏定理:设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R相交于一点的充要条件为:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏)。37、博朗日和滕夏定理推论65438+。然后关于△PQR的点A、B、C的辛普森线和以前一样相交于同一点。38.波兰杰和滕夏定理推论2:在推论1中，三条辛普森线的交点是A、B、C、P、Q、R这三个点构成的三角形的垂直中心与其他三个点构成的三角形的垂直中心的连线的中点。39.博朗热与滕夏定理推论3:考察△ABC的外接圆上P点关于△ABC的辛普森线。如果QR是垂直于这条辛普森线的外切圆珠笔的弦，那么关于△ABC的辛普森线在P、Q、R三点相交于一点40。博朗热与滕夏定理推论4:从△ABC的顶点到BC和BC的边。并且设BC，CA，AB边的中点分别为L，M，N，那么D，E，F，L，M，N的六个点在同一圆上，那么L，M，N的点关于△ABC关于辛普森线相交于一点。41，关于西摩线的定理1:△ABC的外接圆的两个端点P和Q关于三角形的西摩线互相垂直，它们的交点在九点圆上。42.辛普森线上的定理2(和平定理):一个圆上有四个点，其中任意三个点都是三角形，然后剩下的点都是关于三角形的辛普森线，这些辛普森线相交于一点。43.卡诺定理:通过△ABC的外接圆的一点P，引入与△ABC的三条边BC、CA、AB方向相同、角度相等的直线PD、PE、PF，与三条边的交点分别为D、E、F，则D、E、F三点为* * *线。44.奥贝尔定理:从△ABC的三个顶点画出三条平行线，它们与△ABC的外接圆的交点分别为L，M，N。若从△ABC的外接圆上取一点P，则PL，PM，PN与BC，CA，AB或其延长线的交点分别为D，E，F。那么D、E、F三点* * *线45、清宫定理:设P、Q为△ABC的外接圆上不同于A、B、C的两点，P点关于BC、CA、AB三条边的对称点分别为U、V、W。这时，屈、、都在公元前、公元前、公元前、公元前或公元前的延长线上。那么D，E，F三点* * *线46，另一个定理:设P和Q是关于△ABC的外接圆的一对对跖，P点关于BC，CA，AB三条边的对称点分别是U，V，W。此时，若屈、、与边BC、CA、AB的交点或其延长线分别为ED、AB，(反点:p、q分别为圆O的半径OC及其延长线的两点。若OC2=OQ×OP，则称p和q的两点相对于圆o)47为反点。朗格汉斯定理:同一圆上有点a 1b 1c 1d 14，其中任意三个点都是三角形。48.九点圆定理:三角形三条边的中点，有三个高度和三个欧拉点的垂足(连接三角形顶点与垂心所得三条线段的中点)九点* *圆(通常称为「九点圆」)，或欧拉圆、费尔巴哈圆。49.一个圆上有n个点，从中n-65438+是任意的。50.康托定理1:圆上有n个点，从任意n-2个点的重心到其余两点的连线所画的垂线* * *个点。51、康托定理2:如果一个圆上有A、B、C、D四个点和M、N两个点，那么这M、N点关于这四个三角形中每一个三角形的两个辛普森的交点△BCD、△CDA、△DAB和△ABC在同一条直线上。这条直线叫做关于四边形ABCD的M点和N点的康托尔线。52.康托定理3:如果一个圆上有A、B、C、D四个点和M、N、L三个点，那么关于M、N处四边形ABCD的康托线，关于L、N处四边形ABCD的康托线，关于M、L处四边形ABCD的康托线相交于一点。这个点叫做M，N，L关于四边形ABCD的康托点。53.康托尔定理4:如果一个圆上有A、B、C、D、E五个点和M、N、L三个点，那么M、N、L三个点相对于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M，N，L关于五边形A，B，C，D，e的康托尔线54。费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和外接圆相切。55.莫利定理:如果一个三角形的三个内角被分成三等份，靠近一边的两条平分线得到一个交点，那么这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形通常被称为莫利的正三角形。56.牛顿定理1:一个四边形的两条对边的延长线的交点与两条对角线的中点所连接的线段的中点，三* * *线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。57.牛顿定理2:外切四边形的圆的两条对角线的中点，圆心和三点* * *线。58.吉拉德·笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC和△DEF。设它们对应的顶点(A和D，B和E，C和F)的连线相交于一点。此时，如果对应的边或其延长线相交，则三个交点为* * *线。59.吉拉德·笛沙格定理2:有两个三角形△ABC和△DEF在不同的平面上。设它们对应的顶点(A和D，B和E，C和F)的连线相交于一点。此时，如果对应的边或其延长线相交，则三个交点为* * *线。60.布莱安松定理:如果与圆相切的六边形ABCDEF的顶点A和D，B和E，C和F相连，那么这三条线就是* * *点。61，Basija定理:六边形ABCDEF和DE，BC和EF，CD和FA的对边AB的交线(或延长线)内接一个圆。62.秦九韶-海伦公式:已知三角形的三条边:a、B、c、B、c，若三角形面积S为根号，则p(p-a)(p-b)(p-c) p为三角形周长的一半。