欧拉公式对于多面体意味着什么？

(1)背景:欧拉公式的背后是一种新的几何，它只研究一个图形各部分位置的相对顺序，不考虑图形的大小。这就是莱布尼茨和欧拉创立的“橡胶膜上的几何”(位置几何)，现在这门学科已经发展成为数学的一个重要分支——拓扑学。

(2)历史:关于凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2”，其实是笛卡尔在1635左右发现的。欧拉在1750年独立发现了这个公式，并在1752年发表。因为笛卡尔的研究直到1860才被发现，所以这个定理被称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。

欧拉，出生于瑞士城市巴塞尔，13岁赴巴塞尔大学求学，并得到当时最著名的数学家(约翰·约翰·伯努利，1667-1748)的悉心指导。

欧拉在数学上取得了许多成就，著名的哥尼斯堡七桥问题的解决开创了图论的研究。欧拉还发现，无论什么形状的凸多面体，其顶点数V、边数E和面数F之间总有一个关系，即V-E+F=2。被称为欧拉特征的V-E+F已成为拓扑学的基本概念。数学书籍中随处可见以欧拉命名的数学公式和定理。同时，他在物理、天文、建筑、音乐、哲学等方面都取得了辉煌的成就。欧拉还创造了许多数学符号，如π(1736)、i(1777)、e(1748)、sin和cos(1748)、tg(1753)、△ X。

1733年，年仅26岁的欧拉成为彼得堡科学院的数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文问题(计算彗星轨道)，几个著名数学家花了几个月才解决，但欧拉用自己发明的方法，三天就完成了。然而，过度的工作让他患上了眼疾，不幸失去了右眼。

欧拉的一生是为数学的发展而奋斗的一生。他卓越的智慧、顽强的毅力、孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。

有四个欧拉公式。

(1)分数:

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

当r=0，1时，公式的值为0。

当r=2时，值为1。

当r=3时，值为a+b+c B+C。

(2)复数

从e I θ = cos θ+isinθ，我们得到:

sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i

cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

(3)三角形

设r为三角形外接圆的半径，r为内切圆的半径，d为外中心到内中心的距离，则:

d^2=R^2-2Rr

(4)多面体

设v是顶点的数目，e是边和面的数目，那么

v-e+f=2-2p

例如，p是欧拉特征。

p=0的多面体称为零类多面体。

p=1的多面体称为第一多面体。

等等

其实欧拉公式有四个，都是多面体公式。