黎曼取得了什么成就？
因为从小热爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时，听了一些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学中心之一，高斯、韦伯、斯泰尔等一些著名数学家都曾在该校任教。黎曼被这里的数学教学和研究氛围所感染，决定放弃神学，专攻数学。
65438-0847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克雷、施泰纳、爱森斯坦的学生。1849年，他回到戈尔丁大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。
1851年，黎曼获得数学博士学位；1854年被聘为哥廷根大学特聘讲师；1857晋升副教授；1859年，狄利克雷被聘为教授，代替他的去世。
由于多年的贫困和劳累，黎曼在1862年结婚后不到一个月就开始患上胸膜炎和肺结核，接下来四年的大部分时间都在意大利接受治疗和休养。1866于7月20日在意大利去世，享年39岁。
黎曼是世界数学史上最具原创性的数学家之一。黎曼的作品不多，但极其深刻，充满了对概念的创造和想象。在他短暂的一生中，黎曼为数学的许多领域做了大量基础性和创造性的工作，为世界数学做出了巨大的贡献。
黎曼是复变函数论的创始人。
19世纪数学最独特的创造是复变函数论的创立，这是18世纪人们对复数和复变函数论研究的延续。在1850之前，柯西、雅各比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯等都曾系统地研究过单值解析函数的理论，但对于多值函数，只有柯西和皮瑟有一些孤立的结论。
1851年，在高斯的指导下，黎曼完成了题为《简单复变函数的一般理论基础》的博士论文，后来在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，进一步阐述了博士论文中的思想。一方面，他总结了前人关于单值解析函数的成果，用新的工具进行了处理，创立了多值解析函数的理论基础。
柯西和黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要创始人，后来证明黎曼方法在处理复变函数论中是必不可少的。柯西和黎曼的思想融合在一起，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西-黎曼的观点推导出来。
在黎曼对多值函数的处理中，最重要的是他引入了“黎曼曲面”的概念。多值函数通过黎曼曲面是几何直观的，黎曼曲面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼曲面上引入了支点、截线、定义了连通性，并对函数的性质进行了研究，得到了一系列结果。
黎曼处理的复函数，单值函数就是多值函数的一个例子。他将单值函数的一些已知结论推广到多值函数，特别是他提出的按连通性对函数进行分类的方法，极大地促进了拓扑学的最初发展。他研究了阿贝尔函数、阿贝尔积分和阿贝尔积分的反演，得出了著名的黎曼-罗氏定理。第一次双有理变换构成了19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。
为了完善自己的博士论文，黎曼在文末给出了他的函数论在保角映射中的几个应用，将Gauss在1825中关于平面到平面的保角映射的结论推广到任意黎曼曲面，并在文末给出了著名的黎曼映射定理。
黎曼几何的创始人
黎曼对数学最重要的贡献在于几何。他所开创的高维抽象几何的研究，以及处理几何问题的方法和手段，是几何史上一场深刻的革命。他建立了以自己名字命名的全新几何体系，对现代几何乃至数学和科学分支的发展产生了巨大影响。
1854年，黎曼为了获得哥廷根大学的额外讲师资格，对全体教职员工进行了一次演讲。这篇演讲在他死后两年(1868)发表，题目是《作为几何学基础的假设》。他在演讲中简要概述了所有已知的几何，包括新诞生的非欧几何之一的双曲几何，并提出了一个新的几何体系，后来被称为黎曼几何。
为了争夺巴黎科学院的奖金，黎曼在1861写了一篇关于热传导的文章，后来被称为他的“巴黎工作”。本文对他的1854的文章进行技术处理，进一步阐明他的几何思想。此文在他去世后1876收录在他的文集里。
黎曼主要研究的是几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的方式，这与高斯、波尔约、罗巴切夫斯基的欧几里德几何或者非欧几里德几何中把空间看成一个整体是相对的。黎曼摆脱了高斯等前辈将几何对象局限于三维欧氏空间的曲线曲面的束缚，从量纲的角度建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼引入了流形和微分流形的概念，并将维空间称为流形。维流形中的一个点可以用一组可变参数的特定值来表示，所有这些点构成了流形本身。这个可变参数称为流形的坐标，并且是可微的。当坐标连续变化时，对应点遍历流形。
黎曼以传统的微分几何为模型，定义了流形上两点之间的距离、流形上的曲线以及曲线之间的夹角。基于这些概念，研究了维流形的几何性质。在维流形上，他在研究一般曲面时也定义了与高斯相似的曲率。他证明了当他在维流形上的维数等于3时，欧氏空间的情况与高斯等人得到的结果是一致的，所以黎曼几何是传统微分几何的推广。
黎曼发展了高斯关于曲面本身就是空间的几何思想，研究了维流形的内在性质。黎曼的研究导致了另一种非欧几何的诞生——椭圆几何。
在黎曼看来，有三种不同的几何。两者的区别在于给定点绕一条固定直线所做的平行线的数量。如果只能作出一条平行线，则称为欧几里得几何；如果你一个都不会，那就是椭圆几何；如果有一组平行线，就得到第三种几何，即罗巴切夫斯基几何。黎曼因此在罗巴切夫斯基之后发展了空间理论，结束了1000多年来关于欧几里得平行公理的讨论。他断言客观空间是一种特殊的流形，并预见到具有某些性质的流形的存在。这些逐渐被后人所证实。
由于黎曼考虑的是任意维的几何空间，所以对复杂的客观空间有更深的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采用了一些不同于前人的方法，使表达式更加简洁，最终导致了张量、外微分、联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦成功地用黎曼几何作为工具来解释广义相对论。现在，黎曼几何已经成为现代理论物理的必要数学基础。
对微积分理论的创造性贡献
除了在几何和复变函数方面的开创性工作外，黎曼还以其对兴起于19世纪早期的微积分理论的完善所做出的杰出贡献而名垂青史。
18年底到19年初，数学界开始关心数学最大的分支——微积分在概念和证明上的不严谨。波尔扎诺、柯西、阿贝尔、狄利克雷以及后来的威尔斯都致力于严格的分析。黎曼在柏林大学师从狄利克雷学习数学，对柯西和阿贝尔的工作有深刻的理解，因此对微积分理论有他独特的看法。
1854年，黎曼需要提交一篇反映自己学术水平的论文，才能获得哥廷根大学的额外讲师资格。他交的是一篇关于用三角级数表示函数的可能性的文章。这是一部内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论影响深远。
柯西曾证明连续函数必可积，黎曼指出可积函数不一定连续。柯西和他同时代的几乎所有数学家都相信连续性和可微性之间的关系，在接下来的50年里，许多教科书“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个著名的连续性和可微性的反例，最后阐明了连续性和可微性的关系。
黎曼建立了微积分教科书中所描述的黎曼积分的概念，并给出了这个积分存在的充要条件。
黎曼用自己独特的方法研究了傅立叶级数，并推广了狄利克雷条件，即关于三角级数收敛性的黎曼条件，得到了一系列关于三角级数收敛性和可积性的定理。他还证明了任何条件收敛级数的项可以适当地重新排列，使新的级数收敛到任何指定的和或散度。
解析数论的跨世纪成就
19世纪数论的一个重要发展是引入了由狄利克雷开创的分析方法和分析结果，而黎曼则开创了用复解析函数研究数论的先河，取得了跨世纪的成果。
1859年，黎曼发表了论文《给定大小下素数的个数》。这是一篇极其深入的论文，不到十页。他把素数的分布归结为函数的问题，现在称之为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并在没有证明的情况下简单断言了其他性质。
在黎曼去世后的一百多年里，世界上许多最优秀的数学家都在努力证明他的论断，并在这些努力的过程中创造了内容丰富的新分支进行分析。现在，除了他的一个断言，其余的都如黎曼所料解决了。
那个未解决的问题现在被称为“黎曼猜想”，即带状区域的所有零点都在直线上(希尔伯特23个问题中的第8个)，至今未被证明。对于其他一些领域，布尔巴基学派的成员已经证明了相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决都依赖于这个猜想的解决。黎曼的工作不仅是对解析数论的贡献，而且极大地丰富了复变函数论的内容。
组合拓扑学的先驱
在黎曼博士的论文发表之前，组合拓扑学已经有一些零散的结果，其中比较著名的是关于闭凸多面体顶点、边和面之间关系的欧拉欧拉定理。还有一些看似简单的问题长期得不到解决，如哥尼斯堡七桥问题、四色问题等，促使人们研究组合拓扑学(当时称为位置几何或位置分析)。然而，拓扑学研究的最大动力来自于黎曼的复变理论。
黎曼在1851的博士论文中，以及在对阿贝尔函数的研究中，都强调了研究函数必然需要位置分析的一些定理。按照现代拓扑术语，黎曼实际上已经按照亏格对闭曲面进行了分类。值得一提的是，他在学位论文中说，所有函数都是由连通的闭区域(在空间点上)组成的思想是最早的泛函思想。
比萨大学的数学教授贝蒂曾经在意大利遇到过黎曼。当时黎曼生病了，无法继续发展自己的想法，就把方法教给了她。Betty将黎曼曲面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域做出了突出贡献。黎曼是组合拓扑学当之无愧的先驱。
代数几何的开源贡献
19世纪下半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数创造的双有理变换的方法产生了极大的兴趣。当时，他们把研究代数不变量和双有理变换称为代数几何。
在1857的论文中，黎曼认为所有可以相互转化的方程(或曲面)都是一类，它们具有相同的亏格。黎曼称常数的个数为“拟模”，常数在双有理变换下不变。“准模”概念是目前“参数模”的一个特例，研究参数模的结构是现代最热门的领域之一。
著名的代数几何学家克莱布什后来成为哥廷根大学的数学教授。他对黎曼的工作更加熟悉，并对其进行了新的发展。虽然黎曼英年早逝，但举世公认的是，研究曲线双有理变换的第一大步是由黎曼的工作引起的。
黎曼在数学物理、微分方程等其他领域也取得了丰硕的成果。
黎曼不仅对纯数学做出了划时代的贡献，还关心物理学以及数学与物理世界的关系。他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学和声学的论文。他是第一个用数学方法处理冲击波的人。他试图将重力和光统一起来，研究人类耳朵的数学结构。他总结了从物理问题中抽象出来的常微分方程和偏微分方程，取得了一系列丰硕的成果。
1857年，黎曼的论文《对高斯级数表示的函数论的补充》和同年写的一篇未发表的片断，并收入其全集，他处理了超几何微分方程，讨论了代数系数的阶线性微分方程。这是一篇关于微分方程奇异性理论的重要文献。
19世纪下半叶，许多数学家在黎曼问题上花费了大量精力，但都失败了。直到1905，希尔伯特和凯洛格才借助发展起来的积分方程理论，第一次给出了完整的解。
黎曼在常微分方程理论中对自守函数的研究也颇有建树。在他1858 ~ 1859的超几何级数讲座和1867出版的关于极小正曲面的遗著中，他建立了用于研究二阶线性微分方程的自守函数理论，这就是现在通常所说的黎曼-施瓦茨定理。
在偏微分方程理论与应用中，黎曼在1858到1859的论文中创造性地提出了求解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度。他还推广了格林定理；他在关于微分方程解的存在性的狄利克雷原理方面做了杰出的工作...
黎曼在物理学中使用的偏微分方程讲义，后来被韦伯编辑出版为《数学物理中的微分方程》，这是一部著名的历史著作。
然而，黎曼的创造性工作并没有得到当时数学界的一致认可。一方面是因为他的思想太深刻，当时的人很难理解。如果没有自由运动的概念，非常曲率的黎曼空间就很难让人接受，直到广义相对论的出现才平息了指责。另一方面，他的一些工作不够严谨，比如在论证黎曼映射定理和黎曼-罗氏定理时滥用狄利克雷原理，引起了很大争议。
黎曼的工作直接影响了19世纪下半叶数学的发展。许多杰出的数学家重新论证了黎曼所断言的定理，数学的许多分支在黎曼思想的影响下取得了辉煌的成就。