数学是怎么产生的？它的发展历史是怎样的？

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单来说就是研究数字和形状的科学。由于生活和劳动的需要，即使是最原始的人也知道简单的计数，并且已经从用手指或物体计数发展到用数字计数。在中国，最迟在商朝就已经有了用小数表示大数的方法。到了秦汉时期，已经出现了完善的十进制。在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，包含了只有用数值体系才有可能的平方根和平方根的计算规则，以及分数的各种运算和线性联立方程的求解方法，并引入了负数的概念。在他所注释的《九章算术》中，刘徽还提出用小数来表示无理数的奇平方根。但直到唐宋时期(在欧洲，16世纪的史蒂文之后)才开始普及小数。在这本书中，刘徽用正多边形内接的圆的周长来近似圆的周长，成为后世求圆周率的通用方法。虽然中国从未有过无理数或实数的一般概念，但实质上中国已经完成了当时实数系的所有运算规则和方法，不仅在应用上不可或缺。对于数学的早期教育也是不可或缺的。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲，则侧重于研究数字的性质以及这些性质之间的逻辑关系。早在欧几里得的《几何原本》中就有素数概念、素数的无穷数、整数的唯一分解等结论。古希腊发现了不带分数的数，现在称之为无理数. 16世纪，到了近代，数的概念被进一步抽象，根据数的不同运算规则，从理论上独立讨论了一般的数系，形成了数学的几个不同分支。平方根和平方根是求解最简单的高次方程必须用到的运算。在《九章算术》中，解决了一种特殊形式的二次方程。到了宋元时期，引入了明确的“天元”(即未知数)概念，出现了求高次方程数值解和最多四个未知数的高次代数联立方程的方法，俗称天元法和四元法。与之相关的多项式的表达式、算法、消元方法都接近近世代数。在中国以外，阿拉伯九世纪的拉米兹的著作阐述了二次方程的解法，通常被认为是代数的鼻祖。它的解法与中国古代依靠切割的几何方法具有本质上相同的风格。中国古代数学致力于方程的具体求解，而源于古希腊、埃及的欧洲传统数学则不同。16世纪，大卫用文字代替了方程的系数，引入了代数符号演算。讨论代数方程组的性质，是从线性方程组导出的行列式、矩阵、线性空间、线性变换。从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入，到伽罗瓦理论、群论的建立，近代极其活跃的代数几何，无非是对高阶联立代数方程的解所形成的集合的理论研究。形状的研究属于几何学的范畴。古代民族都有简单的形状概念，它往往用图画来表示，而图形之所以成为数学对象，是由于制作和测量工具的要求。在中国古代，于霞有一些测量工具，如尺、矩、标准、绳等。在莫箐，一系列几何概念被抽象地概括和科学地定义。《周篇》和刘徽的《舒静岛》给出了用矩观察天地的一般方法和具体公式。在刘徽注的《九章算术》和《九章算术》中，二比一原理(刘徽原理)需要求多面体的体积；5世纪时，祖(日恒)为了求得一个曲线形状的体积，特别是一个球体的体积，提出了“势若相同，积不可不同”的原理。还有用内接正多边形逼近圆周的极限法(割线法)。但自五代(约10世纪)以来，中国在几何方面的成就甚微。中国几何学的中心任务是测量和计算面积和体积的度量，而古希腊的传统是重视一个形状的性质和各种性质之间的关系。欧几里得的《几何原本》确立了定义、公理、定理等。它成为了现代数学中公理化的典范，影响了整个数学的发展。特别是对平行公理的研究，导致了19世纪非欧几何的出现。在欧洲，自文艺复兴以来，通过对绘画的透视关系的研究，出现了射影几何。18世纪，加斯帕尔·蒙日应用分析方法研究形状，这是微分几何中的第一个。高斯的曲面理论和黎曼的流形理论创造了形状与周围空间的独立性。19世纪，克莱因从群的观点统一了几何。此外，例如康托尔的点集理论，扩大了形状的范围。庞加莱创立了拓扑学，使形状的连续性成为几何学研究的对象。所有这些使几何学焕然一新。在现实世界中，数字和形状是不可分的。中国古代数学反映了这种客观现实，数和形一直是相辅相成，并行发展的。比如毕达哥拉斯测量提出了平方根的要求，平方根和平方根的方法都是基于对几何图形的考虑。大部分也来源于几何和实际问题。宋元时期，由于天元概念和多项式等价概念的引入，出现了几何代数。在天文地理的目录和地图的绘制中，已经用数字来表示地点，但还没有发展到坐标几何的地步。在欧洲，在14世纪，奥尔斯姆的著作已经萌芽，关于经纬度的图形表示和功能。17世纪，笛卡尔提出了用代数表示几何事物的系统方法及其应用。在其启蒙下，经过莱布尼茨和牛顿的工作，发展成为现代形式的坐标系解析几何，使数形统一更加完善，不仅改变了过去沿袭欧几里得几何的旧的几何证明方法，而且引起了导数的产生。它已经成为微积分的根源。这是数学史上的一件大事。十七世纪，由于科学技术的要求，促使数学家研究运动和变化，包括量的变化和形状的变换(如投影)，也产生了函数和无穷小分析的概念，也就是现在的微积分，使数学进入了研究变量的新时代。十八世纪以来，以解析几何和微积分的创立为契机，数学以前所未有的规模迅速发展，出现了众多的分支。由于自然界的大部分客观规律都是以微分方程的形式表达的，所以微分方程的研究从一开始就受到了极大的重视。微分几何基本上和微积分同时诞生，高斯和黎曼的工作产生了现代微分几何。20世纪初，庞加莱创立了拓扑学。它为连续现象的定性和整体研究开辟了一条道路。对客观世界中随机现象的分析产生了概率论。第二次世界大战的军事需要和大规模工业与管理的复杂性产生了运筹学、系统论、控制论、数理统计等学科。实际问题需要具体的数值解。计算数学应运而生。选择最佳方式的要求产生了各种优化理论和方法。力学、物理学和数学的发展总是相互影响、相互促进的，特别是相对论和量子力学促进了微分几何和泛函分析的发展。另外，在19世纪，方程化学只使用过一次，和数学几乎没有联系的生物已经使用了一些前沿的数学知识。19世纪后期，集合论的出现也进入了一个批判的时代，它促进了数理逻辑的形成和发展，也产生了各种将数学视为一个整体的思想潮流和数学基础学派。尤其是1900年，德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上发表了关于当代数学重要问题的演讲，以及20世纪30年代发展起来的以结构概念看待数学整体的法国布尔巴基学派的兴起。对20世纪数学的发展产生了巨大而深远的影响，“科学的数学化”一词开始被人们所享用。数学的边缘不断向自然科学、工程技术甚至社会科学渗透和扩展，出现了一些边缘数学。数学本身的内在需求也催生了许多新的理论和分支。与此同时，其核心部分不断得到巩固和改进，有时还进行适当调整以满足外部需要。总之，数学之树枝繁叶茂，根深叶茂。在数学蓬勃发展的过程中，数和形的概念不断扩大，越来越抽象，以至于没有了最初的计数和简单图形的痕迹。尽管如此，在新的数学分支中仍有一些对象和运算关系是用几何术语来表达的。比如把函数看成某个空间中的一个点。这种方法是有效的。说到底，是因为数学家们已经熟悉了数学运算与图形的简单关系，有着长期而深厚的实践基础。而且，即使是1、2、3、4等最原始的数字，以及点、直线等几何图形，都已经是高度抽象的概念。所以，如果把数和形理解为广义的抽象概念，前面提到的数学作为研究数和形的科学的定义，也适用于现阶段的现代数学。因为数学研究对象的数量关系和空间形式来自于现实世界，所以数学虽然在形式上高度抽象，但始终植根于现实世界。生活实践和技术需求永远是数学的真正源泉。反过来，数学在改造世界的实践中起着重要而关键的作用。理论的丰富和完善与广泛应用在数学史上一直是相伴而生、相互促进的。但是，由于各个民族和地区的客观条件不同，数学的具体发展过程也不同。一般来说，古代中华民族都是用竹子作为集资运营的资金。自然就导致了十进制的价值体系。计算方法的优越性有助于实际问题的具体解决。由此发展起来的数学形成了以构造性、可计算性、编程性和机械化为特征的独特体系，主要目标是从问题出发，然后解决问题。在古希腊，思考是被强调的。追求对宇宙的理解，发展成为以抽象的数学概念和性质及其逻辑相互依赖为研究对象的公理化演绎体系。中国的数学体系在宋元时期达到顶峰后，便停滞不前，几乎消失。在欧洲，经过文艺复兴、宗教革命、资产阶级革命等一系列变革，导致了工业革命和技术革命。机器的使用在国内外由来已久。但在中国，明朝初期，它被皇帝斥为奇技。在欧洲，是因为工商业的发展和航海的刺激才发展起来的。机器把人们从繁重的体力劳动中解放出来，并把他们引向理论力学和关于运动和变化的一般科学研究。当时的数学家积极参与了这些变化和相应数学问题的解决，产生了积极的成果。解析几何和微积分的诞生，成了数学发展的转折点。17世纪以来数学的飞跃，一般可以看作是这些成果的延续和发展。20世纪出现了各种全新的技术，产生了新的技术革命，尤其是计算机的出现。数学正面临一个新时代。这个时代的一个特点是一些脑力劳动逐渐机械化。与17世纪以来数学的主导思想和方法不同，离散数学和群数学因为计算机发展和应用的需要而受到关注。计算机在数学中的作用不仅限于数值计算。符号运算的重要性越来越明显(包括机器证明之类的数学研究)。计算机也广泛用于科学实验。为了更好地与计算机配合，数学对构造性、可计算性、编程性和机械化的要求也相当突出。代数几何是一门高度抽象的数学，最近计算代数几何和构造代数几何的提法是其线索之一。总之，数学是随着新技术革命不断发展的。