浅析分析与微积分简史

数学中的分析分支是专门研究实数和复数及其函数的数学分支。它的发展始于微积分，并扩展到函数的连续性、可微性和可积性。这些特征有助于我们研究物质世界，发现自然规律。

从历史上看，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼茨发明了微积分。17和18世纪数学分析的题目，如变分法、常微分方程和偏微分方程、傅立叶分析和生成函数，基本上都是在应用工作中发展起来的。微积分方法成功地用连续方法逼近离散问题。

在整个18世纪，函数概念的定义成为数学家们争论的话题。19世纪，柯西通过引入柯西数列的概念，首次将微积分建立在坚实的逻辑基础上。他还创立了复分析的形式理论。泊松、约瑟夫·刘维尔、傅立叶和其他数学家研究了偏微分方程和调和分析。

在那个世纪中叶，黎曼介绍了他的积分理论。在19世纪的最后三十年，Veiershtrass的分析的算术化产生了。他认为几何论证本质上是误导性的，引入了极限(ε，δ)的定义。此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实连续统的存在。戴德金用德德金除法构造实数。大约在那个时候，改进黎曼积分定理的尝试也导致了对实数函数的不连续集合的“大小”的研究。

此外，还创建了处处不连续的函数、处处连续但不可微的函数以及空间填充曲线。在这种背景下，乔丹发展了他的测度论，康托尔发展了现在的朴素集合论，贝尔证明了贝尔定理。20世纪早期，公理集合论使微积分形式化。勒贝格解决了测度问题，希尔伯特引入希尔伯特空间解决了积分方程。赋范向量空间的思想开始传播，在1920年代，巴拿赫创立了泛函分析。

数学分析目前分为以下子领域:

实分析是对实函数的微分和积分形式上严格的研究。这包括极限、幂级数和测度的学习。

泛函分析研究函数空间，引入了Banach空间和Hilbert空间等概念。

调和分析涉及傅立叶级数及其抽象。

复分析是研究复平面到复平面的复可微函数。