【数与形的概念】数学发展史
数学的发展主要是以数和形这两个基本概念为基础的，整个数学是围绕着这两个概念的提炼、演变和发展而展开的。在数学发展史上，有两条数形并行的发展路线，一条是以发展计算为中心的算术代数路线，一条是以发展形状为中心的几何路线。前者有两个来源，一个是独立发展的中国数学，另一个是古巴比伦数…
编辑评论/注释
数学是一门古老的学科，随着人类文明的出现而产生，至少有四五千年的历史。数学最初的概念和原理萌芽于古代。经过世界上许多民族4000多年的共同努力，发展成为这样一个内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大体系。了解数学的发展历史有助于培养学生学习数学的兴趣。以下内容希望对他们有所帮助！
数学的发展主要是以数和形这两个基本概念为基础的，整个数学是围绕着这两个概念的提炼、演变和发展而展开的。在数学发展史上，出现过两条数形并行的发展路线，一条是以展开计算为中心的算术代数，一条是以展开形式为主体的几何路线。前者有两个来源，一个是中国数学的独立发展，另一个是古巴比伦数学。
这条路线在古希腊亚历山大时期得到进一步发展，并在中国、印度和阿拉伯国家发扬光大。直到17世纪的欧洲才形成了完整的初等代数。
“形”的路线是初等几何，起源于埃及数学，在古希腊取得辉煌成就。这两种数学在17世纪的欧洲融合，经过进一步发展，导致了解析几何和变量数学的出现。随后，由于微积分的出现，数学开始了一场大变革，产生了广泛的数学分析领域，形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。
在18和19世纪，由于数学的不断分化，代数、几何和分析形成了各自不同的研究领域。数学研究的对象日益扩大，数和形的概念日益扩大和抽象，以至于没有任何原始计算和简单图形的痕迹。
几何学不仅研究物质世界的空间形式，还研究与空间形式和关系相似的其他形式和关系，产生了各种新的“空间”:罗巴切夫斯基空间、射影空间、四维黎曼空间、各种拓扑空间，都成为几何学研究的对象。现代数学的对象是比较常见的“量”，如向量、矩阵、张量、旋量、超复数、群等等，研究这些量的运算。
这些运算在某种程度上类似于算术中的四则运算，但要复杂得多。向量是一个简单的例子，向量的加法是按照平行四边形法则相加的。近世代数中的抽象已经到了“量”这个术语失去了自己的意义，普遍变成了对“物”的讨论。
对于这类“对象”，可以进行类似于普通代数运算的运算。例如，两次连续的运动相当于一次总运动，公式的两次代数变换相当于一次总变换。
与此相对应，我们可以研究一种运动或变换所特有的“加法”。其他类似的操作也在广泛的抽象形式中被研究。分析的对象也有了很大的发展。在泛函分析中，不仅数是变量，而且函数本身也是变量。
给定功能的性质在这里不能单独确定，而是取决于该功能与其他功能之间的关系。因此，它不是一些单独的功能，而是以这个或那个共同属性为特征的所有功能的集合。这组函数组合成一个“函数空间”。
例如，考虑平面上所有曲线的集合或某一机械系统所有可能运动的集合，在单个曲线或运动与其他曲线或运动的关系的基础上，确定一个曲线或运动的性质。现代数学中常用的方法是把每个函数看成一个“点”，而把某一类函数的整体看成一个“空间”，把函数之间的差异程度看成“点”之间的“距离”，从而得到各种无限维的函数空间。
比如一个微分-积分方程组的求解往往归结为相应函数空间中几何变换的不动点问题，数学对象的拓展极大地拓展了数学的应用范围。数学概念被广泛引入物理学，爱因斯坦将黎曼几何应用于广义相对论，冯诺依曼将希尔伯特空间应用于量子力学，杨振宁和米尔斯将纤维束理论应用于规范场，等等。
从19世纪下半叶，也就是从克莱因的“群”观点到康托尔建立集合论和公理化运动，数学走向综合的趋势越来越明显。现代数学的发展促进了数和形概念的深化，形成了多种边缘学科。这些学科不仅没有加深学科之间的分离，反而导致了学科之间的相互联系和渗透，使得以前基本分离的领域相互沟通，填补了基础学科之间中断的部分。
所有学科都形成了一个坚实的有机整体。边缘学科不仅仅产生于相邻的领域。
而且在很远的领域也不断发生，基础学科的相互渗透产生了很多综合学科。综合学科的出现和蓬勃发展，标志着现代数学的发展已经从学科主导阶段转向课题主导阶段。学科之间的相互渗透是数和形这两个基本概念紧密联系在一起的辩证法的体现。
各门科学的数学化使数学与其他学科交叉结合，产生了许多交叉学科，许多学科又衍生出许多小分支，不仅促进了各学科的发展，也丰富和发展了数学学科本身。
但是，无论数学各学科的划分、组合、变化和创新，无论数学内部的变化，尽管数学王国的疆域在不断扩大，却始终被数和形这两个基本概念所控制。(内容摘自一起看的一本书——《数学史》)
摘要:在19世纪早期，考古学家发掘了约50万块刻有楔形文字、跨越巴比伦历史多个时期的泥板，上面密密麻麻地刻着奇怪的符号。经过研究，其中近400个被确定为纯数学平板电脑，包含数字表格和一些数学问题。…
编者按:19世纪早期，考古学家发掘出约50万块刻有楔形文字、跨越巴比伦历史多个时期的泥板，上面密密麻麻地刻着奇怪的符号。经过研究，其中近400个被确定为纯数学平板电脑，包含数字表格和一些数学问题。
考古学家于19世纪上半叶在美索不达米亚发掘了约50万块刻有楔形文字的泥板，这些泥板跨越了巴比伦历史的许多时期。这些泥板上有许多奇怪的符号。这些符号实际上是巴比伦人使用的文字，人们称之为“楔形文字”。科学家通过研究发现，泥板上记录的是巴比伦人已经获得的知识，其中近400块被鉴定为纯数学书板，包含数字表格和若干数学问题。现在关于巴比伦的数学知识来自于对这些原始文献的分析。
算术
古巴比伦人是技艺高超的计算器，他们的计算程序是借助乘法表、倒数表、方桌、立方表实现的。巴比伦人写数字的方法值得我们注意。他们引入了以60为基数的值系统(十六进制)，希腊人和欧洲人直到16世纪还在用它进行数学计算和天文计算。直到现在，在角度、时间等记录中仍然使用十六进制。比如1米=10分米，1分钟=60秒等等。
代数学
古巴比伦人有丰富的代数知识，许多泥板中包含了一次方程和二次方程的问题。他们解二次方程的过程与今天的配点法和公式法是一致的。此外，他们还讨论了一些三次方程和多元线性方程。
公元前1900年~公元前1600年期间，记载了一个表格(普林斯顿322号)，发现里面有两组数字，分别是一个直角三角形的斜边长度和一个直角的长度，由此推导出另一个直角的长度，即得到不定方程x2 y2=z2的整数解。
几何学
古巴比伦的几何学与实际测量密切相关。他们知道相似三角形的对应边是成比例的，他们可以计算简单平面图形的面积和简单三维体积。我们现在把圆周分成360等分，也是由于古巴比伦人。巴比伦几何的主要特征在于它的代数性质。比如平行于直角三角形一边的横线问题，引出二次方程；讨论棱台体积时出现了三次方程。
古巴比伦的数学成就在早期文明中达到了非常高的水平，但积累的知识只是观察和经验的结果，没有理论基础。
摘要:算术和代数是数学中最基本、最古老的分支，两者关系密切。算术是代数的基础，代数是由算术演化而来的。从算术到代数的演变是数学思维方法的重大突破。
编者按数学的发展不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，而是包含了数学本身的许多根本性变化，即质的飞跃。历史上几次数学思想方法的重大突破都充分说明了这一点。
算术和代数是数学中最基本、最古老的分支，两者关系密切。算术是代数的基础，代数是由算术演化而来的。从算术到代数的演变是数学思维方法的重大突破。
第一，代数的历史必然性。
代数是数学的一个研究领域，它最初的也是最基本的分支是初等代数。初等代数的研究对象是代数表达式的运算和方程的求解。从历史上看，初等代数是算术发展的延续和普及，算术自身运动的矛盾和社会实践发展的需要为初等代数的产生提供了前提和基础。
我们知道，算术的主要内容是自然数、分数、小数的性质和四则运算。算术的出现，说明人类在认识现实世界中的数量关系上，迈出了决定性的第一步。算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会的各个部门都有着广泛而重要的应用。没有这个数学工具，科技的进步几乎难以区分。
在算法的发展过程中，由于算法理论和实践发展的需要，提出了许多新的问题。其中一个重要的问题就是算术解题方法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。
算术解题法的局限性主要表现在，仅限于具体的已知数的运算，不允许抽象的和未知的数参与运算。也就是说，在用算术方法解决应用题时，首先要围绕我们想要的量收集整理各种已知数据，并根据问题的条件列出关于这些具体数据的公式，然后通过加减乘除四则运算求出公式的结果。
许多古代数学应用问题，如出行问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题都是用这种方法解决的。算术解题法的关键是正确列出算术，即通过加减乘除符号将已知数据联系起来，建立能反映实际问题本质特征的数学模型。
对于那些数量关系简单的实际问题，列出相应的公式并不难，但对于那些数量关系复杂的实际问题，往往不容易列出相应的公式，有时还需要很高的技巧。特别是对于那些包含几个未知数的实际问题，有时甚至无法通过建立已知数的公式来求解。
算术运算的局限性不仅限制了数学的应用，也影响和制约了数学本身的不断发展。随着数学本身和社会实践的深入发展，算术解题方法的局限性日益暴露，于是一种新的解题方法——代数解题方法的出现成为了历史的必然。
代数解题法的基本思想是:首先根据问题的条件，形成包含已知数和未知数的代数公式，根据等价关系列出方程组，然后通过方程组的恒等式变换得到未知数的值。初等代数的中心内容是解方程，所以初等代数通常被理解为解方程的科学。
初等代数和算术的根本区别在于，前者允许未知数作为运算的对象，而后者则将未知数排除在运算之外。如果算术中也提到了一个未知数，那么这个未知数只能起到运算结果的符号等价的作用，只能单独位于方程的左边，静态方程右边的公式才能完成特定数的计算。
也就是说，在算术中，未知数无权参与运算。在代数中，作为由已知数和未知数组成的条件方程，方程本身就意味着其中包含的已知数和未知数具有相同的运算状态，即未知数已经成为运算的对象，和已知数一样，可以参与各种运算，按照某种规律从乘法的一边移动到另一边。
解方程的过程，本质上就是通过已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，也就是把未知数放在方程的一边，已知数放在方程的另一边。从这个意义上说，算术运算只是代数运算的特例，是算术运算的发展和推广。
由于代数运算的普遍性和灵活性，代数的产生极大地拓展了数学的应用范围，很多算术无力感的问题在代数中可以轻松解决。而且代数的产生对整个数学的进程产生了巨大而深远的影响，很多重要的发现都与代数的思维方法有关。
比如二次方程的解导致虚数的发现；五次以上方程的解导致群论的诞生；代数在几何问题中的应用导致了解析几何的建立等等。正因为如此，我们把代数的产生看作是数学思维方法第一次重大转折的标志。
第二，代数架构的形成
“代数”一词的原意是“求解方程的科学”。所以原代数也是初等代数。初等代数作为数学的一个独立分支，已经经历了一个漫长的历史过程，我们很难把某个具体的年份作为它出现的标志。从历史上看，它大体经历了三个不同的阶段:文字代数，即用书面语言表达操作的对象和过程；简化字代数，即用简化字来表示操作的内容和步骤；符号代数，即抽象的字母符号被广泛使用。
从文字代数到符号代数的过程，也是初等代数从不成熟到成熟的发展过程。在这个过程中，17世纪的法国数学家笛卡尔做出了杰出的贡献。他是第一个提倡用X，Y，Z来表示未知数的人。他提出和使用的许多符号与现代写作方法基本一致。
随着数学的发展和社会实践的深入，代数的研究对象不断扩大，思维方法不断创新，代数从低级形式发展到高级形式，从初等代数发展到高等代数。高等代数内容丰富，分支众多，其中最基本的分支如下。
线性代数:讨论线性方程(线性方程)的代数部分，其重要工具是行列式和矩阵。
多项式代数:主要借助多项式的性质讨论代数方程根的计算和分布，包括整除理论、最大公因式、因式分解定理、多重因子等。
群论:代数的一个分支，研究群的性质，属于抽象代数的一个领域。群是一个带有运算的抽象代数系统。群论的概念最早是在19世纪初由法国青年数学家伽罗瓦提出的，伽罗瓦成为群论的创始人。时至今日，群论已经有了丰富的内容和广泛的应用。
环论:研究环的性质的代数分支。它是抽象代数的一个发展领域。环是具有两种运算的抽象代数系统，具有许多独特的性质。一个特殊的环称为一个域，如果一个域的元素是数，则称为数域。基于场的概念，形成了抽象代数的另一个领域——场论。
布尔代数:也称为二进制代数、逻辑代数或开关代数，是一种具有三种运算的抽象代数系统。它是由英国数学家布尔在19世纪40年代创立的。近几十年来，布尔代数在电路设计、自动化系统和计算机设计中得到了广泛应用。
此外还有格论、李代数、同调代数等分支。
高等代数和初等代数在思维方法上有很大的区别。初等代数是计算性的，仅限于研究实数、复数等具体的数系，而高等代数是概念性的、公理化的，对象是一般的抽象代数系统。因此，高等代数比初等代数更抽象、更普遍，使得高等代数的应用更加广泛。向抽象性和普适性发展是近世代数的一个重要特征。
程小龙，第40届国际海事组织(1999，罗马尼亚布加勒斯特)金牌获得者。
如果你熟悉高中数学，你会觉得它介绍的理论并不多。代数是关于函数的观点和初等函数的性质，三角函数的运算，复数和复数向量，数列和归纳法的原理，计数方法。解析几何介绍了用定量语言描述几何图形的方法，以及几种常用几何图形的定量性质。“立体几何”描述空间中点、线、面的位置和度量关系，着重介绍几个基本几何体。要学好高中数学，就要对这些知识有一个整体的了解和把握，也就是了解它们所解决的问题在数学乃至实践中所起的作用。
学习数学绝不是死记定理公式，也不是空洞的解题训练。只关注数学的形式表面，是不可能抓住数学的本质的。数学的存在和发展是基于一定的现实需要。了解这种需要，也就是数学各部分的功能，有助于对数学作为一个有机整体的理解，不去思考很难导致对数学的真正理解。因此，亲自接触生活中的数学显得尤为重要。
这需要个人的思考，需要对学习中的每一个问题都有透彻的理解。我通常习惯于自己分析和推断一个新概念的本质。当你碰到定理和公式时，先试着自己去证明，这样当你学习书本上的内容时，你会比你想象的有更多的经验，对知识有更深的理解。
比如这样做了之后，一个定理为什么会有这样的限制，在那些情况下适用，就会更清楚了。在理解了逻辑推理之后，我们应该回过头来把这些结论作为一个整体来考虑，考虑它们所描述的事实与其他数学知识之间的依赖关系。这样做也有助于从宏观上把握知识，对其主要概念有更深的理解。最好是在学完一部分知识后，花点时间整理一下这部分理论，理顺其主要知识点之间的关系。
这不是简单的复习，而是要确保这些东西成为自己的知识。不是简单的阅读，而是理解后的深度思考。甚至你可以抛开课本，只靠思考和必要的微积分就能完成这个过程，尤其是在平时的学习中，每次只学一小部分知识，做作业，比较分散。这种整体的熟悉是非常必要的。
必要的习题不仅可以帮助你熟悉所学的知识，还可以帮助你理解所学的概念和定理，探索知识的更深层次的内涵。它的另一个作用，也就是练习本身的作用，就是锻炼思维，做完题后思考对以上两个方面都有很大的好处，就是做题不要局限于解决问题本身，有时候可以思考一下问题所反映的结论，体会一下所用的方法和技巧。重要的是理解为什么要用这种方法，也就是你能理解方法的本质。
做题的时候，一定不能忽视追求太多之后的反思，否则往往会出现一些不必要的重复，反而得不偿失。还有一点就是要站在不同的角度思考，不要满足于现有的方法，哪怕现有的方法是最简单的。换个角度思考问题，解决问题，可以有一些新的收获，在做更难的题的时候会更有用。
有的人就是把所有的定理公式，各种问题，相应的解决方法都记下来，知识少的时候也许还能应付，但是一旦内容多了，就很难理出头绪了。但掌握解题的基本思维方法相对容易。一个题目的答案可能很长，但解题的主要思路可能只有一两个，大部分篇幅是推理或运算。
而且思维方式是连着数学的不同部分的，掌握它才是根本，才是解决各种变化的办法。解决问题的方法绝不是毫无根据的灵感，而是在解决问题的过程中经过深思熟虑而产生的一种方式。所以理解这个思维过程很重要，就是透过现象看本质。思维方法源于解决问题的过程，只有在解决问题的过程中通过独立思考、分析、探索才能掌握。
如果有一天，你发现你对数学中的知识理论和思维方法了如指掌，那么你已经可以很好的掌握你所学的知识，再加上一些过硬的基本功，足以应付一般的考试，但是对于一个真正想学好数学的人来说，这些远远不够。众所周知，数学需要严格的逻辑推理，但逻辑推理不足以代表数学的全部。
正如本世纪伟大的数学家库朗所说:“过分强调一个公式的数学特征可能有失偏颇，数学理论的核心是创造性的发明和起指导和推动作用的直觉要素。”数学中的几个重要因素是逻辑与直觉、分析与创造、共性与个性，正是它们的综合互动构成了数学的丰富内涵。学好数学，就要把自己置身其中，自己去体验，自己去发现。