解析几何历史
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文学、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需求。
比如德国天文学家开普勒发现，行星沿着一个椭圆绕太阳运行，太阳在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体测试抛物线运动。这些发现都涉及圆锥曲线。为了研究这些复杂的曲线，原有的一套方法显然已经不适用，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国哲学家、数学家笛卡尔出版了《方法论》一书。这本书后面有三个附录，一个叫折射光学，一个叫气象学，一个叫几何学。当时这个“几何”其实指的是数学，就像中国古代的“算术”和“数学”意思一样。
笛卡尔的几何分为三卷。第一册讨论尺子画法；第二卷是曲线的性质；第三册是立体和“超立体”的画法，其实是代数题，讨论方程根的性质。后世的数学家和数学史家都把笛卡尔的几何作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立一种“普适”的数学，统一算术、代数和几何。他设想将任何数学问题转化为代数问题就是将任何代数问题简化为求解一个方程。
为了实现上述假设，笛卡尔从天文地理的经纬度系统中指出了平面上的点与实数对(x，y)的对应关系。x和y的不同值可以确定平面上许多不同的点，所以可以用代数的方法研究曲线的性质。
这是解析几何的基本思想。具体来说，平面解析几何的基本思想有两个要点:一是在平面上建立坐标系，一个点的坐标对应一组有序实数对；其次，在平面上建立坐标系后，平面上的一条曲线可以用一个二元的代数方程来表示。
由此可见，坐标法的运用不仅可以通过代数方法解决几何问题，还可以将变量、函数、数、形等重要概念紧密联系起来。解析几何的出现不是偶然的。
笛卡尔写几何之前，很多学者都是用两条相交的直线作为坐标系来研究的。有人在研究天文地理的同时，提出一个位置可以用两个“坐标”(经度和纬度)来确定。这些都对解析几何的创立产生了很大的影响。
在数学史上，一般认为与笛卡尔同时代的法国业余数学家费马也是解析几何的创始人之一，应该分享这门学科创立的荣誉。费马是一位从事数学研究的业余学者，在数论、解析几何、概率论等方面做出了重要贡献。
他谦虚安静，无意出版他的“书”。但是从他的通信中我们知道，早在笛卡尔发表《几何》之前，他就已经写了一篇关于解析几何的小文章，他已经有了解析几何的思想。
直到1679，费马死后，他的思想和著作才在《给朋友的信》中发表。笛卡儿的《几何》作为一部解析几何的著作，是不完整的，但重要的是推陈出新，为开辟数学的新园地作出贡献。
解析几何的基本内容在解析几何中，第一件事就是建立坐标系。如上图，平面上有一定方向和度量单位的两条相互垂直的直线称为直角坐标系oxy。
使用坐标系，可以在平面上的点和一对实数(x，y)之间建立一对一的关系。除了直角坐标系，还有斜坐标系，极坐标，空间直角坐标系等等。
空间坐标系中也有球坐标和柱坐标。坐标系建立了几何对象与数字、几何关系与函数之间的密切关系，使空间形态的研究可以简化为相对成熟且易于控制的数量关系的研究。
用这种方法学习几何，通常被称为解析法。这种分析方法不仅对解析几何很重要，而且对研究几何的各个分支也很重要。
解析几何的建立引入了一系列新的数学概念，尤其是变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学时期。解析几何促进了数学的发展。
恩格斯曾这样评价:“数学中的转折点是笛卡尔的变量。随着书籍的变化，运动进入了数学；有了变量，辩证法就进入了数学；有了变量，微分和积分立即变得必要...“解析几何的应用分为平面解析几何和空间解析几何。平面解析几何中，除了研究直线的性质外，主要研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的性质。
在空间解析几何中，除了平面和直线的性质外，主要研究圆柱、圆锥和旋转曲面。椭圆、双曲线、抛物线的一些性质在生产或生活中有广泛的应用。
比如电影放映机的聚光灯灯泡反射面是椭圆形的，灯丝在一个焦点，电影门在另一个焦点；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星天线、射电望远镜，都是利用抛物线的原理制成的。一般来说，解析几何利用坐标法可以解决两个基本问题:一是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立其方程；另一种是通过对方程的讨论来研究方程所表达的曲线性质。
利用坐标法解题的步骤是:首先在平面上建立坐标系，将已知点轨迹的几何条件“翻译”成代数方程组；然后用代数工具研究方程；最后用几何语言描述代数方程的性质，得到原几何问题的答案。坐标法的思想促使人们使用各种代数方法来解决几何问题。
以前被视为几何中的难题，一旦使用代数方法，就变得平坦了。
几何图形的历史最早的几何是平面几何。
平面几何是研究平面上直线和二次曲线(即圆锥曲线，即椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何采用公理化方法，在数学思想史上具有重要意义。
平面几何的内容自然转移到了三维空间的立体几何。为了计算体积和面积的问题，人们实际上已经开始涉及微积分最初的概念。
笛卡尔引入坐标系后，代数和几何的关系变得清晰并日益密切。这促使了解析几何的出现。
解析几何是笛卡尔和费马独立创立的。这是又一个标志性事件。
从解析几何的角度来看，几何图形的性质可以归结为方程的解析性质和代数性质。将几何图形的分类(如将圆锥曲线分为三类)转化为方程代数特征的分类，即寻找代数不变量的问题。
立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴，所以研究二次曲面(如球面、椭球面、锥面、双曲面、鞍面)的几何分类归结为研究代数中二次型的不变量。一般来说，上述几何都是在欧氏空间的几何结构即平面空间结构的背景下考察的，并没有真正关注到曲面空间的几何结构。
欧几里得几何公理本质上描述了平坦空间的几何特征，尤其是第五公设引起了人们对其正确性的怀疑。于是，人们开始关注其弯曲空间的几何，即“非欧几何”。
非欧几何包括几个经典的几何题目，如“球面几何”、“罗氏几何”等。另一方面，人们开始考虑射影几何，以便将无穷远处那些难以捉摸的点引入观察范围。
总的来说，这些早期的非欧几何研究的是非度规性质，即与度规关系不大，只关注几何对象的位置——比如平行、相交等等。这几种几何学所研究的空间背景是一个弯曲的空间。
解析几何在空间中的发展史--世代间的解析几何。
问题群的向量及其运算
1.对还是错
(1)如果，那么；
(2)如果，那么；
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) .
2.证明(1)。(2) 。
(3) 。
3.设置，
(1)测试，共面。(2)边缘和分解。(3)找到上的投影。
4.设，，都是非零向量，，求。
5.假设，，，且问。
6.设，求与的夹角。
7.众所周知，
(1)证明
(2)当和之间的夹角为什么值时，的面积取最大值。
8.用向量证明三角形的三个高度相交于一点。
第二组问题:空间平面和直线
1.设平面过该点并垂直于已知平面且平行于直线，求该平面的方程。
2.求一条直线和一个点之间的平面方程。
3.设一个平面，其交线为0，三个坐标平面围成的四面体体积等于2，求这个平面的方程。
4.一条直线过一个点，与两条直线相交，求这条直线方程。
5.过平面:在与直线的交点处，求直线在已知平面上且垂直于已知直线的方程。
6.在所有通过一条直线的平面中找出一个平面，使从原点到它的距离最大化。
三维曲面和曲线
1.讨论平面和曲面的位置关系。
2.设一条空间曲线，试以母线平行于X轴和Z轴的两个投影圆柱的方程来表示曲线的方程。
3.求圆锥体和圆柱体围成的立体在三个坐标平面上的投影面积。
4.求直线绕Z轴旋转形成的回转面的方程。
5.圆柱体的准线为，公共汽车的方向向量为。求圆柱体的方程。
几何的历史？叫什么名字？起源几何一词来源于希腊语“γ ε ω μ ε ρ ρ？α”，由“γ？α”(land)和μ ε ρ ρ ε？ν”(测量)是两个词的组合，指的是对土地的测量，也就是大地测量。
后来，它在拉丁语中是“geometria”的意思。中文的“几何”一词，是明代利玛窦和徐光启合译《几何原本》时，徐光启首创的。
当时没有给出依据。后人认为，一方面几何可能是拉丁希腊语GEO的音译，另一方面由于几何元素也用geometria方法解释数论的内容，也可能是量级(多少)的意译，所以一般认为几何是音义的同时翻译。1607出版的《几何原本》中的几何翻译在当时并不流行。与此同时，还有另一个译名——玄学，如、邹、刘永熙等编著的《玄学预备》，在当时也有一定影响。
李和于1857年翻译的《几何原本》最后九卷出版后，虽然几何学的名称得到了一些关注，但直到20世纪初才出现了明显的取代形而上学一词的趋势，如2000年《形而上学的准备》1910的印刷。直到20世纪中期，“玄学”这个词才很少出现。
国外关于古代几何的最早记载可以追溯到古埃及、古印度和古巴比伦，其年代始于公元前3000年左右。早期几何是一种关于长度、角度、面积和体积的经验原理，用于满足测绘、建筑、天文以及各种工艺中的实际需要。
埃及和巴比伦都知道毕达哥拉斯定理(勾股定理)比毕达哥拉斯早1500年；埃及人有正确的四棱锥体体积公式；巴比伦有一张三角函数表。中国的文明，中国和同时期的一样发达，所以可能也有同样发达的数学，但是没有那个时代的遗迹可以证实这一点。
也许这部分是由于中国早期使用原始纸张，而不是使用粘土或石雕来记录他们的成就。几何学的发展历史悠久，内容丰富。
与代数、分析、数论等密切相关。几何思想是数学中最重要的一种思想。
目前数学各个分支的发展都趋于几何化，即用几何的观点和思维方法去探索各种数学理论。平面几何和立体几何最早的几何是平面几何。
平面几何是研究平面上直线和二次曲线(即圆锥曲线，即椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何采用公理化方法，在数学思想史上具有重要意义。
平面几何的内容自然转移到了三维空间的立体几何。为了计算体积和面积的问题，人们实际上已经开始涉及微积分最初的概念。
笛卡尔引入坐标系后，代数和几何的关系变得清晰并日益密切。这促使了解析几何的出现。
解析几何是笛卡尔和费马独立创立的。这是又一个标志性事件。
从解析几何的角度来看，几何图形的性质可以归结为方程的解析性质和代数性质。将几何图形的分类(如将圆锥曲线分为三类)转化为方程代数特征的分类，即寻找代数不变量的问题。
立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴，所以研究二次曲面(如球面、椭球面、锥面、双曲面、鞍面)的几何分类归结为研究代数中二次型的不变量。一般来说，上述几何都是在欧氏空间的几何结构即平面空间结构的背景下考察的，并没有真正关注到曲面空间的几何结构。
欧几里得几何公理本质上描述了平坦空间的几何特征，尤其是第五公设引起了人们对其正确性的怀疑。于是，人们开始关注其弯曲空间的几何，即“非欧几何”。
非欧几何包括几个经典的几何题目，如“球面几何”、“罗氏几何”等。另一方面，人们开始考虑射影几何，以便将无穷远处那些难以捉摸的点引入观察范围。
总的来说，这些早期的非欧几何研究的是非度规性质，即与度规关系不大，只关注几何对象的位置——比如平行、相交等等。这几种几何学所研究的空间背景是一个弯曲的空间。
几何学的形成和历史几何学的发展大致经历了四个基本阶段。
1，实验几何学几何学的形成和发展起源于对天空中星星形状和排列位置的观察，来源于测量土地、测量体积、制作器皿、绘制图形等实践活动的需要。人们在观察、实践和实验的基础上，积累了丰富的几何经验，形成了许多粗糙的概念，反映了一些经验事实之间的关系，形成了实验几何。中国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何，基本上都是实验几何的内容。
比如勾股定理，简单的测量知识，中国古代很早就发现了。《墨经》有“一(圆)，其一等长”和“平(平行)，其一等高”。古印度人认为“圆的面积等于矩形的面积，矩形的底等于半个圆，矩形的高度高于圆的半径”。2.理论几何的形成和发展随着古埃及与希腊的贸易和文化交流，埃及的几何知识逐渐传入古希腊。
古希腊的许多数学家，如泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图和欧几里得，都对几何的研究做出了巨大的贡献。尤其是柏拉图将逻辑学的思维方法引入几何学，建立了细致的定义和清晰的公理作为几何学的基础。然后，欧几里得在前人几何知识的基础上，按照严密的逻辑体系写成了《几何原本》十三卷，奠定了理论几何(也称归纳几何、演绎几何、公理几何、欧几里得几何等)的基础。)而成为历史上久负盛名的杰作。
虽然《几何原本》存在一些缺陷，如公理不完备，有时诉诸直觉等。，是古代数学的杰作，论证严谨，影响深远。所使用的公理化方法为数学未来的发展指明了方向，甚至成为人类文明史上的里程碑，成为全人类文化遗产中的瑰宝。3.解析几何的产生和发展公元3世纪，几何元素的出现奠定了理论几何的基础。
同时，人们也对圆锥曲线做了一些研究，发现了圆锥曲线的许多性质。但此后很长一段时间，神学在封建社会占据统治地位，科学没有得到应有的重视。
直到公元15和16世纪，欧洲资本主义才开始发展。随着生产的实际需要，自然科学迅速发展起来。法国笛卡尔发现欧几里得几何过于依赖图形，而传统代数则完全受制于公式和定律。他们认为研究圆锥曲线的传统方法只重视几何而忽视代数，极力主张把几何和代数结合起来取长补短，这是促进数学发展的新途径。
在这一思想的指导下，笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，用一个两边三刀的方程表示圆锥曲线，形成了一系列全新的理论和方法，解析几何由此产生。解析几何的出现极大地拓宽了几何学的研究内容，促进了它的进一步发展。
18和19世纪，由于工程、力学和大地测量学的需要，画法几何、射影几何、仿射几何和微分几何等分支进一步出现。4.近代几何的产生和发展在初等几何和解析几何的发展过程中，人们不断发现几何的要素在逻辑上不够严谨，不断丰富一些公理，特别是试图证明第五公设“一条直线与另外两条直线相交，当同侧内角之和小于两个直角时，两条直线相交于此侧”的失败，促使人们重新审视几何的逻辑基础，并取得了进展。
一方面，从改变几何学的公理体系出发，即用一个与欧几里得几何学第五公设相矛盾的命题代替第五公设，从而导致几何学研究对象的根本突破。俄罗斯数学家罗巴切夫斯基将第五公设替换为“在同一平面内，两条直线在过直线外的一点时，可以与已知直线平行”，由此导出了一系列新的结论，如“三角形内角之和小于两个直角”、“不存在相似但不等的三角形”，后来被称为罗氏几何(又称双曲几何)。
德国数学家黎曼从另一个角度取代了第五公设“在同一平面内，在直线之外的任何一点都没有与已知直线平行的直线”，这也导致了一系列新的理论，如“三角形内角之和大于两个直角”、“三角形形成的面积与球面三角形相等的公式”等等，得到了另一种不同的几何，这种几何后来被称为黎曼几何(又称椭圆几何)。传统上，人们把罗氏几何和黎曼几何称为非欧几何。
欧几里得几何(又称抛物线几何)和罗氏几何的共同部分统称为绝对几何。另一方面，人们在对欧几里得几何公理系统的严格分析中形成了公理化方法，而这种严格的公理系统，通常称为希尔伯特公理系统，已经由德国数学家希尔伯特在其《几何基础》中完美地建立起来。希尔伯特公理系统是完备的，即可以用纯逻辑推理的方法推导出欧几里得几何的严格体系。
但是按照这个公理体系，一步一步地推导欧几里得几何中那些熟悉的内容，是一件相当繁琐的工作。