微积分的历史
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物线拱面积、球面与球冠面积、螺线下面积、旋转双曲线体积等问题时，就隐含了现代积分学的思想。极限理论作为微分学的基础，在古代就有明确的论述。比如我国庄周写的《庄子》一书中就记载“一尺之空间，用之不竭。”三国时期的刘徽在他的《割圆》中提到“割得细，损得少，再割，连周长和身都不损。”这些是简单而典型的极限概念。虽然微积分的思想可以追溯到古希腊，但它的概念和规律是在16世纪下半叶开普勒和卡瓦列里的求积思想和方法的基础上产生和发展的。这些思想和方法，从刘徽对圆锥、圆台、圆柱体积公式的证明，到五世纪祖衡求球体体积的方法，都可以找到。北宋大科学家沈括的《孟茜笔谈》创造了“隙积”、“会圆”、“数棋”等技法，开创了高阶等差数列求和的研究。
尤其是13年四十多岁到14年初，在各大领域都达到了中国古代数学的巅峰。有贾仙三角的根图、乘法和乘法的方法、正负根法、大求导求一法、大求导求总数法(一次同余组解法)、叠积法(高阶等差数列求和)、求差法(高阶差分的内差法)和天体要素法(数高)。计算技术的改革和珠算是世界数学史上具有重要地位的杰出成就。中国古代数学在微积分的前两个阶段都有出色的工作，其中很多都是微积分建立的关键。中国在17世纪就具备了微积分发明之前的所有先天条件，离微积分的大门已经很近了。遗憾的是，中国元朝以后，对学者的八股使学术大倒退，文化专制和封建统治的盲目排外导致了包括数学在内的科学的衰落，在微积分创立最关键的一步落后了。
在十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题成为了促使微积分产生的因素。归纳起来，主要有四类问题:第一类是学习体育时直接出现的问题，即求瞬间速度的问题。第二类问题是求曲线的切线。第三类问题是求一个函数的最大值和最小值。第四个问题是求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个体积相当大的物体作用在另一个物体上的重力。
数学首先从对运动的研究中引入了一个基本概念(如天文学、航海等。)，而在接下来的两百年里，这个概念在几乎所有的著作中都占据了中心位置，这就是函数的概念——或者说变量之间的关系。随着函数概念的采用，微积分应运而生，这是继欧几里得几何之后所有数学中最伟大的创造。围绕解决上述四个核心科学问题，微积分问题在17世纪至少被十几个最大的数学家和几十个较小的数学家探索过。他们所有贡献的顶峰是牛顿和莱布尼茨的成就。这里主要介绍这两位大师的作品。
事实上，在牛顿和莱布尼茨冲刺之前，已经积累了大量的微积分知识。17世纪许多著名的数学家、天文学家和物理学家为解决上述问题做了大量的研究工作，如费马、笛卡尔、罗博伊斯和吉拉德·笛沙格。英国的巴罗和沃利斯；德国的开普勒；意大利人卡瓦列里等人提出了许多卓有成效的理论。为微积分的创立做出了贡献。
比如费马、巴罗、笛卡尔都对曲线的切线和曲线所围成的面积进行了深入的研究，得到了一些结果，但他们都没有意识到它的重要性。十七世纪的前三分之二，微积分的工作迷失在细节中，他们被琐碎的推理搞得精疲力尽。只有少数伟大的学者意识到了这个问题。例如，詹姆斯·格雷戈里说，“数学的真正划分不是分成几何和算术，而是分成普遍和特殊”。这个普遍的东西是由两个无所不包的思想家牛顿和莱布尼茨提供的。
17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在前人工作的基础上，在各自国家独立研究并完成了微积分的创立，尽管这只是一个非常初步的工作。他们最大的成就是把两个看似不相关的问题联系起来，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨从直观的无穷小建立了微积分，所以这门学科早期也叫无穷小分析，这就是数学大分支名称的由来。牛顿对微积分的研究侧重于运动学，而莱布尼茨侧重于几何学。
牛顿在1671写了《流法与无穷级数》，直到1736才出版。在这本书里，牛顿指出变量是由点、线、面的连续运动产生的，否认变量是无穷小元素的静态集合。他把连续变量叫做流量，这些流量的导数叫做流量数。牛顿在流数技术中的中心问题是:知道连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；给定运动速度，求给定时间内走过的距离(积分法)。德国的莱布尼茨是一位学识渊博的学者。1684年，他发表了被认为是世界上最早的微积分文献。这篇文章有一个很长很奇怪的名字:求极大极小和正切的新方法，同样适用于分数和无理数，以及这种新方法的计算的奇妙类型。就是这样一篇推理模糊的文章，却具有划时代的意义。他因包含现代微分符号和基本微分定律而闻名。1686年，莱布尼茨发表了第一篇关于积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学学者之一，他创造的符号远远优于牛顿的符号，对微积分的发展影响很大。我们所用的微积分通用符号是当时莱布尼茨精心挑选的。
从童年开始，莱布尼茨就明显表现出了一颗思想明星的迹象。13岁的他，读经院学者艰深的论文，就像别的孩子读小说一样轻松。他提出了无穷小微积分算法，他发表了自己的结果，比艾萨克·牛顿爵士提交手稿的付梓早三年，后者声称他是第一个做出这一发现的人。
莱布尼茨是一个老奸巨猾的人，取悦宫廷，受到名人的庇护。他与斯宾诺莎有私人关系，斯宾诺莎的哲学给他留下了深刻的印象，尽管他肯定与斯宾诺莎的思想分道扬镳。
莱布尼茨与哲学家、神学家和文人有广泛的通信往来。在他的宏伟计划中，他试图在新教和天主教之间达成和解，并在基督教国家之间建立联盟，这在他的时代意味着欧洲联盟。他还担任了柏林科学协会的第一任主席，该协会后来成为普鲁士科学院。
他在汉诺威宫廷任职，但当乔治一世成为英格兰国王时，莱布尼茨没有被邀请和他一起去，也许是因为他和牛顿的争执。他的公众影响力下降，1716年，他以70岁的高龄去世，甚至被他所创立的社会所忽视。微积分的建立极大地促进了数学的发展。以前很多初等数学束手无策的问题，往往用微积分就能解决，可见微积分的非凡威力。
如前所述，一门科学的建立绝不是一个人的成就。必须是一个人或者几个人经过很多人的努力，在积累了很多成果的基础上完成的。微积分也是。
不幸的是，在人们欣赏微积分的宏伟功能的同时，当他们提出谁是这门学科的创始人时，实际上引起了轩然大波，造成了欧洲大陆数学家和英国数学家之间的长期对立。英国数学有一段时间闭关锁国，受限于民族偏见，过于拘泥于牛顿的“流量计数”，所以数学的发展落后了整整一百年。
事实上，牛顿和莱布尼茨是独立研究的，并且是在大致相同的时间内完成的。更特别的是，牛顿比莱布尼茨早约10年创立微积分，但莱布尼茨比牛顿早三年发表微积分理论。他们的研究有利也有弊。当时由于民族偏见，关于发明优先权的争论实际上从1699持续了100多年。
需要指出的是，这和历史上任何重大理论的完成是一样的，牛顿和莱布尼茨的工作也是很不完善的。在无穷和无穷小的问题上，他们有不同的看法，这是很模糊的。牛顿的无穷小，有时为零，有时不是零而是有限的小量；莱布尼茨的不能自圆其说。这些基本缺陷最终导致了第二次数学危机。直到19世纪初，以柯西为首的法国科学院的科学家们对微积分理论进行了认真的研究，建立了极限理论，并由德国数学家威尔斯特拉斯进一步收紧，使极限理论成为微积分的坚实基础。只有这样，微积分才能进一步发展。任何新兴的、有前途的科学成果都吸引着广大的科学工作者。微积分史上也有一些明星:瑞士的雅克·伯努利和他的兄弟约翰·伯努利，欧拉，法国的拉格朗日，柯西...
古代和中世纪的欧几里得几何和代数都是常数数学，微积分才是真正的变量数学，是数学上的大革命。微积分是高等数学的主要分支，并不局限于解决力学中的变速问题。它驰骋在现代科技的花园里，成就了无数伟业。