二重积分历史
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物线拱面积、球面与球冠面积、螺线下面积、旋转双曲线体积等问题时，就隐含了现代积分学的思想。极限理论作为微分学的基础，早在古代就有明确的论述。
比如我国庄周写的《庄子》一书中就记载“一尺之空间，用之不竭。”三国时期的刘徽在他的《割圆》中提到“割得细，损得少，再割，连周长和身都不损。”
这些是简单而典型的极限概念。在十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题成为了促使微积分产生的因素。
归纳起来，主要有四类问题:第一类是学习体育时直接出现的问题，即求瞬间速度的问题。第二类问题是求曲线的切线。
第三类问题是求一个函数的最大值和最小值。第四个问题是求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个体积相当大的物体作用在另一个物体上的重力。
17世纪许多著名的数学家、天文学家和物理学家为解决上述问题做了大量的研究工作，如费马、笛卡尔、罗博伊斯和吉拉德·笛沙格。英国的巴罗和瓦里斯；德国的开普勒；意大利人卡瓦列里等人提出了许多卓有成效的理论。为微积分的创立做出了贡献。
17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在前人工作的基础上，在各自国家独立研究并完成了微积分的创立，尽管这只是一个非常初步的工作。他们最大的成就是把两个看似不相关的问题联系起来，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨从直观的无穷小建立了微积分，所以这门学科早期也叫无穷小分析，这也是现在数学大分支名称的来源。牛顿对微积分的研究侧重于运动学，而莱布尼茨侧重于几何学。
牛顿在1671写了《流法与无穷级数》，直到1736才出版。在这本书里，牛顿指出变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了他之前认为的变量是无穷小元素的静态。他把连续变量叫做流量，这些流量的导数叫做流量数。
牛顿在流数技术中的中心问题是:知道连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；给定运动速度，求给定时间内走过的距离(积分法)。德国的莱布尼茨是一位学识渊博的学者。1684年，他发表了被认为是世界上最早的微积分文献。这篇文章有一个很长很奇怪的名字:求极大极小和正切的新方法，同样适用于分数和无理数，以及这种新方法的计算的奇妙类型。
就是这样一篇推理模糊的文章，却具有划时代的意义。它已经包含了现代微分符号和基本微分定律。
1686年，莱布尼茨发表了第一篇关于积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学学者之一，他创造的符号远远优于牛顿的符号，对微积分的发展影响很大。
我们现在使用的微积分通用符号，是莱布尼茨当时精心选择的。微积分的建立极大地促进了数学的发展。以前很多初等数学束手无策的问题，往往用微积分就能解决，可见微积分的非凡威力。
如前所述，一门科学的建立绝不是一个人的成就。必须是一个人或者几个人经过很多人的努力，在积累了很多成果的基础上完成的。微积分也是。
遗憾的是，在人们欣赏微积分的宏伟作用的同时，当他们提出谁是这门学科的创始人时，竟然引起了一场明目张胆的* * *，引起了欧洲大陆数学家和英国数学家的长期对立。英国数学有一段时间闭关锁国，受限于民族偏见，过于拘泥于牛顿的“流量计数”，所以数学的发展落后了整整一百年。
事实上，牛顿和莱布尼茨是独立研究的，并且是在大致相同的时间内完成的。更特别的是，牛顿比莱布尼茨早约10年创立微积分，但莱布尼茨比牛顿早三年发表微积分理论。
他们的研究有利也有弊。当时由于民族偏见，关于发明优先权的争论实际上从1699持续了100多年。
2.计算二重积分1而楼主的这个积分涉及到正态分布和误差函数=误差函数的主题；2.这个被积函数=被积函数来源于物理学、化学和天文学的一个共同假设，即齐次=各向同性，通过数学分析和物理思想的严格推导得到的函数；3.具体积分涉及通过极坐标将一元函数的单积分转化为二重积分，具体过程如下；4.如果看不清楚，请点击放大；5.如果你有任何问题或疑惑，请随时提问，回答任何问题，释放任何疑惑。
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3.格林公式1的历史。一元微积分中最基本的公式牛顿和莱布尼茨公式表明，函数在一个区间上的定积分可以用原函数在这个区间两个端点上的值来表示。无独有偶，平面区域上的二重积分也可以用沿着区域边界曲线的曲线积分来表示，这就是我们要介绍的格林公式。1，单连通区域的概念设置为平面。否则，它被称为多重连通区域。一般来说，单连通区域是没有“孔”(包括“点孔”)和“裂缝”的区域。2.区域的边界曲线的前进方向定义为平面区域的边界曲线，规定的前进方向是:当观察者朝这个方向行走时，位于他附近的部分总是在他的左边。总之，区域边界曲线的前进方向要适合条件，人要顺着方向走。格林公式定理假设封闭区域被分段光滑曲线包围，且函数之和有一阶连续偏导数，则存在一条与(1)的边界曲线，其中yes为正。公式(1)叫做格林公式。证明了假设区域的形状如下(平行于轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多为两点)。图2所示的面积是图1所示面积的特例，所以我们只需要证明图1所示的面积。另一方面，根据坐标的曲线积分性质和计算方法，假设通过该区域且平行于轴线的直线的边界曲线的交点至多为两点。用类似的方法可以证明，当区域的边界曲线与任意一条穿过内部且平行于坐标轴(轴或轴)的直线的交点至多为两点时，我们有它并且它同时成立。把两个公式结合起来，就可以得到格林公式。注:如果区域不满足上述条件，即当通过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域中引入一条或几条辅助曲线，将其分成若干个局部区域，使每个局部区域都适合上述条件，格林公式仍可证明。格林公式沟通了二重积分与坐标的曲线积分之间的关系，因此应用非常广泛。如果取，，，那么格林公式就是以原区域的面积为例，1求星形线围成的图形面积。解:由换成时，点逆时针跟踪整条闭曲线，所以例2是任意分段光滑闭曲线，证明:这里，因而这里是它所包围的区域。二、平面曲线积分与路径无关的条件是1，坐标与路径无关的曲线积分的定义定义为一个开区，一个一阶连续偏导数的函数。如果对于任意两点内部和任意两点之间的曲线内部，则称之为路径依赖。one的定义也可以用下面的等价语句来代替:如果曲线积分是路径无关的，则表示在区域内由形成的闭曲线上的曲线积分为零。相反，如果沿该区域中任何闭合曲线的曲线积分为零，则可以容易地导出曲线积分是路径无关的。定义双曲线积分意味着对于区域中的任何闭合曲线，总有。曲线积分与路径无关的条件定理假设开区域是单连通区域，函数有一阶连续偏导数，那么内部曲线积分与路径无关的充要条件是方程在内部是常数。证明了充分性是通过取内部任意一条闭曲线来证明的，因为它是单连通的，闭曲线所包围的所有区域都包含在内，因而它在内部是常数。根据格林公式，有一个定义2。内曲线的积分与路径无关。重新证明的必要性(用反证法)假设内方程不是常数，那么里面至少有一个点，这样就有可能假设有一个半径足够小的圆区域作为圆心，这样利用格林公式和二重积分的性质，世界上总有一条正的边界曲线。是的，这个地区。这与任何封闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾。因此，内部等式应该始终成立。注意:定理要求的两个条件缺一不可。作为反例，它是一条围绕原点的分段光滑曲线，前进方向为逆时针。在这里，除了原点，它是存在的，是连续的，包含在封闭的区域内。在由和围成的复连通域内做半径足够小的圆，有三个格林公式。如果曲线积分与开域中的路径无关，则只与曲线的起点和终点的坐标有关。假设曲线的起点和终点都是，可以用一个标记或来表示，不需要明确写出积分路径。显然，这种积分形式与定积分非常相似。其实我们有以下重要定理:设一个函数是单连通的开区域，其中有一阶连续偏导数，且是单值函数，其中它是其中的一个不动点，也就是说证明了对于任何以一个点为起点，以一个点为终点的曲线，曲线积分与路径无关，只与其起点和终点的坐标有关，即它确实是一个点的单值函数。证明了既然可以看作是沿点到点的任意路径的曲线积分，同样可以证明定理2是单连通开域，且在上半部分有一阶连续偏导数，那么函数在内半部分全微分的充要条件是常数。很明显，充分性是定理1证明了如果必要，在内部是连续的。那么方程适合二阶混合偏导数，这样定理3就是单连通开域，函数在其中有一阶连续偏导数。如果有一个二元函数，那么它就是其中的任意两点。由定理1证明函数适合或因此(是常数)，即因为点沿任一内部路径返回该点形成闭合曲线，所以确定全微分函数的方法是因为。
4.格林公式1的历史。一元微积分中最基本的公式牛顿和莱布尼茨公式表明，函数在一个区间上的定积分可以用原函数在这个区间两个端点上的值来表示。无独有偶，平面区域上的二重积分也可以用沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示，这就是我们要介绍的格林公式。1，单连通区域的概念设置为平面。否则，它被称为多重连通区域。一般来说，单连通区域是没有“孔”(包括“点孔”)和“裂缝”的区域。2.区域的边界曲线的前进方向定义为平面区域的边界曲线，规定的前进方向是:当观察者朝这个方向行走时，位于他附近的部分总是在他的左边。总之，区域边界曲线的前进方向要适合条件，人要顺着方向走。格林公式定理假设封闭区域被分段光滑曲线包围，且函数之和有一阶连续偏导数，则存在一条与(1)的边界曲线，其中yes为正。公式(1)叫做格林公式。证明了假设区域的形状如下(平行于轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多为两点)。图2所示的面积是图1所示面积的特例，所以我们只需要证明图1所示的面积。另一方面，根据坐标的曲线积分性质和计算方法，假设通过该区域且平行于轴线的直线的边界曲线的交点至多为两点。用类似的方法可以证明，当区域的边界曲线与任意一条穿过内部且平行于坐标轴(轴或轴)的直线的交点至多为两点时，我们有它并且它同时成立。把两个公式结合起来，就可以得到格林公式。注:如果区域不满足上述条件，即当通过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域中引入一条或几条辅助曲线，将其分成若干个局部区域，使每个局部区域都适合上述条件，格林公式仍可证明。格林公式沟通了二重积分与坐标的曲线积分之间的关系，因此应用非常广泛。如果取，，，那么格林公式就是以原区域的面积为例，1求星形线围成的图形面积。解:由换成时，点逆时针跟踪整条闭曲线，所以例2是任意分段光滑闭曲线，证明:这里，因而这里是它所包围的区域。二、平面曲线积分与路径无关的条件是1，坐标与路径无关的曲线积分的定义定义为一个开区，一个一阶连续偏导数的函数。如果对于任意两点内部和任意两点之间的曲线内部，则称之为路径依赖。one的定义也可以用下面的等价语句来代替:如果曲线积分是路径无关的，则表示在区域内由形成的闭曲线上的曲线积分为零。相反，如果沿该区域中任何闭合曲线的曲线积分为零，则可以容易地导出曲线积分是路径无关的。定义双曲线积分意味着对于区域中的任何闭合曲线，总有。曲线积分与路径无关的条件定理假设开区域是单连通区域，函数有一阶连续偏导数，那么内部曲线积分与路径无关的充要条件是方程在内部是常数。证明了充分性是通过取内部任意一条闭曲线来证明的，因为它是单连通的，闭曲线所包围的所有区域都包含在内，因而它在内部是常数。根据格林公式，有一个定义2。内曲线的积分与路径无关。重新证明的必要性(用反证法)假设内方程不是常数，那么里面至少有一个点，这样就有可能假设有一个半径足够小的圆区域作为圆心，这样利用格林公式和二重积分的性质，世界上总有一条正的边界曲线。是的，这个地区。这与任何封闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾。因此，内部等式应该始终成立。注意:定理要求的两个条件缺一不可。作为反例，它是一条围绕原点的分段光滑曲线，前进方向为逆时针。在这里，除了原点，它是存在的，是连续的，包含在封闭的区域内。在由和围成的复连通域内做半径足够小的圆，有三个格林公式。如果曲线积分与开域中的路径无关，则只与曲线的起点和终点的坐标有关。假设曲线的起点和终点都是，可以用一个标记或来表示，不需要明确写出积分路径。显然，这种积分形式与定积分非常相似。其实我们有以下重要定理:设一个函数是单连通的开区域，其中有一阶连续偏导数，且是单值函数，其中它是其中的一个不动点，也就是说证明了对于任何以一个点为起点，以一个点为终点的曲线，曲线积分与路径无关，只与其起点和终点的坐标有关，即它确实是一个点的单值函数。证明了既然可以看作是沿点到点的任意路径的曲线积分，同样可以证明定理2是单连通开域，且在上半部分有一阶连续偏导数，那么函数在内半部分全微分的充要条件是常数。很明显，充分性是定理1证明了如果必要，在内部是连续的。那么方程适合二阶混合偏导数，这样定理3就是单连通开域，函数在其中有一阶连续偏导数。如果有一个二元函数，那么它就是其中的任意两点。由定理1证明函数适合或因此(是常数)，即因为点沿任一内部路径返回该点形成闭合曲线，所以确定全微分函数的方法是因为。
5.dx^2应该在二重积分中忽略新年快乐吗？春节快乐！新年快乐
1、dx？= 2xdx
2.在二重积分中，这种情况不会发生。当积分公式被导出时，
(△x)？取极限已经是零了。
3.目前，这一代退休的老男女，以及他们的老师、教师和护士。
s，流行一些似是而非的想法，比如(dx)？固执成d？十.微积分是
经过科学、工程、科学、科技的严格检验，至少符合量纲分析。
是的。但是我们忽略了这些，仍然坚持一些不符合量纲分析的奇怪理论。因为这些
声明来源全部来自红顶学者，至今仍有市场。可以乐观预期，然后
几十年后，我们不应该再误导孙子的观念，代价已经由我们承担了。
谢谢你。
4.如果楼主的问题再详细一点就更好了。
6.高数二重积分和多重积分，求解方法可以将二重积分乘以两个定积分来求解。
如果你满足d为x呢？+Y？这个可以用极坐标来解，设x = x = rcosθy = rsinθθ然后写出r和θ的值域。将它们代入被积函数。(这适用于任何二重积分。)对于如何把二重积分分成两个分数，先画出题目给出的D区域，然后在D区域画一条X轴或Y轴的平行线。(如果先积X，那就是X的平行线；如果先积Y，那就是Y的平行线)在D区域，平行线会和一些曲线相交，从0到正无穷远的方向(看正半轴方向)会先相交。
(如果先积x，积分的上下界需要用y来表示，如果先积y，需要用x来表示)然后一个积分就出来了，对吧？另一个积分很简单。比如你先积x，再积y，y的积分上下界就是y在D区域的取值范围，被积函数就是第一个积分。
希望你能理解。
7.为什么一重积分的乘积等于二重积分？详情见图。好问题！楼主的问题，反过来解释，很好理解:. 1，一个二重积分，是一个原则性积分，只可能积分成迭代积分；能否被积分取决于被积函数的形式以及积分的顺序是否合适。
.2.当一个迭代积分可以积分时，两个自变量往往会独立积分，这是因式分解造成的。一个自变量完全分解后，剩余的自变量先进行积分，积分后再对原来分解的变量进行积分。这在二重积分中并不少见。
楼主说的问题就是这个逆过程。