球形体积证明历史。

1.历史上推导出球体体积公式的民族有哪些？中国和古希腊。球体体积的计算是一个相当复杂的问题。《九章算术》中，球的体积公式相当于(球的直径)。这是一个误差很大的近似公式。张恒增V=916dd3研究过这个问题，但是没有得到更好的结果。刘徽发现邵关于球与其外切圆柱体的体积之比为π∶4的结论是错误的，并正确地指出球与一个“牟合方盖”(两个底半径相同的圆柱体垂直相交，其阳部分称为“牟合方盖”)的体积之比为π∶4，使球的体积研究向前迈进了一大步，但未能解决问题。两百年后，祖冲之和他的儿子祖宣在这个问题上取得了突破。祖宣，本名景硕，曾任梁外骑侍郎、太傅卿、南康知府、料官将军、奉朝邀等职。他还是南北朝时期著名的数学家和天文学家，著有《漏刻经典》一卷，《天文记录》三十卷，均已失传。据一些文献记载，《篆书》也是他所撰，他还参与了阮孝绪编撰七志的工作。祖冲之父子算出了莫合方盖的体积等于，从而得到了正确的球面体积公式233dV=16d=3π，彻底解决了球面体积的计算问题。因为当时用的是圆周率，227，所以他们的球体积公式是。祖父子在推导漠河方盖体积公式V=11213d的过程中，提出了“势若相同，积不能不同”的原理(即两个立体在等高处的截面相等，其体积必相等)。现在这个原理一般被称为“祖坟原理”。在西方，17世纪的意大利数学家卡瓦列里又提出了这个原理，被称为“卡瓦列里公理”，这个原理成为后来微积分建立的重要一步。

阿基米德(公元前287年-公元前212年)在数学方面取得了许多成就，其中他最感兴趣的是球体积公式的推导。为了找到球体积的计算方法，他先用一个中空的等边圆柱体(即圆柱体底部的圆的直径刚好等于圆柱体的高度)的容器，容器内装满水。然后将一个直径与这个圆柱体高度相等的球轻轻放入容器中，然后小心地收集溢出的水。被测水的体积就是球的体积。经过多次这样的实验，他发现球的体积正好等于圆柱形容器的体积。因为圆柱体的体积是已知的，所以推导出球的体积公式。

阿基米德非常重视这个发现，并告诉别人在他死后把这个数字刻在他的墓碑上。这就是上面提到的古墓碑上刻的图案。

二、如何证明球的体积公式？你可以用微积分中的二重积分来计算球的体积。不过，不懂微积分也没关系。还有一个方法。使用这种方法的原理是祖鲁原理。具体内容是:夹在两个平行平面之间的几何体被平行于这两个平面的平面所切割。如果横截面积总是相等的，那么夹在这两个平面之间的几何体的体积也是相等的。为了应用该组。(设球的半径为R，pi代表Pi，“x y”代表x的y次方)1。先把球分成两个半球，超过一个半球的体积就可以计算出球的体积；2.在半球的顶部做一个与半球地面平行的平面；3.在这两个平面之间，构造一个圆柱体，使其高底面的半径等于球体的半径；4.然后从构造的圆柱体中去掉以圆柱体上底面为底面，以圆柱体高度为高度的圆锥体的体积，剩余体积为2 (pi * r 3)/3，5。半球的截面积是s 1 = pi(r ^ 2-h去掉同底同高的圆柱体的截面积是S2 = pi(r ^ 2-h ^ 2)，所以这两个几何体被平行于这两个平面的第三个平面所截的截面积总是s 1 = S2；根据祖鲁原理，这两个几何图形的体积相等，所以半球的体积v/2 = 2(pi * R3)/3；所以球体的体积公式是:v = 4 (pi * r 3)/3o (∩ _ ∩) o记得采纳，非常感谢。

三。阿基米德与祖冲之对球体体积证明的比较古希腊著名数学家阿基米德(公元前287年-公元前212年)在《处理力学问题的方法》中用“平衡法”求解体积，即“数学上，就是把量(面积、体积等)分开，)那需要乘以很多微小的单元(比如微小的线段、切片等。)然后把它们和另一组微小的单位进行比较。

而这两组微量元素的比较，是借助力学中的杠杆平衡原理实现的。”[4]因此，可以说阿基米德的平衡法体现了现代积分法的基本思想，阿基米德本人用它解决了一系列几何图形的面积和体积的计算问题。

比如阿基米德用“平衡法”证明了球体体积的公式，即球体的体积等于底部有一个大圆，高度有半径的圆锥体的体积的4倍。该方法接近祖冲之子祖宣的方法，即现代积分学。利用祖定理“势同则积不可异”和“互补进出原理”的方法，在正方形覆盖的基础上，解决了刘辉绞尽脑汁的球体积问题，得到了球体积的正确公式。

可以看出，微积分方法在中国是不涉及求解球的性质的。解决球积问题的基本方法是构造法，通过数学建模将原问题等效，借助外力解决几何问题。

而且刘祖和刘祖最早计算出球的体积，球的表面积就成了历史遗留问题，直到清朝才彻底解决。

四、如何用高一的数学知识证明球的体积公式？高中课本给出了球的体积公式的证明过程，椭球的体积公式怎么证明？其实我们可以用中学学过的知识来证明椭球体的体积公式。下面的证明借鉴了高中教材中球体体积公式的证明方法。希望第二种证明方法也能引入高中课本。证明方法一:【注:此证明方法只是高一新生。它是在没有学习椭圆方程等的情况下做出的。这个证明方法使用了液体压强P=ρgh的公式和物理学中压强P=F/S的定义公式。推导椭球体体积公式，源于初中对液体压强公式的怀疑。这里暂时不给出这个证明方法。]证明方法二:如图(1)，底面直径为2b。一个高为A的椭球形半球和一个去掉圆锥体的圆柱体放在同一个平面β上。在离平面β任意高度D处，切割平行于平面β的平面，可得到S圆和S环的两个截面。有S圈=π(m2-d2) 1 S圈=πb2-πr2=π(b2-r2)因为r/b=d/a (R/B = D/A)。A2) 2将点M的坐标值代入椭圆方程x2/b2+y2/a2=1，则有(m2-d2)/b2+d2/a2=1，即m2-d2=b2-b2d2/a2 3，再将1和2代入3得到S圆=S环，根据祖先恒常性原理可知。这两个几何相等，即V椭圆/2=V柱-V锥=πab2-πab2/3，即V椭圆=4πab2/3。当椭球的横截面不是圆面而是椭圆面时，我们可以推导出椭球的体积公式为4πabc/3。以下证明已被新华网论坛等网友获得，昵称为废话wdzg168。【点击阅读】。

动词 （verb的缩写）如何证明球体体积公式1？球体体积公式的推导

基本思维方法:

先用球心所在的平面截取球，用横截面将球分成大小相等的两个半球，横截面⊙称为所得半球的底面。

第一步:分段。

用一组平行于底部的平面将半球切割成层。

(2)第二步:求近似和。

每一层都是一个近似圆柱形的“小圆盘”。我们用小圆柱的体积来近似“小圆盘”的体积，它们的和就是半球的近似体积。

(3)第三步:将近似和转化为精确和。

当它无限增大时，半球的近似体积趋于精确体积。

(具体流程见教材)

2.定理:半径为的球体的体积公式为:。

3.体积公式的应用

求一个球的体积只有一个条件，就是球的半径。两个球半径比的立方等于这两个球的体积比。

球面内接于立方体，球面的直径等于立方体的边长；立方体内接一个球，球的半径等于立方体边长的两倍(即球体对角线钱的一半)；边长为的正四面体的内切球和外切球的半径为。

也可以用微积分找，但是不太好写。