什么是傅立叶变换？
这里不深究，也没有数学公式推导。我们只想简单的给大众解释一下傅立叶变换是什么。傅立叶变换最奇妙的地方在于它可以将信号在时域和频域之间进行变换，所以我们先来解释一下什么是时域和频域。
①时域
时域描述了数学函数或物理信号与时间之间的关系。例如，信号的时域波形可以表示信号随时间的变化。比如下面的时域图，在1秒内重复振动五次，频率为5，最大振幅为1。整个图表描述了每个时刻的信号值:
②频域
频域是一种用来描述信号在频率上的特性的坐标系。频域图显示了一个频率范围内每个给定频带的信号数量。上面的时域图是用频域表示的，是下图。横坐标代表频率，纵坐标代表振幅。这个图显示有一个频率为5，振幅为1的波。
此外，频域表示还可以包括每个正弦曲线的相位，从而可以重新组合频率分量以恢复原始时间信号。不同的相位决定了波的位置，相位对于从频域信息恢复到时域信息非常重要。
红色和蓝色正弦波的相位差为θ。
傅里叶变换
我们先点亮一般的傅立叶公式。(“公式恐惧症”，请闭眼滑行...)
傅立叶变换，顾名思义，就是满足一定条件的函数可以表示为三角函数或者它们的积分的线性组合。简单来说，它贯穿时域和频域，可以将任意形式的周期信号无限拆解成多个规则的简单正弦波信号。正弦波是圆周运动在直线上的投影，所以频域的基本单位也可以理解为一直在旋转的圆。)
傅立叶级数方波圆形动画
比如下面这个波形，也是有规律的，可以分解成几组波的叠加。
换句话说，傅立叶变换可以将一个复杂的波分解成一组多个规则的和简单的波。然后，对这些规则波进行频域描述，得到全波的频谱线图。
如下图所示，在时域观察到的方波信号是几个正弦信号的叠加。当以时间为横轴时，可以看到这些信号累加得到的时域图像，而在另一个角度，以频率为坐标时，可以得到不同频率的脉冲。信号从时域到频域的变换是傅立叶正变换，从频域到时域的表示是傅立叶逆变换。因此，时域和频域从完全不同的角度表现了相同的信息。(突然想背一首诗:横着看，山边成了峰，远近不同...)
很多在时域看似不可能的操作，在频域却很容易，这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从一条曲线中去掉某些特定的频率成分，工程上称为滤波，是信号处理中最重要的概念之一，只有在频域中才能很容易地做到。例如，在图像处理中，低频项决定图像的整体形状，高频项提供细节。通过控制滤波器，可以滤除不同频率的信息，从而决定输出图像效果。