关于几何元素的思考
“古希腊”这个词我们很熟悉，但很多人并不了解。
如果说《几何原本》的作者欧几里德可以代表整个古希腊人民，那么我可以说，古希腊是古代文化中最辉煌的一支——因为古希腊的数学不仅包含数学，还包含了罕见的逻辑和耐人寻味的哲学。
数学著作《几何原本》用几个显而易见的、众所周知的定义、公设和公理相互衔接，发展出一系列命题:从简单到复杂，相辅相成。我们不能不佩服它严谨的逻辑。
从我目前所访问的命题来看，欧几里德证明了关于线段“等长”的最常见、最基本的问题是画圆:因为圆的所有半径都相等。一般的数学思想是很复杂的。就在这里一点点，然后我又去了那里。《几何原本》很容易被我接受，大概是因为欧几里得反复用了一个思想让读者接受。
但是，我想强调的是他的哲学。
书中有几个命题:比如“等腰三角形的两个底角相等，腰与底形成的两个余角相等”，又比如“如果三角形中两个角相等，那么两条边相等”。当我读到这些命题的时候，我一直在遭受几何之外的震撼。
我们在七年级学过几何。当我们当时想到做这种证明，需要证明一个三角形中的两个角相等时，我们总是写:“因为是等腰三角形，所以两个底角相等”——我们总是习惯性地认为一个等腰三角形的两个底角相等；他一边看《几何原本》，一边思考“为什么等腰三角形的两个底角相等”。想想，一个念头是习惯了，一个念头是在想为什么。这还不足以说明现代人的问题吗？
大多数现代人似乎已经失去了好奇心。这里的好奇心不仅仅指对新奇事物的那种兴趣，还包括对普通事物的兴趣。比如，很多人会问“为什么宇航员会浮在空中”，但他们可能不会问“为什么我们能站在地面上不浮”；很多人会问“吃什么能减肥”，但可能不会问“羊为什么吃草不吃肉”。
我们太习惯身边的事情，以至于对很多“普通”的事情不感兴趣然后去琢磨。牛顿为什么会发现引力？很大一部分原因在于他的好奇心。
如果我们只是把《几何原本》当成一本数学书来读，那就大错特错了，因为古希腊数学渗透着哲学，学数学就是学哲学。
哲学第一课:人要树立好奇心，不仅要探索新事物，也要探索身边的普通事物。这是我读《几何原本》的意外收获！
对几何元素的思考2。今天我读了一本叫做《几何原本》的书。它是古希腊数学家和哲学家欧几里得的不朽著作，将希腊数学家的成就和精神集于一书。
《几何原本》包含了原卷13的全部内容，包括5个公理、5个公设、23个定义和467个命题，即首先提出公理、公设和定义，然后由简单到复杂加以证明，并在此基础上形成欧几里得几何体系。欧几里德认为数学是一个高贵的世界，即使作为世俗君主，在这里也没有特权。与时间中腐朽的物质相比，数学揭示的世界是永恒的。《几何原本》不仅是一部数学著作，而且充满了哲学精神，它第一次完成了人类对空间的理解。古希腊数学脱胎于哲学。它用了各种可能的描述来分析我们的宇宙，使它不混乱，不分离。它与中国和古埃及的世俗数学完全不同。它建立了物质世界和精神世界的确定体系，让小到人类的人都能从中获得一点自信。
本书命题1提出了如何做等边三角形，由此产生了三角形同余定理。即角、边、角或边、角、边或边、边和边相等，一个等腰三角形——等边是等边；等角是等边。就这样，欧几里德从点、线、面、角四个部分，由浅入深，提出了自己的几何理论。前一个命题为后一个命题做铺垫；后一个命题是由前一个衍生出来的，环环相扣，非常严谨。
这本书很深奥，我只能理解十分之一左右，很震撼。欧几里得不愧是几何之父！他是数学史上最耀眼的明星。我要向他学习，坚定地沿着自己的目标走下去。
公理结构是现代数学的主要特征。原版是最早完成公理化结构的模型，产生于两千多年前，难能可贵。然而，以现代标准来看，也有许多缺点。首先，一个公理系统有一些原始的概念，或者说是未定义的概念，作为其他概念定义的基础。点、线、面都属于这一类。在《要件》中，一一给出了定义，而这些定义本身就是模棱两可的。其次，公理体系不完整，没有运动、顺序、连续等公理，所以很多证明都得靠直觉。另外，有些公理不是独立的，也就是可以从其他公理推导出来。这些缺陷直到1899年希尔伯特《几何基础》的出版才得以弥补。尽管如此，毕竟缺点并不能掩盖余的瑕疵。原著开创了数学公理化的正确道路，对整个数学发展的影响超过了历史上任何一部著作。
原著的两大理论支柱——比例理论和穷竭法。为了讨论相似论，欧几里得整理了比例论，引用了欧多克索斯的比例论。这个理论非常成功。它避开了无理数，建立了正确的可公度与不可公度的比例理论，从而成功地建立了相似理论。在几何发展史上，解决曲边围成的面积、曲面围成的体积等问题一直是人们关注的重要课题。这也是微积分涉及的初始问题。它的解依赖于极限理论，这个理论已经在17世纪了。而在古希腊，公元前三、四世纪在证明一些重要的面积和体积问题时并没有明显的极限过程，他们解决这些问题的思想和方法是如此先进，以至于深刻影响了数学的发展。
把圆变成正方形的问题是古希腊数学家奥多克索斯提出的，后来以穷举法命名。穷举法是基于阿基米德公理和归谬法。在《几何原本》中，欧几里得用穷举法证明了许多命题，如圆的面积与直径的平方之比。两个球体的体积比等于它们直径的立方比。阿基米德运用穷举法的技巧更加娴熟。并用它解决了一些面积和体积的重要命题。当然，用穷举法证明一个命题，首先要知道命题的结论，而结论往往是由推测和判断决定的。阿基米德在这里做了重要的工作。他在《方法》一文中阐述了求结论的一般方法，其中其实就包含了积分的思想。他对数学的贡献奠定了他在数学史上的突出地位。
制图问题的研究与总结。欧几里得在《几何原本》中谈到了正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正五边形的画法，但没有提到其他的正多边形。可以看出，他尝试过做其他的正多边形，也遇到过“不会”做的情况。但当时还是无法判断真正的“做不到”，或者暂时找不到作图方法。
高斯对单个正多边形的画法并不满意。他希望找到一个判断哪些正多边形能用尺子和圆规做，哪些正多边形不能做的标准。换句话说，他已经意识到，尺子和圆规的“效率”并不是万能的，有些正多边形不一定能做出来，并不是说人们找不到一种作图方法。在1801中，他发现了一个新的研究成果，可以判断一个正多边形能否做成的判据。判断这道题能不能做，我们先把它变成一个代数方程。然后，用代数方法判断。判断的标准是:“用尺子和圆规可以做出一个几何量的充要条件是，将一个已知量所对应的数进行有限次的加减乘除平方运算，就可以得到这个几何量所对应的数。”(圆周率不能这样得到，是超越数，E和路易斯维尔数都是超越数。我们知道，实数是不可数的，分为有理数和无理数。其中有理数和一些无理数，比如根号2，都是代数数，代数数是可数的，所以实数中的不可数是因为超越数的存在。虽然超越数很多，但是判断一个数是否超越并不是那么简单。)在这一点上，“三难题”，即“把圆变成正方形、角三等分、立方体对折”，是用尺子做不出来的作图题。正七边形可以，但其方法不好给。在65，438+0，796和65，438+0.9岁时，高斯给出了正七边形的尺规作图法，并进行了详细的讨论。为了表彰他的发现，在他死后，一个规则的七边形被刻在他的家乡布伦瑞克建造的纪念碑上。
几何学中连续公理的介绍。作图问题中“交点”的存在不能从欧几里得公设和公理中推导出来。因为没有连续性的概念(公理)。这就需要在欧几里得公理系统中增加一个新的公理——连续性公理。虽然费马和笛卡尔在19世纪之前就已经发现了解析几何，但是代数已经有了长足的进步，微积分已经进入大学课堂，拓扑学和射影几何已经出现。但是数学家的对数系统的理论基础还很模糊，没有得到重视。直观上承认了实数和直线上的点是连续的，是一一对应的。直到19结束，这个重要问题才圆满解决。从事这项工作的学者包括康托尔、戴德金、阿砣、希尔伯特等人。当时康托尔希望用基本数列建立实数理论，戴德金也深入研究了无理数的概念。他的一篇论文发表在1872。在此之前的1858，他在给学生教微积分的时候，就知道实数系没有逻辑基础的保证。因此，当他要证明“单调递增有界变量序列趋向于一个极限”时，就不得不求助于几何直觉。其实“一条直线上的所有点都是连续统”是没有逻辑依据的。不清楚所有实数和一条直线上所有点之间是否一一对应。比如数学家波尔卡就把两个数之间至少有一个数的存在视为数的连续性。其实这是一个误区。因为，任意两个有理数一定能找到一个有理数。然而，有理数并不都是数。经过德德金的划分，人们认识到波尔卡奴的观点只是数字的密度，而不是连续性。无理数引发的数学危机一直持续到19世纪。直到1872年，德国数学家戴德金通过有理数的除法定义了无理数，将实数理论建立在严格的科学基础上，结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
《原本》还研究了很多其他问题，比如求两个数的最大公因式(可以推广到任意有限个数)和数论中素数的无穷个数。
在高等数学中，有正交的概念，最早的概念起源应该是勾股定理，我们称之为勾股定理，只是3股4弦5的勾是特例，勾股定理对任何直角三角形都成立。并且从勾股定理中，找到了无理数的根号2。数学方法中涉及到演绎法，证明命题时使用归谬法(即归谬法)。也许是受丢番图将一个平方数分成两个平方的整数解的启发，著名的费马大定理在350多年前由法国数学家提出，吸引了历代数学家花大力气去证明，有力地推动了数论应用于整个数学的进程。1994年，英国数学家安德鲁·韦罗斯解决了这个史诗般的问题。
多年来，成千上万的千千人(牛顿、阿基米德等。都很有名)通过学习欧几里得几何接受了逻辑方面的训练，从而步入了科学的殿堂。
对几何元素的思考4。《几何原本》被认为是数学。圣经，第一部系统的数学著作，牛顿和爱因斯坦用这种形式写出了自然哲学的数学原理和相对论。斯宾诺莎写了哲学著作《伦理学》，可以作为哲学、社会科学和心理学的接口，具有很强的思辨性。
几何原本一共有13册，学习前六册就够了，因为后面的都是应用到具体领域，无理数，立体几何等领域。我认为几何学的本质本来就是合理的假设和对点、线、面的抽象，这样后一个定理才能成立，第五公设后来被推翻了，以点、线、面为基础，以欧几里德工具为工具。主要是最简单的几何形状，从怎么画开始，也是有理有据，然后各种形状的性质，各种形状之间关系的定理都是一步步推导出来的。
在几何学上，阿波罗尼斯的圆锥割线理论和牛顿的自然哲学数学原理都是比较系统的数学著作，都是用欧几里得工具证明的。后来微积分工具的出现，我认为是解圆周率的过程和无限逼近的思想，使得微积分工具应运而生。现代数学看似阵容豪华，却没有新的工具。只是各种形状的微积分工具的应用，数学主要是在空间上做文章。现在似乎有很多工作是数学可以做的，但也得益于物理学的发展。一方面，数学发展到一般方面，已经被遗忘了。想数学思维没什么，但这是大量的脑力劳动，尤其是对于那些只是纯数学研究，不思考的人来说，很累，做不了有意义的工作。
看了二十世纪的数学史，在里面找到了人的作品。我一个都不想看。太空洞了。
读了《几何原本》，在文艺复兴后的欧洲，由于阿拉伯的影响，代数发展很快。另一方面，在17世纪之后，数学分析的发展非常显著。因此，几何也摆脱了与代数隔绝的状态。正如他的名著《几何》中所说，数与图形有着密切的关系，坐标是在空间中设定的，图形是用数与数之间的关系来表示的；反过来，一个图可以表示为数字之间的关系。这样，根据坐标，图形就变成了数与数之间关系的问题，这种方法就叫解析几何。恩格斯在《自然辩证法》中高度评价了笛卡尔的工作。他指出:“数学的转折点是笛卡尔的变量。有了变量，运动进入数学。有了变量，辩证法进入数学。有了变量，微分和积分就变得必要了。"
事实上，笛卡尔的思想为17世纪数学分析的发展提供了强大的基础。18世纪，由于l .欧拉等人的开创性工作，解析几何得到了迅速发展，甚至希腊时代(约公元前262年~约公元前190年)阿波罗尼乌斯等人讨论的圆锥曲线理论也再次被当作圆锥曲线理论，进行了代数整理。此外，18世纪发展起来的数学分析反过来应用于几何学。在本世纪末，加斯帕尔·蒙日开创了数学分析在几何中的应用，成为微分几何的先驱。如上所述，很多几何问题都可以用解析几何来讨论。但也不能说这是对所有问题最适用的。与解析几何方法相反，还有合成几何或纯几何方法，这是一种不用坐标直接考察图形的方法，数学家欧几里得几何就是如此。射影几何就是这种思维方法指导下的产物。
早在文艺复兴时期，造型艺术就在意大利盛行和发展，它伴随着所谓透视法的研究。当时包括达芬奇在内的很多人都把这种透视法作为实用几何来研究。自17世纪以来，G. Dezag和B. Pascal扩展和发展了这种透视法，从而为射影几何奠定了基础。以他们命名的两个定理成为射影几何的基础。一个是德札格定理:如果平面上两个三角形对应顶点的连线相交于一点，则它们对应边的交点在一条直线上；反之亦然。第二个是帕斯卡定理:如果六边形的顶点在同一条二次曲线上，那么它的三对对边的交点在同一条直线上；反之亦然。18世纪后，J.-V .潘斯莱、Z.N.M .吉安诺和j .施泰纳完成了这一几何。
对几何元素的思考6。数学最古老的分支。据说起源于古埃及尼罗河泛滥后整治土地的测量方法，其外文名geo由geo(土地)和metry(测量)组成。泰勒斯曾经用两个三角形的等价来做间接测量；毕达哥拉斯学派以毕达哥拉斯定理而闻名。中国古代就有毕达哥拉斯计量。汉人写的《周髀算经》第一章，记述了西周开国时(约公元前65438年+公元前0000年)周公、姬旦与商皋的问答，讨论了用矩测量的方法，得出了著名的毕达哥拉斯定律，并列举了“勾三、顾四、武贤”的例子。产生于埃及的几何学传播到希腊，然后逐渐发展成为理论数学。哲学家柏拉图(公元前429 ~ 348年)对几何学进行了深刻的探讨，确立了今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念，确立了哲学和数学中的分析与综合等概念。另外，梅内克缪斯(约公元前340年)已经有了圆锥曲线的概念。
希腊文化在柏拉图学派时代达到顶峰，之后逐渐衰落，而埃及的亚历山大学派逐渐繁荣，在很长一段时间内成为文化的中心。数学家欧几里德把直到希腊时代所获得的数学知识汇编成十三卷本的《几何原本》，这就是今天仍被广泛用作几何教科书的数学家欧几里德几何(简称欧几里德几何)。徐光启在1606年翻译了《几何原本》的前六卷，直到1847年李才翻译完剩下的七卷。“几何”与其说是geo的音译，不如说是对“大小”更恰当的解释。诚然，现代几何是数学中关于图形的一个分支，但在希腊时代，它代表了整个数学。数学家欧几里得首先在《几何原本》中描述了一些定义，然后提出了五个公设和五个公理。其中第五公设尤为著名:若两条直线与第三条直线相交，且同一侧的两个内角之和小于两个直角，则两条直线适当延伸到这一侧后必相交。《几何原本》中的公理体系虽然不能说是如此完备，但也刚刚成为现代几何基础理论的开创者。直到19年底，d .希尔伯特才建立起严格的欧几里得几何公理体系。
与其他公设相比，第五公设的内容比较复杂，后来引起了人们的注意，但用其他公设推导它的尝试失败了。这个公设等价于下面的公设:在平面上，一条直线之外的点可以通向一条且只有一条直线不与这条直线相交。η и罗巴切夫斯基和j .波尔约独立创造了一种新的几何，其中第五公设被抛弃，取而代之的是另一个公设:在平面上，一条直线之外的一点可以引出无限条不与这条直线相交的直线。以这种方式创造的非矛盾几何被称为双曲非数学家欧几里得几何。(G.F.) B .黎曼将第五公设改为“在平面上，直线外的点所画的任何直线必与这条直线相交”，这样创造的不矛盾的几何被称为椭圆的非数学家欧几里得几何。