你知道复数的历史吗？
在数系中发现了一颗新星——虚数，引起了数学界的一场混乱。许多伟大的数学家不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1646-1716)在1702中说:“虚数对于神灵来说是一个微妙而奇怪的藏身之处，它很可能是存在与虚假领域中的两栖动物。”瑞士数学家欧拉(1707-1783)说；“所有的形式，学数学都是不可能的，想象一下数字，因为它们代表一个负数的平方根。对于这样的数字，我们只能断言，它们既不是无，也不是多于无，更不是少于无。它们纯粹是虚幻的。”但是，真理经得起时间和空间的考验，最终占据了自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔(1717—1783)在1747中指出，如果虚数按照多项式的四则运算法则进行运算，那么它的结果永远是(A和B都是实数)的形式(注:目前的教材中没有使用符号=-I，而是使用= one。法国数学家德莫弗(1667-1754)在1730年发现了这个公式，这就是著名的德莫弗定理。欧拉在1748中发现了著名的关系式，他在文章《微分公式(1777)》中第一次用I表示1的平方根，他首创了用符号I作为虚数的单位。“虚数”其实不是虚数，但确实存在。1745-1818年，一位挪威测量员试图对1779这个虚数给出直观的几何解释，并首次发表了他的实践，但并没有得到学术界的重视。
德国数学家阿甘(1777-1855)在1806中公布了虚数的图形表示，即所有的实数都可以用一个数轴来表示，同样，虚数也可以用平面上的点来表示。在直角坐标系中，取横轴上实数A对应的点A和纵轴上实数B对应的点B，通过这两点引出一条与坐标轴平行的直线，它们的交点C代表复数A+Bi。这样，其点对应复数的平面就称为“复平面”，后来也称为“福雷斯特平面”。1831年，高斯用实数组(A，b)表示复数A+Bi，建立了复数的一些运算，使复数的一些运算像实数一样“代数化”。他在1832中首次提出了“复数”这一术语，还整合了平面上同一点的两种不同表示方法——直角坐标法和极坐标法。统一在表示同一个复数的代数形式和三角形式上，数轴上的点对应实数-1，推广到平面上的点对应复数-1。高斯把复数不仅看作平面上的一点，而且看作一个向量，利用复数与向量的对应关系，阐述了复数的几何加法和乘法。至此，复数理论已经完整而系统地建立起来了。
经过众多数学家长期不懈的努力，复数理论得到了深入的探讨和发展，使得在数学领域徘徊了200年的虚数幽灵揭开了神秘的面纱，露出了本来的面目。原虚数非空。虚数已经成为数系家族的一员，因此实数集已经扩展到复数集。
随着科学技术的进步，复数理论变得越来越重要。它不仅对数学本身的发展具有重要意义，而且对证明机翼升力基本定理具有重要作用，在解决大坝渗流问题上显示了它的威力，也为建设巨型水电站提供了重要的理论依据。
从记数法到复数域:数系理论的历史发展
作者:季志刚
摘要:数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩展都标志着数学的进步，但这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤进行的。希腊人对无理数的发现暴露了有理数体系的缺陷，实数体系的完备性直到19世纪才完成。负数早在《九章算术》中就被我国数学家所认识。然而，15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。“四元数”的发明打开了抽象代数的大门，同时宣告了复数在保持传统运算规律的意义上是数系扩张的终点。人类发明的记数法并没有克制自己的想象力，中国古代“数穷而变”的思想对当代数学哲学仍有积极意义。
引用
数是数学中的一个基本概念，是人类文明的重要组成部分。数字概念的每一次扩展都标志着数学的一次飞跃。一个时代人们对数字的认识和应用以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所使用的数字系统已经被构造得如此完整和细致，它已经成为一种基本语言，成为科学技术和社会生活各个领域中不可或缺的工具。我们在轻松享受这份人类文明的共同财富时，是否想到了人类智慧在数系形成和发展的历史进程中所经历的曲折和艰辛？
符号、位置系统和零点
在进化的蒙昧时期，人类有一种“认识数字的能力”，心理学家称之为“对数字的感知”。动物行为学家认为，这种“数字感知”并非人类独有。人类智力的卓越之处在于他们发明了各种计数方法。《周易·内聚力下》记载“上古以结治，后世圣人易用书。”东汉郑玄说:“大事为大结；小事，总结其诀窍。多少结，随物之数。”事实上，以打结和书写事迹的方式来计数的方法遍布世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家，这些地方都有文献记载和实物标本。直到1826，英国财政部才决定停止使用该契约作为法律柜台。随着人类社会的进步，数字语言也在不断发展和完善。数系发展的第一个里程碑出现了:位置系统记数法。所谓位置记数法，就是用少量的符号，通过它们对不同数字的排列，来表示不同的数字。让历史学家和数学史学家感兴趣的是，在自然环境和社会条件的影响下，不同的文明创造了完全不同的计数方法。如巴比伦楔形文字数字系统、埃及象形文字数字系统、希腊字母数字系统、玛雅数字系统、印度-阿拉伯数字系统和中国的记数系统。
最早发展起来的数制应该是简单的分组制。比如公元前3400年的埃及象形文字，是10十进制，但不是位置性的。公元前3000年到公元前2000年间，巴比伦人发展了60进制的位置数制，采用了位置制，但不是10进制。最重要最精彩的记数法是10十进制位置记数法。
著名的法国数学家拉普拉斯(Laplace，1749–1827)曾经写道:
用十个符号表示所有的数，每个符号不仅有绝对值，还有位置值。这个巧妙的方法来自印度。这是一个深远而重要的想法。今天看来是如此简单，以至于我们忽略了它真正的伟大成就。但恰恰是它的简单性和对所有计算的极大方便，使我们的算术在所有有用的发明中名列第一；当我们想到它没有引起古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼奥斯的天才思想的注意时，我们就更加感到这一成就的伟大。
拉普拉斯的评论非常精彩，可惜他狂妄自大，把这个发明归咎于印度。目前有充分确凿的史料证明，10十进制位制记数法最早产生于中国。这也是一些西方数学史家所提倡的。李约瑟曾指出，“在西方后来习以为常的‘印度数字’背后，职位制度在中国已经存在了两千年。”但是，10十进制位置记数法的产生不能简单地归功于天才的智慧。记数法的进步与计算工具的改进有关。研究表明，10十进制位制的记数法起源于中国，这与计算的使用和计算体系的演变密不可分。
“0”作为记谱法的空缺，在位置记谱法的文明中是不可或缺的。早期的巴比伦楔形文字和中国宋代以前的记数法，都留有空格，没有符号。最初印度人也是用空格表示零，然后记为圆点，最后发展成圆形数字。印度数码在8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利商人莱昂纳多·斐波那契(1175-1250)编撰了《利伯阿巴契(1202)》，将包括零在内的完整的印度数字引入欧洲。印度数字和10十进制记数法自被欧洲人普遍接受以来，在欧洲的科学和文明进步中发挥了重要作用。
第二，大数的记数法
古希腊人曾经问过一个问题:他们认为世界上的沙子是无限的，即使不是无限的，也没有人能写出比沙子更多的东西。阿基米德，BC287-212+02)回答:不是，在数沙中，阿基米德基于myriad建立了新的记数法，这样任何大数都可以表示。他的做法是:从1到1亿(原文为1亿，按中国习惯改名为1亿)，称为1系列；以亿(108)为单位的第二个数列，从亿到亿(108)2称为第二个数列；以十亿为单位，最多十亿(108)3称为第三个数列。直到65438+亿系列的最后一个亿。阿基米德计算出充满宇宙的沙子的数量只有1051。即使扩展到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的天球，也只能容纳1063颗沙粒！
同样的问题也出现在中国古代。汉代以前的数字是10，有65438+1亿。魏解释《国语·郑语》第十六条:“数亿万之事，用料预测之事，受经入道，行极之事”。注意，“计，算也；料，切也。汤佳说万物都是十亿，郑后思农说:一百万亿是十亿，十亿是一个标志，从古算起。”《数术书》中记载了一整套命名和三种携带大数的方法。《命理学》说:
黄帝为法，有十级，用法三种。第十类是亿、兆、京、易、易、土、沟、流、正、载；三等，即上中下。接下来的几个。十变，如果你说十万，十亿，一千万，北京。那些在数字中间的人永远不会改变它。如果他们说1亿，100万亿，100万亿，他们会说北京。穷就变。你说一亿，一亿就是万亿，万亿就是北京。从1亿到加载，终于很棒了。
《命理笔记》“大数之法”的数学意义不仅在于它构造了三种计数方法，更重要的是揭示了人们对对数从有限到无限的认识的艰难历程。客观需要和数学的发展促使人们认识和掌握越来越多的大数。起初，对于一些大数，人们可以理解它们，并用现有的记数单位来表达。但随着人们认识的发展，这些大数也在迅速膨胀，原有的计数单位很难使用。人们不禁要问:
数字差吗？
这是数系发展中需要回答的重要命题。《命理遗事》中记载的徐悦与老师刘虹的对话，精辟地说明了“穷则改之”的深刻道理:
徐悦问:这个数字是穷人吗？
惠姬(刘虹)回答说:我曾经在天目山旅行，当我看到一个隐士，我不知道他的名字。我叫他天目先生，我是这样问他的。王先生说:世事不能三与二比，云何捐烦与四维。不知道三个，就谈知道十个。不区分大小就知道几百亿。黄帝为法，有十数。.....从亿到载，终于伟大。
惠姬问:先生，如果名单上的人数少了，就会改变。既然云最终是大的，大的传播是有限的，怎么可能是无限的呢？
王先生回答:用数，字重变，小的变大，加循环。流通，还有贫穷！
天目先生的做法是借助“以小博大”的“循环论”来理解无限，而指导这种做法的重要思想是“强调文字会变化”。即使在今天，“穷则变”这种朴素的辩证思维所蕴含的深刻哲理，仍然值得深思。
第三，有理数系统
位置记数法的出现，标志着人类掌握的数字语言已经从少量的字符发展到具有完善运算规则的数字体系。人类已知的第一个数系是“自然数系”。然而，随着人类认识的发展，自然数体系的缺陷逐渐暴露出来。首先，自然数系统是离散的而不是稠密的数系[2]。所以作为量的表示，只能限定为单位量的整数倍，而不能限定其部分。同时，作为运算手段，在自然数系统中只能进行加法和乘法运算，而不能自由进行它们的逆运算。这些缺陷通过分数和负数的出现来弥补。
有趣的是，这些分数也有很强的地域特征。巴比伦的分数是小数60，埃及用的是单分数，阿拉伯的分数更复杂:单分数，单位分数，复合分数。这种复杂的分数表示必然导致复杂的分数运算方法，所以欧洲的分数理论长期停滞不前，直到15世纪才逐渐形成现代的分数算法。与之形成鲜明对比的是，中国在古代对分数理论的杰出贡献。
分数最初的概念来源于量的除法。比如《说文八部》解释“分”:“分，不也。从八刀来说，刀也是分开的。”而《九章算术》中的分数是从除法运算中引入的。其《合与分》有云:“实如法一。对法律不满的人，将受到法律的制裁。”用除数除被除数。如果不可分，则定义一个分数。中国古代分数论的高明之处在于，它借助“同调”抓住了分数算法的本质:一般分数。刘徽在《九章算术注》中说:
很多分是混的，也不细。取之散之，所以传之。通过了就可以合并了。凡母相乘，谓之气，群母相乘谓之同。同人，同相，同母。气，子母为气，势不可失。
用同样的手法，你可以把分数分成同类，变相的，和同类相反。刘徽知道了这个秘密，说:“但是，必须有同样的技能。错综复杂的程度，动态的和谐，其还佩服吗？解开心结，不去理会。乘以散，是关于聚，同与之相连。这是一门学科。”
很容易证明分数系统是密数系统，对于加、乘、除是封闭的。为了让减法在数字系统中顺利进行，负数的出现是不可避免的。盈余与不足，收入与支出，增加与减少，都是生活中负数概念的例子，教科书在教学生负数时，往往遵循这条路径。这就导致了一个误区:似乎人类就是从这种对意义相反的量的理解中引入了负数。历史事实表明，负数最早是由中国数学家引入的，这是由中国古代传统数学中算法高度发达、计算机械化的特点决定的。负数的概念和算法最早出现在《九章算术》的“方程”中，因为在“方程”的两行之间进行加减乘除时，需要引入负数，建立正负数的算法。刘徽的注解深刻地说明了这一点:
今日得失相对，正反应正名。正的是红色，负的是黑色，否则，斜的就不一样了。方程有自己的取红黑相及推导左右数的技巧。但并减趋势无法广泛沟通，所以淘汰红黑相。.....所以红黑混合足以定上下的航向，虽然利润的损失极其足以过左右数，但差额足以满足差率。但是，没有错，也没有错，它的费率也没有错。
虽然负数通过阿拉伯著作传到了欧洲，但16和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认，也不认为它们是方程的根。比如尼古拉斯·丘凯特(1445-1500)和斯蒂费尔(1486-1567)都把负数描述为荒谬的数字，是“荒谬的负零”。卡当(1501-1576)把负数当作方程的根，却认为它们是不可能的解，只是一些记号；他称负根为虚根。Veda (Vieta，1540- 1630)根本不想要负数，而Pascal (1623-1662)认为0减4纯粹是扯淡。
负数是人类第一次跨越正数的范围，之前所有的经验在负数面前完全没有用。在数系发展的历史进程中，实践经验有时不仅无用，而且是一种障碍。正如我们将看到的，负数不是唯一的例子。
第四，实数理论的完善
无理数的发现粉碎了毕达哥拉斯学派“万物皆有数”的梦想。同时也暴露了有理数体系的缺陷:直线上的有理数虽然“密密麻麻”，却漏出了许多“毛孔”，还有许多“不可数的数”，这样，古希腊人关于有理数是连续相连的算术连续体的假设就彻底破灭了。它的崩溃将对未来两千年的数学发展产生深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来一直有许多不同的意见。两个不可公度量之比也被认为是一个不合理的数，因为它不能被正确解释。达芬奇(1452-1519)称它们为“无理数”，开普勒(J. Kepler，1571-65438)虽然在后来的运算中逐渐使用这些“无理数”和“难以描述”的数，但它们到底是不是实数一直是个令人费解的问题。
中国古代数学在处理根问题时，不可避免地会遇到不合理的根。对于这种“取之不尽”的数，《九章算术》直接接受，刘徽注中的“求其差数”实际上是用10的小数来无限逼近无理数。这是一种正确的完成实数系的方法，但刘徽的思想远远超越了他的时代，未能引起后人的重视。而中国传统数学注重量的计算，对对数的性质没有太大兴趣。(李)而善于提问的希腊人是过不去这个坎的。既然克服不了，就要避免。从那以后，希腊数学家如欧多克索斯和欧几里得在他们的几何学中严格避免将数字等同于几何量。欧多克索斯的比例理论(见《几何原本》第五卷)使几何在逻辑上绕过了不可通约的障碍，但在此后的很长一段时间里，它形成了几何与算术之间的显著分离。
17和18世纪微积分的发展吸引了几乎所有数学家的目光，而正是人们对微积分基础的关注，才使得实数域的连续性再次凸显出来。因为微积分是基于极限运算的变量数学，而极限运算需要一个封闭的数域。无理数是实数域连续性的关键。
什么是无理数？法国数学家柯西(A.Cauchy，1789- 1875)给出了答案:无理数是有理数序列的极限。但根据柯西对极限的定义，所谓有理数序列的极限，是指事先有一个确定的数，使它与序列中的数之差在序列趋于无穷大时可以任意小。但是这个预先存在的“数”从何而来？在柯西看来，有理数列的极限似乎是先验存在的。这说明尽管柯西在当时是一个伟大的分析家，但他仍然无法摆脱两千多年来基于几何直觉的传统观念的影响。
由变量数学独立构造完备数域的历史任务，终于在19世纪下半叶由维尔斯特拉斯(1815-1897)、戴德金(r . dede kind 1831-65438)完成。
1872是现代数学史上最值得纪念的一年。今年F. Kline (1849-1925)提出了著名的Erlanger程序，Wilstras给出了一个著名的处处连续但处处不可微的函数的例子。也正是在这一年，实数理论出现了三大流派:戴德金的“分割”理论；康托尔的“基本序列”理论和维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论同时出现在德国。
试图建立实数的目的是给出一个形式上的逻辑定义，它不依赖于几何的意义，避免了用极限定义无理数的逻辑错误。有了这些定义作为基础，微积分中极限基本定理的推导就不会出现理论循环。导数和积分因此可以直接建立在这些定义上，而不带有任何与感性知识相联系的性质。几何的概念不能被完全理解和准确，这在微积分发展的漫长岁月中已经得到证明。因此，必要的严格性只能通过数的概念，在切断数的概念和几何量的概念之间的联系之后才能达到。在这里，戴德金的工作得到了很高的评价，因为“戴德金的除法”所定义的实数是完全独立于空间和时间的人类智慧的直观创造。