关于数学与中国文学比较的思考
中国最早记录的古代文献是300首诗歌，包括挽歌、民间抒情诗、宫廷礼仪作品以及赞美或讽刺统治者的歌曲。到了孔子时代，文学已经为君子服务，培养了民风。战国时期，诸子百家著书立说，为文学做出了重要贡献，但韩非等文人却瞧不起文学学者。屈原开创了古代辞赋，但他毕生的志向是振兴楚国。文学本身在古代社会并不占据重要地位。至于数学，中国儒家把它放在六艺之末，是辅助知识。政客们甚至把它视为一种雕刻昆虫的技能。与文学相比，他们甚至连歌颂朝廷的能力都没有。政府对数学的尊重直到最近几年才有很大的提高。
西方并非如此。希腊哲学家把数学作为一切学习的基础。柏拉图把普通几何作为入门的前提，于是数学家获得了崇高的地位，在西方兴盛了两千多年。
很多人会觉得我的题目有点奇怪。中国文学和数学好像没什么关系，但是我讨论一下。其实这跟个人的感受和爱好有关，不一定其他数学家也有同样的感受，“人若饮水，则知其然。”每个人的成长和风格与他的文化背景和家庭教育有很大的关系。我年轻的时候受过朝廷的训练。对我影响最大的是中国文学，我最大的兴趣是数学，所以对我来说比较它们还是挺有意义的。
一，数学的基本含义
数学作为一门学问，有其独特性，可以说是人文科学和自然科学之间的桥梁。
数学家研究自然界提供的一切物质，寻找它们的相似规律，并用数学的方式表达出来。这里说的性质比一般人知道的更广泛。我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，希望用简洁的数学语言来展现这些自然现象的本质。
数学是一门公理化的科学，所有的命题都必须通过三段论的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的本质。大部分数学著作都很枯燥，而有些却很神奇。有什么区别？
一言以蔽之，数学家是以他们对自然深刻而肤浅的感受来决定研究方向的。这种感觉既有客观的，也有主观的，后者取决于个人气质，与文化素养有关。文化素养在选择未解决的问题或创造新的方向时起着关键作用。文化素养是以数学功夫为主，自然科学为辅，但深厚的人文知识也是极其重要的，因为人文知识也是致力于描述灵魂对自然的感受，所以司马迁写《史记》不仅是为了“了解古今之变”，也是为了“研究人与自然之间的时间”。
刘勰的《文心雕龙》认为文章的价值在于自然，在于文采。历代大数学家，如阿基米德、牛顿等，都以自然为宗教，看到事物就思考数学是从何而来，也就是创造了微积分。费马和欧拉对变分法的开创性发明也是由探索自然现象引起的。
广义相对论提出了场方程，其几何结构因能赋予空间和谐完美的结构而成为几何学家梦寐以求的对象。我研究这种几何结构30年，时而迷茫，时而兴奋，有意识地像《诗经·楚辞》的作者，或者晋代的陶渊明一样，沉浸在自然之中，自得其乐。
空间中是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极其重要的物理问题，也逐渐成为几何中的一大难题。虽然其他几何学家不相信它的存在，但我锲而不舍，日夜研究，“虽然死了九次，但我依然不后悔。”
我花了五年时间，终于找到了一个超对称的引力场结构，并将其创建成数学中的一个重要工具。当时的心境可以用下面两句话来形容:“落花独立，雨燕齐飞。”
后来，大量的弦论学家参与了这种结构的研究，并得到了许多深入的结果。起初，我所有的朋友都对这类问题敬而远之，不愿意和物理学家打交道。但是，我深信自然不会愚弄人。回顾十几年，我对这方面的研究还是比较满意的。现在卡拉比-希尔空间理论已经成为数学的一个主流。
二、数学的文采
数学的文采表现在简单，几句话就能说出不同现象的规律。
我的老师先生创建的陈班，文采斐然。它在扭曲的空间中寻找简单的不变量，成为物理学领域中量子化的主要工具。可以说是描写自然之美的诗句，就像陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。
从欧几里得几何的公理化到笛卡尔创立的解析几何，再到牛顿和莱布尼茨创立的微积分，再到高斯和黎曼创立的内蕴几何，再到与物理融为一体的现代几何，无一不是以简单多样为基础，其文采绝不逊于任何文学创作。他们和文艺的兴起生在同一个时代，绝对不是巧合。
数学家在创造新的数学思想时，可以看到优雅的文采和崭新的风格。比如欧几里德证明了有无穷多个素数，开创了反证法。高斯研究了七边形的对称群，使得伽罗瓦群成为数论的支柱。这些研究在世界范围内异军突起，评判华懋，让人想起五言诗鼻祖李肃，诗话鼻祖李太白。
中国的诗歌讲究比喻，深刻的文学作品必然有寓意，有反讽，有比喻。数学也是如此。我们在寻求真知的时候，往往只能依靠自己已有的经验，顺着研究的大方向，凭着对自然的感觉往前走，这是相当主观的，取决于个人的文化素养。
为了达到意境的最佳描写，作家未必忠实地描写现象世界。为了创造一个美丽的理论，数学家不必遵循自然法则。只要逻辑推导没有问题，他们就能充分发挥想象力。但是，毕竟文章有差异。一般来说，一篇好的文章“比兴”总是手法丰富的。
数学中常用的比较方法是低维空间和高维空间中现象的比较。虽然我们看不到高维空间中的事物，但我们可以看到一维或二维的现象，并从中推断出高维的变化。我在读研究生的时候，尝试把二维空间的单叶原理推广到高维空间，得到了一些很美的猜想。我认为正曲率或负曲率可以作为复杂结构的方向。这个观点影响至今，可以追溯到19世纪和20世纪初对曲率和保角映射关系的研究。
事实上，爱因斯坦的广义相对论是通过比较不同种类的知识而成功创建的。是科学史上最伟大的思想，可以说是惊天动地的作品。它统一了经典的引力理论和狭义相对论。基于等效原理，爱因斯坦花了十年时间比较各种描述引力场的方法，巧妙地用几何张量表达引力场，彻底革新了时空概念。
与文献非常相似，从局部结构到大尺度结构的发展也是现代数学发展的过程，往往采用比较的方式处理。几何和数论都有这段历史。代数几何学家用爆炸的方式研究奇点，就像把全世界都集中在一点上。微分几何和广义相对论看到的奇点比代数流形更复杂，但也希望从局部出发，逐步了解整体结构。数论专家在研究局部结构时，用素数的模方法把算术流形变成有限域上的几何，然后与大范围的算术几何进行比较，得到丰富的结果。
因为作家对事物的感受不同，同一件事或同一件事可以产生不同的咏声。人们对事物产生不同的感受后，往往会以比较的方式来参考。比如“美”就有多重含义。除了指美女，也可以指君主。屈原《九章》说:“以言表情，以美妇人之夫正。”也可以指品德很好的人，《诗经》:“谁想入云里，谁就是西施。”苏轼《赤壁赋》:“望天之美。”
数学家也会对一些重要的定理提出很多不同的证明。比如勾股定理有十多种不同的证明，等周不等式有五六种证明，而高斯给出了数论对偶定律的六种不同观点。不同的证明让我们从不同的角度去理解同一个事实，往往会导致数学的不同发展。
我记得三十年前，在我证明了完备但不紧的正曲率空间具有无限体积之后，几何学家格罗莫夫一开始并不相信这个证明。后来他发现了我的证明方法的几何直观意义后，发展了他的几何理论。这两个不同的概念各有其重要性。
对于空间中的曲面，微分几何学家会问它的曲率。一些分析师希望沿着曲率方向推动它，看看发生了什么变化。代数几何学家可以考虑能否用多项式表示，数论学家会问上面有没有整数格点。这些主观感受是由我们的修养主导的。
第三，数学的评价与进化
江山代有才人出，能带领我们进入新境界的是好的数学。
好的工作应该是文已穷尽，意有余而力不足。数学文章大多质量很差，很流行，但也只是听说了两三年。但有创意的文章不一定好于时代，往往要十几年后才能看到成果。
我曾经用一种全新的方法研究调和函数，后来和几个朋友改进了这种方法，成为热方程的重要工具。一开始不被别人欣赏，直到最近五年大家才意识到它的潜力。但是我们还是坚持研究，觉得自己还未竟。
数学的华丽著作可以在泛函分析的广博知识中找到。虽然它们很美，很重要，但却总是脱离自然之道。比如从函数空间抽象出来的一个重要概念叫做Banach空间，它在微分方程中有非常重要的作用。但是以后很多数学家继续推广这种空间，比如有界算子是否有不变空间。真的很美，但是在数学流里并没有激起什么波澜。
经得起时间考验的工作少之又少，政府审核员要以此为首选。多年来，以文章数量和引用数量为导向，使得国内数学工作者的水平远不如人，不仅与自然隔绝，也很难看到华丽的文章。
数学和文学的演变有非常相似的变化。从平面几何到立体几何，再到微分几何等等。，一方面是工具的改进，另一方面是对自然有了更好的认识，需要在发挥出我们之前所知道的数学结构之美后，进入一个新的境界。江山代有才人出，能带领我们进入新境界的是好的数学。上面说的高维拓扑穷尽了，如果能结合微分几何，数学物理，算术几何，也能撬动。
当一个大问题没有解决的时候，我们往往会认为数学比这个更难。问题解决后，未来豁然开朗，看到比以前更明亮的火花，你会有不一样的感觉。科学家对自然的认识是渐进的，在不同的时空自然会有不同的感受。有些同学不知道创作的难度，连陈省身先生的名作都不屑一顾，认为自己更有学问，所以看不到自己。人有自知之明，才能进步。即如《庄子》所言:“今自悬崖而看海，方知其丑，必可与大理谈。”
有一次去德国哥廷根大学参观，看到了19世纪和20世纪伟大科学家的手稿。他们的传世作品只是他们作品的一部分，还有很多杰作尚未出版，这让我深感惭愧，也佩服他们的胸怀。而现代人则模仿很多，甚至对名著稍加改动，据为己有，尽快出版。或者申请院士，或者炫自己是学术大师，对古人来说算什么？
四、数学的意境和情怀
如何找到数学的灵魂，取决于我们的文化素养。
王国维在《人间词话》中说:“词以境界为上。若有境界，则自成一家。”所以他区分了“创造环境”和“书写环境”，“有我的环境”和“没有环境”。
当然，数学研究也有境界的概念，某种程度上也可以说有自我的境界