勾股定理的历史！急用！！

边的正方形。如图所示，我们

用钩(a)和弦(b)分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦(c)表示斜边，可以得到:钩2+弦2=弦2。

即:a2+b2=c2。这是几何学中最重要的定理，应用也很广泛。据中国古代数学名著《九章算术》记载，勾股定理是几千年前周朝的商高发现的，后来汉代的赵爽对其进行了注释。

因此，在我国，勾股定理也被称为“商高定理”。在西方国家，勾股定理被称为“毕达哥拉斯定理”，但是毕达哥拉斯|发现这个定理比我国的商要早得多。

晚了。

在中国最早的数学著作《周并行算经》的开头，有一段周公向商高请教数学知识的对话:

周公问:“听说你很精通数学。请问:天上没有梯子可以上去，地上没有尺子可以丈量。那么如何才能得到关于天地的数据呢？”

商高答:“数来自于对方和圈子的了解。”有一个原理:当一个直角三角形的矩得到的一个直角边‘钩’等于3，另一个直角边‘弦’等于4时，那么它的斜边‘弦’一定是5。这个道理是大禹治水的时候总结出来的。"

从上面的对话中，我们可以清楚地看到，中国古代的人们在几千年前就已经发现并应用了数学的重要原理——勾股定理。[返回]

有趣的勾股定理

希腊在1955发行了一枚邮票，图案由三个棋盘组成。这枚邮票纪念2500年前希腊的一所学校和宗教团体毕达哥拉斯学派，它的建立及其文化贡献。邮票上的图案是对数学中一个非常重要的定理的解释。它是初等几何中最精彩、最著名、最有用的定理。在我国，人们称之为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称之为毕达哥拉斯定理。

勾股定理断言，直角三角形斜边的平方等于其他两条边的平方之和。如果要找一个定理，它的出现堪称数学发展史上的里程碑，那么勾股定理堪称不二之选。但是，如果人们想研究这个定理的起源，往往会感到困惑。因为在欧洲，人们把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但是，通过对20世纪美索不达米亚出土的楔形文字泥板的研究，发现古巴比伦人比毕达哥拉斯早一千多年就知道这个定理。在中国西汉或更早的天文年历中，第一章描述了商鞅和周公·姬旦在西周建立时期(约公元前1000年)的问答。周公问商高:“天不能梯级升，地不能寸量。”天空和地面高度的一些测量数字是如何获得的？商高答:“故折之矩以为三，四，五。”也就是我们常说的勾三、分四、串五。《周历》中也记载:周历长八尺，夏日晷长一尺六寸。胡子，股票，直立，钩。正南一千英里，一英尺五英寸，正北一千英里，一英尺七英寸。南方越来越长。等六尺，即取竹，通一寸八尺长，捉一影观之，室遮日，日应空。从这个角度来看，速率是80英寸，直径是80英寸。所以，钩子是头，小胡子是股。从小胡子到太阳，是六万里，没有影子。从此就是八万里。

这段话描述了中国古代人如何在科学中运用勾股定理进行实践。钱伟长教授对这段话做了详细的解释:“...商高、等人用一根竖杆(即周燮)测量太阳的影子，然后用毕达哥拉斯方法计算太阳的高度。周谢身高八英尺。在濠江(今Xi安附近)，夏季至日上的太阳影子长一英尺六英寸，正南方向长一英尺五英寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先们通过测量太阳的影子，巧妙地计算出夏季至日上太阳离地面的倾角，同样地，也测量了冬季至日上太阳的倾角。我们还拿了一根直径一英寸、长八英尺的空心竹筒，用它来观察太阳。我们的祖先发现太阳的圆形阴影正好充满了竹筒的视线，于是根据太阳的斜高和毕达哥拉斯原理计算出太阳的直径。虽然这些测得的数据非常粗糙，与实际情况相差甚远，但我们应该学习早在3000年前这样一位天才的创造和实际观察精神。“因此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全合理的。

但是欧洲人把这个定理叫做毕达哥拉斯定理，他们也有自己的看法。因为毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的一员，首先给出了这个定理的逻辑证明。虽然毕达哥拉斯有很多突出的证明，比如用归谬法证明√2不是有理数，但最著名的还是证明了毕达哥拉斯定理。传说当他得到这个定理时，非常高兴，杀了一头牛作为对神灵的祭品。有历史学家说是一百头牛，太贵了！

勾股定理是数学中证明方法最多的定理——有400多种解释！希腊邮票上展示的证明方法最早记录在欧几里得的《几何原本》中。

汉代数学家赵在注释《周代并行计算经》时，附了一张图证明勾股定理。这个证明是对400多个勾股定理最简单、最巧妙的解释。你能搞清楚赵老师是怎么证明这个定理的吗？(提示:考虑黑边正方形的面积计算)[返回]

卓越的勾股定理

以课本上介绍的勾股定理为基础，通过互联网进一步了解勾股定理的发现、证明和应用。从生动的数学史料中，我们知道中国在古代有着灿烂的文化，在数学领域形成了灿烂的数学文化，至少有二三十项数学成果，如勾股定理，一度在世界上处于领先地位。

首先，最早的一部中国著名的十大计算名著《周快·舒静》。书中记载“苟光三，顾，吴”作为勾股定理的特例，这为勾股定理的形成做了准备。《每周平行计算经典》中对勾股定理有更精彩的描述:“若向太阳求恶，以太阳为钩，太阳成集，钩与股分别相乘，得恶至日。”一般的勾股定理已经涉及到了。用公式表示就是弦(邪对太阳)等于钩的平方加上股的平方的平方和。可见中国已经自主发现了勾股定理。

其次，从勾股定理的证明方法中，我们受到了有效的爱国主义教育。本章教材介绍了三种证明，“让我们开阔眼界，感受一下中国古代数学家赵爽用勾股方图证明勾股定理(P225，12)是多么巧妙和简单。”根据弦图，我们可以把毕达哥拉斯乘成朱轼尔，再加倍成朱轼斯。以毕达哥拉斯之差为中间黄色立体，加上差，成为弦立体。“用公式写出来:2ab+(b-a) 2 = C2+B2 = C2。把几何知识和代数知识结合起来，可谓“独创”。在中国古代，这是多么新奇奇妙的数学方法啊！如今，世界上还有许多数学难题，等待我们去攻克和填补，用我们的勤奋和智慧去摘下数学的珍珠。

通过这些生动的数字史料的介绍，我们的学习热情一下子高涨起来，我们都为自己的祖国有如此辉煌的成就感到骄傲和自豪！爱国热情油然而生！这不仅使我们受到爱国主义教育，也使我们从生动的史料中更深刻地理解了勾股定理。

数学哲学、数学史和数学教学的有机结合已成为当今世界的热点问题。

在研究勾股定理和网上查资料的过程中，我们也想到了中国古代的祖冲之，得到了л的近似值，精确到小数点后第七位，领先世界1000多年。刘徽的割图术，首创的“广求术”和“杨辉三角”，以及华、苏、陈景润等当代著名数学家的丰功伟绩和为国争光的爱国情怀。[返回]

中国古代数学家证明了勾股定理

中国古代的数学家不仅很早就发现并应用了勾股定理，而且很早就试图从理论上证明勾股定理。三国时期吴国的数学家赵爽最先证明了勾股定理。赵爽创造了“勾股方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明。在这幅“毕达哥拉斯正方形图”中，以弦为边长的正方形ABDE是由四个相等的直角三角形加上中间的小正方形组成的。每个直角三角形的面积是AB/2；如果一个小正方形的边长是b-a，面积就是(b-a)2。那么可以得到下面的公式:

4×(ab/2)+(b-a)2=c2，简化后可得:

A2+b2=c2，即c=(a2+b2)(1/2)。

赵爽的证明很独特，很有新意。他用几何图形的切、割、拼、补来证明代数表达式之间的恒等式关系，既严谨又直观，为中国古代独树一帜的以形证数、以形统数、代数和几何紧密结合、不可分割的风格树立了典范。后来的数学家大多继承了这种风格，并代代发展。比如刘徽后来用形证数的方法证明了勾股定理，但具体数字的除法、组合、位移、补数略有不同。中国古代数学家对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上有着独特的贡献和地位。特别是其中体现的“形数统一”的思维方法，对科学创新具有重要意义。

图2毕达哥拉斯平方图事实上，“形数统一”的思维方法是数学发展的一个极其重要的条件。正如中国当代数学家吴文俊所说，“在中国传统数学中，量与空间形式的关系往往是并肩发展的...笛卡尔在17世纪发明解析几何，是中国传统思想和方法在停顿了几百年后的再现和延续。”[返回]

美国总统巧妙地证明了勾股定理

学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中的一个重要定理，应用非常广泛。到目前为止，证明勾股定理的方法有500多种。其中，美国第二十任总统加菲尔德在数学史上就有过故事。

为什么总统会想到证明勾股定理？他是数学家还是数学爱好者？答案是否定的。故事是这样的。

1876一个周末的傍晚，在华盛顿特区的郊外，一个中年人正在散步，欣赏着傍晚的美景。他就是当时美国俄亥俄州的共和党众议员加菲尔德。走着走着，他突然发现附近的小石凳上有两个孩子在谈论着什么，时而大声争吵，时而低声讨论。好奇心驱使加菲猫循着声音找到了两个孩子。我想知道这两个孩子在干什么。只见一个小男孩俯下身，用树枝在地上画了一个直角三角形。所以加菲尔德问他们在做什么。只见小男孩头也不抬地说:“请问先生，如果一个直角三角形的两个直角分别是3和4，那么斜边的长度是多少？”加菲猫回答:“是5。”小男孩又问:“如果两个直角分别是5°和7°，那么这个直角三角形的斜边的长度是多少？”加菲尔德不假思索地回答:“斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩补充道:“先生，你能说实话吗？”加菲猫无言以对，无法解释，心理很不好。

于是加菲猫停止行走，立即回家讨论小男孩留下的问题。经过反复思考和计算，他终于想通了道理，并给出了简明的证明方法。

他是这样分析的，如图:

4月1876日，加菲尔德在《新英格兰教育杂志》上发表了他对勾股定理的证明。

1881年，加菲尔德成为美国第二十任总统。后来，为了纪念他对勾股定理直观、简单、易懂、清晰的证明，人们把这个证明称为“总统”。证明方法。

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逆定理的推广

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从勾股定理到费马大定理

中国科学院应用数学研究所副所长曹道民

很多三十多岁的人都听说过哥德巴赫猜想，因为中国的数学家在这个猜想上做出了杰出的贡献，尤其是陈景润的结果还是最好的。陈景润的事迹在上世纪80年代在全国广为流传，影响了当时很多年轻人。现在四十多岁从事数学研究的人，包括我自己，都受到影响，走上了科研之路。

如果有人问上个世纪数学最重要的成果是什么，相信很多人会说费马大定理。这个悬了350多年、比哥德巴赫猜想更著名的谜题，在1995年被英国数学家怀尔斯彻底解开。1996年3月，威尔斯被授予沃尔夫奖。

首先，我们来介绍一下费马大定理。

学过平面几何的人都知道，如果A和B是直角三角形的直角的两条边，那么斜边的边长c和A、B满足关系式c2 = a2+b2。中国称之为“商高定理”，是因为在古代数学著作《周快舒静》中记载，古代数学家商高讲过这种关系。更一般的，也叫勾股定理。这是因为《周易Suan经》中记载了“钩三、股四、弦五”，并明确论述了它们与直角三角形的关系。后续作品中还有其他毕达哥拉斯数。比如《九章算术》中有(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)七组数。在西方，上述公式被称为毕达哥拉斯定理，因为西方的数学和科学起源于古希腊，而古希腊做出的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而这些定理中有很多自然落在了毕达哥拉斯身上，要知道毕达哥拉斯被视为“数论之祖”。

如果勾股定理c2 = a2+b2中的A、B、C的未知数是第一个不定方程(即未知数的个数多于方程的个数)，并且是第一个得到完全解的不定方程，那么一方面导致了各种不定方程，另一方面也树立了求解不定方程的范式。

皮耶·德·费玛(1601-1665)，法国人，学法律，从事律师职业，但对数学感兴趣。他经常在业余时间阅读数学书籍，并自己做一些数学研究。在读希腊数学家狄奥芬托斯的《算术》一书时，讨论了求x2+y2 = z2的通解问题。在书的空白处，他用笔写下了自己的体会:“反过来说，不可能把一个立方数拆分成两个立方数之和，也不可能把一个平方数拆分成两个平方数之和。更一般地说，任何大于二的平方数都不能被分成两个相同平方数的和。我找到了一个很精彩的证明，但是空白太小，写不下整个证明。”用数学语言表达，费马的结论是:

当n≥3时，xn+yn = zn没有正整数解。

人们不相信费马找到了这个结论的证明，或者像成千上万的后人一样，认为自己证明了但实际上错了，因为很多著名的数学家试图证明，但都以失败告终。但是，费马确实创造了无限下降法，证明了n = 4。n = 3的情况是Leonard Euler(1707-1783)在1753中给出的。实际上在19世纪初只证明了n = 3和n = 4两种情况。n = 5的情况在半个多世纪后才第一次被完全证明，直到1823到1825。费马大定理是当时数学家面临的最大挑战。为了表示学术界对它的重视，法国科学院在1816首次设立了费马大定理大奖。很多伟大的数学家，包括当时最顶尖的数学家，法国的高斯，法国的柯西，都热衷于这个问题。

在早期试图解决费马大定理的英雄中，有一位女英雄，德国的索菲·热尔曼(1776-1831)。她小时候是个很害羞很胆小的女孩，自学数学看书。因为当时女姓在数学上受到歧视，所以她用一个男性笔名与一些伟大的数学家通信，包括高斯和勒让德。她的才华让这些一流的数学家感到惊讶。

现在让我们回头看看勾股定理。

a2 + b2 = c2

如果我们除以等式两边的c2，我们得到

= 1

设= x，= y，则求满足a2+b2 = c2的正整数A，B，C，等价地求有理数x，y，使得(x，y)满足x2 +y2 = 1。(x，y)可以看作平面上单位图上的一点，x和y都是有理数的点(x，y)称为有理点。这样就可以把勾股定理得到的方程是否有正整数解成平面上单位圆上是否有有理点。同样，xn+yn = zn是否有正整数解等价于平面上的曲线xn+yn =1上是否有有理点。我们称方程xn+yn =1定义的曲线为费马曲线。

在中学数学中，我们有一些关于平面代数曲线的知识，在解析几何中，我们对二次曲线进行了完整的分类。平面上的二次代数曲线是

椭圆:；

双曲线:，或；

抛物线:

代数几何在解决费马大定理中起到了非常重要的作用。代数几何是解析几何的自然延续。在解析几何中，我们用坐标法通过方程来表示曲线和曲面。通常我们只研究线性和二次曲线，即直线、椭圆、双曲线和抛物线。三次和三次曲线一般不会仔细研究。

代数几何和解析几何的一个主要区别是，解析几何对曲线曲面的分类是按度数进行的，而代数几何对代数曲线的分类是通过一个双有理变换不变量——亏格。通过亏格G，所有的代数曲线可以分为三类:

G=0:直线、椭圆、圆锥曲线；

G=1:椭圆曲线；

其他曲线，尤其是费马曲线。

费马曲线的亏格是英国数学家莫德尔在1929年提出的著名猜想，即亏格的代数曲线上只有有限个数的点。在1929中，Siegel证明了亏格的代数曲线上只有有限个整数点。

当然，有理数的个数比小时数多得多。

1983年，德国数学家费尔汀斯证明了莫德尔猜想。他的证明使用了许多数学家的结果。他的结果被认为是上个世纪的一个伟大定理，为此他获得了1986的菲尔兹奖。从莫德尔猜想出发，我们推导出如果xn+yn = zn有互质的非平凡正整数解，那么解的个数只有有限个。希斯-布朗利用莫德尔猜想证明费马大定理对几乎所有的素数都成立。

因为莫德尔猜想的证明，数学家们看到了一系列猜想最终可以导致费马大定理的证明。

1983年，Lucien Szpiro提出了Spiro猜想，并证明了可以从Spiro猜想推导出来，费马大定理对足够大的指数成立。1985年，他和D.W.Masser提出了一系列等价猜想，其中一个叫做abc猜想，由此可以推出Spiro猜想。1987年，斯皮罗提出了一系列猜想，从中也可以推导出斯皮罗猜想。这些猜想似乎更容易启动，但至今没有一个被证明。

1987中，塞尔提出了一些更强的猜想，称为塞尔强(弱)猜想。不仅可以从中推导出费马大定理，还可以推导出很多其他猜想，但这条路最后还是失败了。

1971年，勒瓜第一个把椭圆曲线和费马大定理联系起来，但是格哈德·弗莱迪是第一个把方向转到正确轨道的人。在1985中，Frey证明了如果费马方程(一个不小于5的素数)有非零解(即可以设计一条椭圆曲线，可以假设它是互质的非零整数，显然它是有理数域上的椭圆曲线。

日本数学家谷山丰(1927—1958)在1955年召开的会议上研究了椭圆曲线的参数化。一条曲线的参数化对于曲线的表示和曲线性质的研究是很有帮助的，这一点我们在中学学习解析几何的时候已经看到了。椭圆曲线是三次曲线，也可以用一些函数来表示。但如果参数表示中用到的函数可以是模形式的(模函数是上半复平面上处处为亚纯函数的一种，模形式是模函数的推广)，那么我们称之为模曲线。模量曲线具有良好的性质。我们希望任何椭圆曲线都是模曲线，这是市村谷山的猜想。此后，数学家们把证明费马大定理变成了证明谷山一村猜想对某一类椭圆曲线成立。

正是沿着这条道路，英国数学家威尔斯经过7年漫长的探索，终于在1993年6月取得了突破。最后，费马大定理在1995年被完全证明。

作为本文的结尾，给数学爱好者一些建议:数学中有一些看似简单的结论，比如哥德巴赫猜想、费马大定理等，证明起来非常困难。很多数学爱好者以为有了好的“灵感”，就可以用初等的数学方法或者很少的数学工具解决世界难题，结果白白浪费了很多宝贵的时间。最近经常在报纸和网上看到XXX解决了XXX的问题，媒体一些不负责任的报道可能会误导一些数学爱好者。让读者了解费马大定理的求解过程，希望数学爱好者不要盲目求解世界难题，这也是本文的初衷之一。如果你真的热爱数学，决心解决数学问题，那就先学习某个专业的基础知识，了解这个问题的国际研究动态，了解前人的工作，再进行自己的研究。

本文的写作参考了胡作宣教授的《从毕达哥拉斯到费尔马》和《三百五十年之旅——从费尔马到威尔斯》，在此表示感谢。由于我的专业不是数论，所以我很可能在文章中出错。请指正。想了解更多的读者可以看看胡作轩教授的这两本书。)

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勾股定理的应用

勾股定理是初中数学中的重要定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，可以解决许多直角三角形的计算和证明问题，是解决直角三角形问题的主要依据之一，在生产生活中有很大的用处。因此，它是初中数学应该重视和必须解决的问题，我们应该对它有深刻的理解和广泛的认识。

一、重视初始学习，了解定理发现的历史，激发学习兴趣。

在最初的学习中，根据教材内容和中国数学发展史，了解了中国古代勾股定理研究的成就，激发了热爱祖国悠久文化的思想感情，培养了民族自豪感。同时结合当今世界上许多科学实例，激发了我们学习数学的兴趣，激励自己努力工作，刻苦学习，为将来肩负起振兴中华的重任打下了坚实的基础。

例1当今世界上许多科学家都在努力寻找其他星球上的“人”，并向宇宙发出了许多信号，如人类的语言、音乐、各种图形等。据说，中国著名数学家华曾建议推出勾股定理的图形。如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会懂这种“语言”。你认为这可能吗？

二、注重定理结构的分析，正确理解和应用定理。

在学习勾股定理之前，虽然我们已经有了一些直角三角形、命题等基础知识，但是在理解勾股定理之后，不仅要分析定理结构，使自己正确理解，还要应用定理或其简单变形准确解题，并推广到课外。

例2试着把命题“直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方”改写成“如果……，那么……”。

例3求边长为a的等边三角形的高度.

要求

(1)AD的长度。

(2)△Abd的面积。

例证2旨在使我们清楚勾股定理的主题和结论，以便正确应用。

画完图，很明显可以直接应用勾股定理求解。

例4需要利用勾股定理的简单变形b2=c2-a2进行计算。

第三，及时改进，灵活应用定理

在勾股定理应用的研究过程中，我们可以选择一个稍微难一点的例子来训练我们应用定理的灵活性。

例5如图2所示，AD是△ABC的BC边上的高度。

验证:AB2+CD2=AC2+BD2

说明在分析这个问题时，首先要考虑图中有两个有共同边的直角三角形——△ABD和△ACD，四条线段AB、CD、AC、BD都是正方形的形式，它们分别是△ABD和△ACD的斜边和直角边。显然，我们应该想到应用勾股定理，把同一个直角三角形的相关边集合在一起。因此，

第四，注重定理应用后的探索和学习，及时对定理的应用赋予新的方法。

应用了明确认识的证明后，不仅有利于培养我们分析问题的能力和创造力，而且使勾股定理的应用反响无穷。

例6在△ABC，∠ c = 90，验证sin2A+sin2B=1。

说明在解直角三角形时，如果已知其三条边中的两条，就可以用勾股定理求出第三条边的长度。解决问题后不难发现，将勾股定理与锐角三角函数相结合，可以证明sin2A+sin2B=1。

实施例7如图3所示。在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的任意一点。证明:AB 2-Ad2 = BD DC。

说明虽然这个例子和例5一样不满足勾股定理的条件，但是如果结合这个例子的结论进一步研究例5的证明方法，不难发现这个例子也符合勾股定理(如果BD DC = m2，待证明的公式为AB2-AD2 =m2)。

分析这个问题时，要考虑验证结论中线段的平方的形式，可以用勾股定理。但是因为图中没有直角三角形，所以我们需要加一条垂直线来构造直角三角形。因为验证中有AB2和AD2，我们必须用AB和AD组成直角三角形，所以我们需要使AE⊥BC在e .如图3所示，我们可以从勾股定理推导出:

如何从BE2-ED2推出BD DC？这需要使用平方差公式

BE2-ED2=(BE+ED)(BE-ED)，

并且BE+ED=BD，

从等腰三角形的性质可以知道BE=CE，进而可以推导出BE-DE=CD。

所以be2-ed2 = BD DC，所以问题被证明了。

第五，将定理及其逆定理结合起来，加深对定理的理解和应用

勾股定理及其逆定理反映了性质定理和判断定理之间的关系。正确区分勾股定理及其逆定理，可以进一步加深我们对直角三角形的性质和判定关系的理解。在学习和研究的过程中，什么时候用定理，什么时候用逆定理，特别是勾股定理的应用，不仅可以加深我们对勾股定理的理解，还可以开阔我们的视野，拓宽我们的知识面，理解数学中的各种方法。

例8中设n为自然数，证明以2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1为边的三角形为直角三角形。

说明性示例8主要将勾股定理三角化为a2+b2=c2的形式。

例9要根据勾股定理来分析，才能得到实践。

第六，探索定理的证明，拓宽定理的应用。

目前世界上证明勾股定理的方法有上百种。勾股定理虽然在课本上得到了证明，但在研究的过程中，如果能根据自己的能力，适当地理解和学习一些课本之外的证明，不仅有利于定理的应用和理解，还能使我们找到解决问题的新途径，培养我们的创造性思维能力。

例10下面是用分图证明勾股定理的方法。试根据所给图形说明如何证明勾股定理。可以设计其他除法证明勾股定理吗？

注:例题10的学习不仅使我们掌握了多种证明问题的方法，培养了我们的思维能力，而且丰富了研究数学问题的方法和手段。

勾股定理作为几何中一个重要而著名的定理，不仅在数学中有广泛的应用，在其他自然科学中也有广泛的应用[回]