数学物理研究史

对问题的研究从来都是和数学密切相关的。作为现代物理学的起点，质点和刚体的运动都是用常微分方程来描述的，求解这些方程就成了牛顿力学中一个重要的数学问题。这种研究延续至今。比如天体力学中的三体和各种经典动力系统都是长期的研究对象。18世纪，牛顿力学的基础开始用变分原理描述，推动了变分法的发展，后来很多物理理论都以变分原理作为自己的基础。18世纪以来，在连续介质力学、传热学、电磁场理论中总结出许多偏微分方程，统称为数学物理方程(包括具有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。

直到20世纪初，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。此后，联系等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术和核技术的需要，出现了许多新的偏微分方程问题，如孤立小波、间断解、分歧解、反问题等。它们进一步丰富了数学和物理方程的内容。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析乃至微分几何、代数几何都是研究数学物理方程的有效工具。

20世纪以来，由于物理学内容的更新，数学物理呈现出新的面貌。随着电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观发生了根本性的变化，使得闵可夫斯基空间和黎曼空间(现代意义上的洛伦兹流形)的几何成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论的必要数学理论。许多物理量用矢量、张量和旋量来表示。讨论大尺度时空结构时也需要全局微分几何。

量子力学和量子场论的出现丰富了数学物理。在量子力学中，物质的状态用波函数描述，物理量变成算符，测得的物理量就是算符的谱。在量子场论中，波函数被再次量子化为算符，描述了电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中粒子的产生和消灭。因此，有必要研究算子谱、函数的谱分析以及算子在各种函数空间中形成的代数。同时要研究微扰展开和重整化(处理发散困难)的数学基础。此外，用非微扰方法研究非线性场论也是一个值得注意的课题。物理对象中揭示的各种对称性使群论非常有用。晶体结构由欧几里得空间运动群的几个子群给出。正交群和Lorenz群的各种表示在讨论许多具有时空对称性的物理问题中起着重要的作用。基本粒子之间也有各种各样的对称性，根据群论可以阐明它们之间的一些关系。对基本粒子内部对称性的研究导致了杨-米尔斯理论的出现。在粒子物理中具有重要意义，统一了弱相互作用和电磁相互作用理论，为研究强子结构提供了工具。这个理论是基于规范势的，是数学家研究的纤维束上的联系(这是现代微分几何中一个非常重要的概念)。关于纤维束的拓扑不变量也开始在物理学中发挥作用。

微观物理对象往往是随机的。在经典统计物理中，需要深入研究各种随机过程的统计规律。