数学史上的重大事件
原因
毕达哥拉斯学派认为“数”是万物的起源和起始基础，宇宙中的一切现象都可以归结为整数或整数的比值。在希帕索斯悖论发现之前，人们只认识自然数和有理数，有理数理论成为占主导地位的数学规范。希帕索斯发现的无理数暴露了原始数学规范的局限性。从这个角度来看，希帕索斯悖论是主观认识上的错误造成的。
经过
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派成员希帕索斯(约公元前470年。c)，发现等腰直角三角形的斜边和直角边是不可公度的，它们的比值不能归结为一个整数或整数的比值。这一发现不仅严重违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的普遍看法，因此直接导致了当时的认识“危机”。希帕索斯的发现被称为历史上的“希帕索斯悖论”，引发了数学史上的第一次危机。
影响
00 hippasus的发现促使人们进一步认识和理解无理数。但是，基于生产和科技的发展水平，古希腊的毕达哥拉斯学派和后来的数学家没有也不可能建立严格的无理数理论。他们基本上对无理数问题采取了回避的态度，放弃了对数的算术处理，代之以几何处理，从而开始了几何优先发展的时期。在接下来的两千年里，希腊几何几乎成为了所有数学的基础。当然，这种将整个数学与几何捆绑在一起的狭隘做法也对数学的发展产生了负面影响。
00希帕苏斯的发现表明，直觉和经验不一定可靠，但推理和证明是可靠的，从而导致亚里士多德逻辑体系和欧几里得几何体系的建立。
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第二次数学危机
原因
17世纪末，牛顿和莱布尼茨创立的微积分理论被应用于实践中的第二次数学危机，大多数数学家都深信这一理论的可靠性。但当时的微积分理论主要是建立在无穷小分析的基础上，后来被证明包含逻辑矛盾。
经过
001734年，英国大主教贝克勒出版了《分析学者》，或《致一位不信的数学家》。其中，现代分析的对象、原理和推论是否比宗教的神秘和教条在概念上更清晰或在推理上更明显，严厉地批判了当时的微积分理论。他说牛顿先是认为无穷小不为零，然后使其等于零，这违反了二律背反，得到的流数其实是0/0，这是因为“你靠双重错误得到了正确的结果虽然不科学”，因为错误是互相补偿的。数学史上称之为“贝克勒悖论”。这个悖论的发现在当时引起了一些混乱，导致了数学史上的第二次危机，以及200多年的微积分基础理论的争论。
贝克勒对无穷小的攻击旨在论证宗教神学，但作为“贝克勒悖论”本身，这是一个思维方法的问题。因为数学要按照形式逻辑的不矛盾规律来思考，不能在同一个思考过程中承认不等于零和等于零。但事物的运动以其终点为极限，运动的结果在量上等于零，在起点上不等于零。这是事物运动的两个方面，不应该包含在同一个思维过程中。如果把它们机械地联系起来，必然会导致思维上的悖论。贝克勒悖论的成因在于无穷小量的辩证性质与数学方法的形式特征之间的矛盾。
影响
00第二次数学危机的产物——分析基础理论的严密性和集合论的建立。
00年“贝克勒悖论”提出后，许多著名数学家从不同角度进行研究和探索，试图在可靠的基础上重新建立微积分。法国数学家柯西是数学分析的大师。通过《分析教程》(1821)、《无穷小计算讲座》(1823)、《无穷小计算在几何中的应用》(1826)等著作，柯西建立了一个现代极限本位的社会。但是柯西的系统仍然需要改进。比如他关于极限的语言还是模糊的，靠的是运动和几何直观的东西；缺乏实数理论。德国数学家维尔斯特拉斯是数学分析基础的主要创始人之一。他改进了波尔扎诺、阿贝尔和柯西的方法，首次用“ε-δ”方法描述了微积分中的极限、连续、导数、积分等一系列重要概念，建立了该学科的严格体系。微积分中“ε-δ”方法的提出和应用标志着微积分运算的完成。为了建立极限理论的基本定理，许多数学家开始给无理数下严格的定义。在1860中，Weierstrass提出用增加有界数列来定义无理数；1872戴德金提出用除法定义无理数。1883年，康托尔提出用基本数列定义无理数；等一下。这些定义从不同方面深刻揭示了无理数的本质，从而建立了严格的实数理论，彻底消除了希帕索斯悖论，在严格的实数理论基础上建立了极限理论，进而导致了集合论的诞生。
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第三次数学危机
原因
00维尔斯特拉斯通过排除无穷小解决了贝克勒悖论，但到了60年代，罗宾逊又把无穷小请了回来，引入了超实数的概念，从而建立了非标准分析，这种分析也可以精确地描述微积分，从而解决了贝克勒悖论。但必须注意的是，贝克勒悖论只是在相对意义上得到了解决，因为实数理论的不矛盾归结为集合论的不矛盾，至今没有完全解决。
经过
在第一次和第二次数学危机之后，人们把数学基础理论的不矛盾归结为第三次数学危机理论的不矛盾。集合论已经成为整个现代数学的逻辑基础，数学的宏伟大厦就此建成。似乎集合论并不矛盾，严格数学的目标也差不多达到了，数学家们也几乎为这个成绩沾沾自喜。法国著名数学家庞加莱(1854-1912)在1900年巴黎举行的国际数学家大会上吹嘘说:“现在可以说已经达到了(数学)的绝对严谨性”。然而，不到两年后，英国著名数学逻辑学家、哲学家罗素(1872-1970)宣布了一个惊人的消息:集合论是自相矛盾的，没有绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素将这一悖论推广，成为巴伯悖论。罗素悖论的发现，无异于晴天破雾，把人从梦中惊醒。罗素悖论和集合论中的其他悖论深入到集合论的理论基础，从而从根本上危及整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑领域引起了轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。
集合论悖论的原因在于集合的辩证性质与数学方法或形而上学思维方法的形式特征之间的矛盾。比如罗素悖论的成因就在于泛化原理的任意性和生成集客观规则的非任意性之间的矛盾。
影响
第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展和一批现代数学的出现。
数学家们为解决第三次数学危机做出了不同的努力。由于出发点不同，解决问题的方式不同，本世纪初形成了不同的数学哲学流派，分别是以罗素为首的逻辑主义学派，以布劳威尔(1881-1966)为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三个学派的形成和发展，把数学基础理论的研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成就首先表现在数理逻辑及其现代分支证明理论的形成。
00为了消除集合论的悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了集合论的第一个公理系统，经过弗伦克尔的修改和补充，得到了策梅罗-弗伦克尔集合论的常用公理系统，再经过伯奈斯和哥德尔的进一步改进和简化，得到了伯奈斯-哥德尔集合论的公理系统。希尔伯特也建立了元数学。哥德尔不完全性定理是集合论悖论研究的直接结果。
美国杰出的数学家哥德尔在20世纪30年代提出了不完全性定理。他指出，一个包含逻辑和初等数论的形式系统如果协调起来就是不完整的，即在这个系统中不能成立任何矛盾；如果初等算术系统是和谐的，那么就不可能证明算术系统是和谐的。哥德尔的不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义体系的局限性，并从数学上证明了试图用形式主义技术一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。事实上，它告诉人们，任何试图为数学寻找一个绝对可靠的基础，从而完全避免悖论的尝试都是徒劳的。哥德尔定理是数理逻辑、人工智能和集合论的基石，是数学史上的里程碑。美国著名数学家冯·诺依曼说:“哥德尔在现代逻辑方面的成就是非凡的、不朽的——它甚至比纪念碑更不朽。它是一座里程碑，是一座丰碑，将永远存在于看得见的地方，存在于可预见的未来。”
00今天，第三次数学危机还不能说已经从根本上消除，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还没有从根本上解决。但是，人们正在逐渐接近根本解决的目标。可以预料，在这个过程中会产生许多新的重要成果。
发现、提出和研究悖论对于数学基础、逻辑学和哲学都具有重要意义。正如Taskey (1901-)所指出的:“必须强调的是，在建立现代演绎科学的基础上，悖论占有特别重要的地位。正如集合论的悖论，尤其是罗素悖论成为逻辑和数学相容性形式化的起点一样，骗子悖论及其语义悖论导致了理论语义学的发展。”
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