结构图能解决的问题的特点。
[关键词]数学思维解题方法建构方法
在数学学习中，如何寻找解题方法是经常遇到的一个重要问题。解决一些复杂的问题，往往需要通过对已有知识和方法的分解、组合、交换、类比、限制、推广等方式进行再创造思维，构造新的公式或图形来帮助解决问题，这就是所谓的构造法。
古希腊数学家欧几里得不仅是欧几里得几何的创始人，也是数学构造方法的创始人。在《几何原本》中，他巧妙地用构造法首次证明了数论中以他命名的基本定理“素数的个数是无穷的”。历史上许多数学家，如高斯、欧拉、拉格朗日等人，都曾利用构造法成功地解决过数学问题。构造法解题的巧妙方法是通过构造一个与原问题相关的辅助问题来解决原问题。如果辅助问题比原问题更简单、更直观，这种思维方法就成功了。下面举例说明构造法在中职数学解题中的具体应用。
首先，构建命题
当某些命题难以论证时，我们可以通过构造它们的等价命题、引理或辅助命题来解决问题。
1.构造等价命题。
例1:证明:面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形覆盖。
解析:该命题用简洁的数学语言表述为“如果S△PQR=1，SABCD
证明过P为AD的平行线在N和M处与AB和CD相交(如图1)。显然:
S△PQK≤ S？ANMD，
S△PPK≤ S？钱，所以:
S△PQK+S△PPK≤ S？ABCD，即
S△PQK≤ S？AcceleratedBusinessCollectionandDelivery（美国邮局采用的）加快收寄投递系统
2.构造辅助命题。
例2:已知
解析:此题是为了证明上述两个不等式同时成立。
即“和”，
证明不等式￠成立，可以转化为证明以下辅助命题全部为真:×b1=a1，×b2=a2，×bn=an，已知且易知，上述辅助不等式全部成立，则证明原不等式成立。
证明:∫…，(所有字母都是正数)
∴×b1=a1，×B2 \u a2，…，×bn \u an .
将上述不等式相加得到:
(b 1+B2+…+bn)﹤a 1+a2+…+an，
∴﹤
同样的道理也可以证明:﹨，所以原不等式成立。
3.结构引理。
例3:设椭圆方程为+=1，求其中心轨迹关于点M (-1，1)对称图形的轨迹方程。
引理:已知曲线方程f(x，y)，关于点M(x0，y0)对称的曲线方程为f(2x0-x，2y0-y)=0(证明略)。
解法:设椭圆的圆心为(x，y)。根据问题的意思，有
x=2t
y=-t2
消除参数的椭圆中心轨迹方程为:
f(x，y)=x2+4y=0
根据引理，其关于m (-1，1)对称图的轨迹方程为f(-2-x，2-y)=0，
即:(-2-x)2+4(2-y)=0，
换算成:(x+2)2=4(2-y)就是弹道方程。
例4:过点A (1，2)的直线L与双曲线x2- =1相交于两点p1，p2，求线段p1p2中点P的轨迹方程。
引理:通过不动点P(x0，y0)的运动直线L与二次曲线C: f (x，y)=0相交的弦的中点轨迹方程为:
F(x，y)=F'(x0，y0)(x，y)，(证明略)。
解:根据引理，点P的轨迹方程为:
x2- -1=2x- -1
得出2x2-y2-4x+y=0为轨迹方程。
第二，结构模型
在解决数学问题时，如果条件或结论与我们以前学过的定理、公式、恒等式相似，可以借助定理、公式、恒等式，通过联想、类比来解决问题。这种方法被称为模式构造。有一些结论(如公式、不等式等。)在数学中，可以作为“模型”来解决其他有类似“形状”的数学问题，而三角恒等式就是一个应用广泛的模型。
例5:求函数y=的值域。
解析:借用著名的柯西不等式作为“模型”；
(艾比)2≤( ai2)( bi2)
等号成立当且仅当= = … =。
“众数”的特点是艾比分为ai和bi的平方和，“一个括号”转换为“两个括号”(反之亦然)。
求y2的范围，尝试sin2x和cos2x的组合。
改写y=(1-y)sinx+(3-2y)cosx，
根据柯西不等式有:
y2≤[(1-y)2+(3-2y)2](sin2x-cos2x):
2y2-7y+5≥0，y≤1或y≥
第三，特殊案例的构建
在解决“至多”(或“至少”)“存在”问题时，往往可以构造一个特例(特殊值或代数表达式)来解决问题。
例5:设一列数AI (I = 1，2，…，n)，其中任意三个连续项之和为正，任意五个连续项之和为负。验证:n≤6。
证明逆设n≥7时原命题成立，取决于七个数的情况。如果证明了七个数，则证明是n & gt7点，命题不成立。构建以下排列表:
a1，a2，a3
a2、a3、a4
a3、a4、a5
a4、a5、a6
a5、a6、a7
根据条件，十五个数横向为正，纵向为负，所以n≥7的命题不成立。
且当n=6时，施工顺序:3，-5，3，3，-5，3符合要求。
四、图形的结构
对于某些数学问题，根据题目已知的条件或结论，进行适当的分析和联想，构造出与条件相关或满足条件的图形，以达到解题的目的，这种方法称为构造图形法。构造图解法的本质是“化数为形”，借助图形解决问题。借助形式，充分利用图形直观的特点，尽快进入问题情境，抓住解决问题的关键，在形象思维和逻辑思维紧密结合的高度理解和分析问题，最终解决问题。构造图形是经典几何中传统的基本方程(像加辅助线也是一种构造)。图形不仅是几何问题的对象，还可以用来解决各种乍一看似乎与几何无关的问题。
例6:给定0 < x < 1，0 < y < 1，验证:
+ + + ≥2 。
解析:如果用代数不等式的知识来证明，显然是复杂的。如图2，建立了数学直观模型单位平方ABCD。
证明p是单位正方形ABCD内的任意一点，那么
PD=，
PA=
PC=
PB=
∴ PA+PC≥AC，
PD+PB≥BD，
∴ PA+PB+PC+PD≥AC+BD=2 .也就是
+ + + ≥2 。
例7:已知几何级数:，，，，…
求当n？当琼∞时，此数列前n项之和Sn的极限。
解决方案:构建如图3所示的单位正方形。把几何级数和的极限想象成图中小矩形和小正方形面积之和(阴影部分)的极限。显然，这个极限等于单位正方形的面积1。即:=1。
五、施工方程式
当遇到一些处理等价的问题或一些计算问题时，如果一个量不能或很难直接得到，就试着导出它所满足的方程，通过解方程来解决问题的方法称为结构方程法。根据问题的需要，可以利用求根法、维耶塔定理法、判别式法、方程讨论法、代数基本定理等方法解题。
例8:若a+b+c=m，++=，A，B，C不相等，证明A，B，C中必有一个等于m。
解析:若将A，B，C视为未知量，从条件可知其和为M，两两之和为ab+bc+ca=，这样在设abc后，就可以根据三次方程的维耶塔定理构造出求根的方程。
证明了如果abc=n，那么ab+bc+ca=，那么A，B，C是方程t3-mt2+ t-n=0的三个根，方程(t-m)(t2+ )=0有一个根t1=m，即A，B，C中必有一个等于m。
六、建造师
在解决一些数学问题时，利用函数的概念和性质构造一个合适的辅助函数，研究这个辅助函数性质的解题方法称为构造函数法。函数是数学知识的中心之一。方程可以看成函数值为零的情况，不等式可以看成两个函数之间的不相等关系。所以方程和不等式都是函数的特殊形式。构造函数的前提和基础是熟悉函数的概念，牢固掌握各种初等函数的性质。构造函数的过程需要我们敏锐的观察，正确的判断，合理的选择合适的函数，准确的利用函数的性质。有些数学问题可以通过将一些变化的量连接起来构造函数，然后利用函数的性质来解决；有些问题本质上与函数的某一性质有关，可以归结为研究相关函数的性质，然后构造一个辅助函数来解决问题。
例9:验证:对于所有实数x，有:
≤ ≤7
证明:构造函数y=，现在只需要证明:≤y≤7。
这其实就是求函数值域的问题，用判别法。
y(x+3x+4)=x2-3x+4
∴(y-1)x2+y+1+3x+4(y-1)= 0
X∈R，所以△≥0，即
9(y+1)2-4(y-1)2？6?14 ≥ 0，化简，得到:
7y2-50y+7≤0，即(7y-1)(y-7)≤0。
所以≤y≤7。
例10: A，B，C，D，e∈R已知且满足:
a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16
试确定e的最大值(美国第七届中学数学竞赛)；
解:因为a+b+c+d=8-e，a2+b2+c2+d2=16-e2。
根据上面的公式，构造一个系数为a，b，c，d的二次函数作为辅助工具，从中转化出e的不等式。构造一个二次函数:
f(x)= 4x 2+2(a+b+c+d)x+(a2+B2+C2+D2)
=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2≥0
由于二次函数的二次项系数为4 > 0，且f(x)≥0，则得到△≤0:4(A+B+C+D)2-16(A2+B2+C2+D2)≤0。
根据已知条件:4(8-e)2≤16(16-e2)
解:0≤e≤,当a=b=c=d时，由emax=给出
七、施工公式
例11:验证:cot？卓-8cot？切=谭？卓+2tan 2？Cut =比4？凿子
证明:尝试构造一个双角的递推公式，很容易证明。
小床？卓谭切=2cot 2？剪切(1)
递归:2cot？卓谭切=4cot 4？剪切(2)
4cot 4？卓-4tan 4？Cut =8cot 8？剪切(3)
以上公式(1)、(2)、(3)总结起来:cot？卓-8cot 8？切=谭？卓+2tan 2？Cut =比4？卓成立了。
八、结构解析公式
构造适当的关系来帮助探究解题思路的方法，叫做构造解析表达式法。这种方法往往能带来很大的便利。构造解析式的一般模式是:根据问题的特点，构造一个与之相关的关系式来代替或简化原问题，促使原问题得到彻底解决。
示例12:验证:+++…+= 2n
证明了由于方程的左边是二项式展开的系数之和，所以通过联想来构造表达式并不困难。
(a+b)2=an+an-1b +…+bn
待证方程是a=b=1时展开的特例。如果a=b=1，展开式就变成2n =+++…+，也就是证明了原来的公式。这里利用二项式定理，将问题转化为a=b=1的特例来证明，从而大大简化了问题。
九、结构顺序
解题时，根据题目的已知条件，构造适当的序列来解题的方法，称为序列构造法。构造数列方法的前提是灵活运用数列的概念和性质，找出题目的已知条件或结论与数列的关系，然后运用数列的知识解决问题。
例13:已知罪？Z +Cos？我们=，？Z ∈(0，？儿子)那科特呢？这个的价值是_ _ _ _。(1999高考题)
解:由条件罪？Z +Cos？Z =，结构等差数列:Sin？z，Cos？因此，设其容忍度d为:罪？Z = -d，Cos？Z = +d
由Sin2？Z +Cos2？据此=1，我们可以得到:
(-d)2+( +d)2=1，解为d=+
∵ 0
∴ d=-，科特？我们= = (-)/(+) =-
运用构造法解决问题没有绝对统一的通用模式，需要更多的分析、归纳和判断，能够同时激发人的思维和发散思维。构造法解题过程的一般模型是:
运用构造法的思想解决问题，需要扎实的基础知识，这就导致了他丰富的联想能力和强大的思维能力。在解题过程中，要仔细审题，弄清题的意思，借助联想构造新的数学形式，改变所问的问题。
从上面的例子不难看出，通过构造辅助问题来解决数学问题并不少见。虽然我们不能说它是万能的，但我们可以真诚地说，它是一种实用的、通用的解决问题的方法。