20世纪数学的主要分支是什么？

基础数学:

数论:经典数论、解析数论、代数数论、超越数论、模型与模函数论。

代数:线性代数群论、群表示论、李群、李代数、代数群、典型群、同调代数、代数K论、Kac-Moody代数、环论、代数、体、格、序结构、定义域论和多项式拓扑群矩阵论向量代数张量代数。

几何:(整体，局部)微分几何，代数几何，流形分析，黎曼流形与洛伦兹流形，齐次空间与对称空间，调和映射，子流形理论，杨-米尔斯场与纤维丛理论，辛流形，凸几何与离散几何欧氏几何非欧氏几何解析几何。

拓扑学:微分拓扑学、代数拓扑学、低维流形、同伦理论、奇点与突变理论、点集拓扑学、流形与腔复形的大规模分析、微分拓扑同调理论复流形。

函数论:函数逼近论。

泛函分析:(非线性)泛函分析，算子理论，算子代数，差分与泛函方程，广义函数，变分法，积分变换积分方程。

微分方程:泛函微分方程、特征与谱理论及其反问题、定性理论、稳定性理论、分岔理论、混沌理论、奇异摄动理论、动力系统、非线性椭圆(和抛物)型常微分方程、偏微分方程、微局部分析与一般偏微分算子理论、混合型及其他具有奇异性的方程、非线性发展方程、无限维动力系统。

在泛函分析中，包括卡斯帕罗夫在内的许多人的工作将连续K-理论推广到非对易。

的C*-代数格。空间中的连续函数在函数乘积的意义下构成交换代数。但是在其

在他的情况下，关于非对易情况的类似讨论自然发生，这时，泛函分析自然发生

成为了这些问题的温床。

因此，K理论是将这种简单性应用于数学的许多不同方面的另一种方式。

在每种情况下，都有许多特定于该方面的字段，并且可以与其他部分连接。

k理论不是一个统一的工具，它更像是一个统一的盒子。

框架的不同部分之间具有相似性和相似性。

Alain Connes把这项工作的许多内容推广到非交换微分几何。

非常有趣的是，就在最近，威滕通过了他在弦理论(基础物理)方面的最新想法

)发现很多有趣的方法都和K理论有关，而K理论似乎就是那些所谓的“守恒”

“量”提供了一个天然的“家”。尽管在过去同源理论被认为是这些理论的自然框架，然而，

现在看来，K-1理论可以提供更好的答案。

先说几何:欧几里德几何，平面几何，空间几何，直线几何，这都有。

一切都是线性的，并从非欧几里得几何的不同阶段到黎曼的更一般的几何，讨论了基础

它本质上是非线性的。在微分方程中，对非线性现象的真正研究已经被我们许多人处理过了。

经典方法看不到的新现象。这里我只举两个例子，孤子和混沌，这是微分方程的两个理论。

两个截然不同的方面成为本世纪极其重要和著名的研究课题。他们代表不同。

孤子代表了非线性微分方程的不可预测和有组织的行为，而混沌代表了不可预测。

无组织的行为)。的材料。他们都出现在不同的领域，非常有趣

重要，但它们的基本土壤是非线性现象。我们也可以比较早期一些关于孤子的工作。

历史可以追溯到十九世纪下半叶，但那只是一小部分。

当然，在物理学中，麦克斯韦方程(电磁学的基本方程)是线性偏微分方程，与之相对应。

杨-米尔斯方程是非线性方程，应该调节与材料结构相关的力。

这些方程是非线性的，因为杨-米尔斯方程本质上是麦克斯韦方程的矩阵体现。

而矩阵不可交换的事实导致了方程中的非线性项，所以这里我们看到一条非线性线

性和不可交换性之间有趣的关系。非对易性产生了一种特殊的非线性，这确实是有意的。

思考和平是非常重要的。

几何和代数

到目前为止，我已经谈了一些一般性的话题。现在我想讲一个数学中的二分法现象。大家说说吧。

后摆一直伴随着我们，这让我有机会做一些哲学上的事情？# # # # #怎么才能退休？打压傅霓？

几何和代数之间的二分法，这是数学的两大形式支柱，有着悠久的历史。

他的残雪可以追溯到古希腊甚至更早；代数起源于古代阿拉伯人和古印度人。因此，它

学生成了数学的基础，但他们之间有一种不自然的关系。

我先从这个问题的历史说起。. Euc1id几何是数学理论中最早的例子，直到d。

埃斯卡特斯在把代数坐标引入我们现在称之为笛卡尔平面之前，一直是纯几何的。

Rtes的做法是把几何思维变成代数运算的一种尝试。从代数的角度来看，这是当然的

对几何学的重大突破或重大影响，如果以点来比较牛顿和莱布尼茨。

分析工作，我们会发现他们属于不同的传统，牛顿基本上是一个几何学家和Le1bn。

Iz基本土是代数科学家，这有很深刻的道理。对于牛顿，几何，或者

他发展的微积分是描述自然规律的数学尝试。他关心的是广义上的。

在他看来，如果有人想要理解事物，他就必须利用物理世界。

从观点来看？# # # # #眉毛怎么了？彼得。⒄刮⒒？值得霓虹烤胍吗？⒄沟霓虹？

微积分是一种可以尽可能贴近隐藏在背后的物理内涵的表达形式，所以他用几何论证。

因为它能与现实意义保持密切的关系，另一方面，莱布尼茨有一个目标和一个抱负。

目标是把整个数学形式化，变成一个巨大的代数机器，这和牛顿的做法完全不同。

不同，他们有许多不同的标记。我们知道，牛顿和莱布尼茨之间的这一幕。

在大辩论中，莱布尼茨的记谱法最终获胜。我们还是用他的符号来写偏导数的本质牛顿。

上帝还活着，但他已经被埋葬很久了。

19世纪末，也就是一百年前，庞加莱和希尔伯特是两个主要人物。我在前面。

前面已经提到过，粗略地说，他们分别是牛顿和莱布尼茨的后代。

他的思想更多的是关于几何学和拓扑学的精神，他把这些思想作为自己基本的洞察工具。。希尔伯特更多

是一个形式主义者，他希望公理化、形式化，并给予严格的、形式化的描述。尽管

没有一个伟大的数学家可以轻易归入哪一类，但很明显，他们属于不同的类别。

传统。

在准备这份报告的时候，我想我应该把我们这一代能够继承这些传统的特点写下来。

代表人物姓名。谈论还活着的人是非常困难的——谁应该在这个名单上？然后我...

我心想:谁会介意被放在这么有名的名单的哪一边呢？所以我选了两个名字a。

Rnold Bourbaki，前者是庞加莱-牛顿传统的继承人，而后者，我认为，是希尔伯。

。阿诺德，T最著名的继承者，毫不含糊地认为他对力学和物理学的观点基本上是几何的，但是

源自牛顿；我认为有介于两者之间的东西，除了像黎曼这样的东西(他确实对两者都有偏见)

除了少数人，这是一场误会。。布尔巴基试图继续希尔伯特的形式研究，把数学

公理化和形式化已经推进到一个显著的范围，并取得了一些成功。每个观点都有其优点。

但是很难调和它们。

让我解释一下我是如何看待几何和代数的区别的。几何当然是讲空间的。

这是毫无疑问的。如果我面对这个房间里的观众，我可以在一秒或一微秒内看到它。

很多，收到了很多信息，当然，这不是偶然事件。我们大脑的结构和视觉极其相似

重要的关系。从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占据了大脑皮层的%。

八九十。大脑中大约有十七个中心，每个中心分别负责视觉活动的不同部分。

有些部分与垂直方向有关，有些部分与水平方向有关，有些部分与颜色和透视有关。

是的，最后一部分涉及到我们看到的东西的具体含义和解释。理解和感知我们看到的世界。

边界是我们人类发展和进化的一个非常重要的部分。因此，空间直觉或

空间感知是一个非常强大的工具，在数学中也被几何所占据。

重要位置，它不仅可以用于那些几何性质明显的东西，甚至可以用于那些不清楚的东西。

有几何性质的东西也可以。我们试图把它们简化成几何形式，因为这使我们能够

运用我们的直觉。我们的直觉是我们最强大的武器，尤其是在向学生或同事解释一种数学时。

可以看的很清楚。当你解释一个又长又难的论点时，你最终让学生理解了它。学生们

你说话的时候会说什么？他会说:“我明白了(我明白了)！”“看到和理解是同义词，我

学生也可以同时用“感知”这个词来描述，至少这在英语中是正确的，并把这种现象和别人进行比较。

语言对比同样有趣。我觉得有一点很基本:人类已经过了这个伟大的能力和视觉时刻。

活动获得大量信息，从而发展，教学参与其中并使之完善。

另一方面(也许有人不这么认为)，代数本质上是关于时间的。

什么样的代数是一系列的运算一个接一个地列出，意思是“一个接一个”

我们必须有时间的概念。在静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静态的。

有状态:我可以坐在这里观察，什么都没有改变，但是我可以继续观察。但是，代数和时间是有关系的。

关，这是因为我们有一系列的操作。我这里说的代数，不仅仅是指近世代数。

任何算法，任何计算过程，都给出了一系列相继的步骤，这是现代计算机的发展所做出的。

一切都很清楚。现代计算机使用一系列0和1来反映它们的信息，从而给出问题的答案。

代数涉及时间的运算，几何涉及空间。它们是世界的两个相互垂直的方面。

而且它们代表了数学中两个不同的概念，所以代数和几何在过去的数学家中是相对重要的。

性的争论或对话代表了非常非常基本的东西。

当然只是为了论证哪一方输了哪一方赢了。不值得。当我考虑这个问题时。

有一个形象的比喻:“你想做代数还是几何？”这个问题就像在问

你愿意聋还是愿意瞎？一样。如果人的眼睛是瞎的，就看不见空间；如果人们的耳朵

如果你是聋子，你就听不见。听觉及时发生。一般来说，我们宁愿两者兼得。

在物理学中，在物理概念和物理实验之间有一个类似的、大致平行的划分。物理学

学习有两个部分:理论——概念、想法、语言、法则——和实验工具。我觉得概念是在一定范围内的。

意义是几何的，因为它们涉及现实世界中发生的事情。另一方面，实验更多

就像一个代数计算，人们总是要花时间去做事情，测量一些数字，代入公式。但是现在，

实验背后的基本概念是几何传统的一部分。

把上述分叉现象用一种更哲学或者文学的语言来说，就是对于几何学家来说，代数是

就是所谓的“浮士德的奉献”。众所周知，在歌德的故事中，浮士德可以

得到他想要的(也就是美女的爱)，代价是出卖自己的灵魂，代数是魔鬼提出来的。

提供给数学家。魔鬼会说:“我会给你这个强大的机器，它可以回答你的任何问题。”。

你只需要把你的灵魂给我:放弃几何，你就会拥有这台强大的机器。

把它想象成一台电脑！).当然，我们想同时拥有它们。也许我们可以欺骗魔鬼。

假装我们出卖自己的灵魂，但并不真的付出。但对我们灵魂的威胁依然存在，因为当我们求助于它时。

在代数计算中，我们会本质上停止思考，停止用几何概念思考问题，停止思考它们的意义。

我在这里多讲一点代数，但是代数的目标总是建立一个公式。

放在一个机器里，转动手柄就能得到答案，也就是带点有意义的东西。

，把它变成一个公式，然后得到答案。在这样的过程中，人们不再需要考虑这个代数。

这些不同阶段对应的几何是什么？这样就失去了洞察力，这在那些不同的阶段是很不一样的。

重要。我们绝不能放弃这些见解！最后，我们将回到这个问题上来，这就是我所说的。

浮士德的奉献。我知道这有点尖锐。

几何和代数的这种选择导致了一些交叉学科的出现，以及代数和几何的关系

“diagra”和“Diagra”的区别并不像我说的那样直白和朴实无华。

m)。除了几何直观，图式还能是什么？

通用技术

现在不想讲太多按内容划分的话题，而是想根据已经使用的技术和实践来讲那些。

看到方法定义的主题，就是我想描述一些已经在很多领域广泛应用的常用方法。第一个

是:

同源理论

同调理论在历史上作为拓扑学的一个分支发展起来。它涉及到以下几种情况。有一个。

复杂的拓扑空间，从中我们想得到一些简单的信息，比如数洞数或者类似的东西，

得到了与之相关的一些可加线性不变量，这是线性不变量在非线性条件下的一种构造

从几何角度看，闭链可以加减，从而得到一个空间的所谓同调群。同源理论

，作为从拓扑空间中获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶被发现的。

从几何中获益良多的代数。

同调的概念还出现在其他方面，它的另一个来源可以追溯到希尔伯特和他关于多项式的理论。

在的研究中，多项式是非线性函数，可以相乘得到更高阶的多项式。是希尔伯特。

这种伟大的洞察力促使他讨论“理想”，即具有公共零点的多项式的线性组合。他想找到这个。

一些理想的发电机。可能有许多发电机。他考察了它们之间的关系以及它们之间的关系。因此

他得到了这些关系的层次谱系，也就是所谓的“希尔伯特合取”。希尔伯特的理论是

一个非常复杂的方法，他试图把一个非线性的情况(多项式研究)变成线性的情况。本质

基本上希尔伯特构建了一个复杂的线性关系系统，可以把多项式这种非线性的东西整合起来。

包括一些信息。

在拓扑学中，Hirzebruch和我复制了这些想法，并将其应用到一个纯拓扑范式中。

从某种意义上说，如果格罗滕迪克的工作与希尔伯特的工作相关联，

那么我们的工作更接近黎曼-庞加莱关于同调的工作，我们使用连续函数。

他使用了多项式。k理论在椭圆算子的指数理论和线性分析中也发挥了重要作用。

从不同的角度来看，Milnor，Quillen和其他人发展了K-理论的代数方面，这在

在数论研究中有很大的潜在应用。沿着这个方向的发展，引出了很多有趣的问题。