(5)三次样条和B样条

首先，什么是样条？是区间上的不同点。当满足以下两个条件时，称为一次样条函数。

(1)

(2)

也就是说，它是每个单元格之间的一个次多项式，整体是序连续的。注意，这里样条的定义并不要求函数值在每一点都相等。如果是，就叫样条插值函数。

于是就有了结论:

结论:由区间上的点构造的所有次样条函数的函数空间的维数。

也就是说，对于任何样条，都应该写成基函数的形式

其实根据基函数的选择，对应的样条当然是不同的，其中三次样条和B样条是最著名的。

我们考虑这种情况，而且是插值样条，也就是说，而且因为三次样条要求二阶连续，所以所有内部节点都应该要求这些点的一阶导数和二阶导数应该相等。不难发现，还缺少两个条件。这里需要边界条件，根据不同的边界条件插值样条是不同的。例如，自然样条要求边界点的二阶导数为0。

三次样条插值函数的构造方法如下:我们可以从每个区间的二阶导数开始做一次线性插值，然后根据内部条件和边界条件构造方程，最后求解一个三对角行列式。

B样条理论非常复杂，是CAGD等领域的重点研究方向。这里挖个坑，不写了。

总结:插值告一段落。我之前写的是一元函数的插值。其实多元插值在研究领域更重要，包括多元样条和有限元。从下一篇文章开始，写数值积分。