自然对数的起源

问题描述:

当X→0时，(1+1/x) x = e。

e是圆周率的近亲。

洞不可能来自风。你是怎么发现上面的？有依据吗？

分析:

圆周率是一个非常著名的数字。自从有文字记载以来，这个数字引起了外行人和学者的兴趣。圆周率作为一个非常重要的常数，最初是用来解决圆的计算问题的。基于此，尽可能准确地得到其近似值是一个极其迫切的问题。事实也是如此。千百年来，作为数学家的目标，古今中外一代又一代的数学家为此倾注了智慧和劳动。回顾历史，人类认识π的过程反映了数学和计算技术发展的一个侧面。对π的研究在一定程度上反映了这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托尔说:“历史上一个国家计算圆周率的精度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学的头号难题。为了得到圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，其历史有趣。我们可以把这个计算过程分为几个阶段。

实验时间

通过实验估算π的值，这是计算π的第一步。这种对π值的估计基本上是基于观察或实验，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量。在古代世界中，π = 3这个值实际上使用了很长时间。最早的文字记录是基督教《圣经》中的一章，在这一章中圆周率被认为是3。这段描述的事件发生在公元前950年左右。其他国家，如巴比伦尼亚、印度、中国等。，早就用上了3的粗糙，简单，实用的价值。在我国刘徽之前，“圆直径一和星期三”广为流传。中国第一部著作《周髀算经》记载了圆“周三直径为一”的结论。在我国，木匠有两个传世的公式:叫做:“三周直径为一，正方形为五，斜七”，意思是直径为1的圆是周长约为3，边长为5的正方形，对角线长约为7。这反映了早期人们对π和√2这两个无理数的粗略估计。东汉时期，政府还明确规定圆周率应以3为计算面积的标准。后来人们称之为“古率”。

早期的人们也使用其他粗糙的方法。比如在古埃及和古希腊，把谷粒放在一个圆上，通过比较谷粒的数量和正方形的数量得出数值。或者用平衡重量板把它锯成一个圆和一个正方形，通过称重来比较数值...因此，可以获得稍微好一点的pi值。比如古埃及人用4 (8/9)2 = 3.1605，用了大约四千年。在印度，公元前6世纪，π= √10 = 3.162。中国东西汉之交，新朝王莽命刘欣做一个量器——吕佳两湖。刘鑫在制造标准容器的过程中需要用到圆周率的值。为此，他还通过做实验得到了一些关于圆周率的非均匀近似。现在根据铭文计算出来的数值分别是3.1547，3.1992，3.1498，3.438+0，比古代的一周三周率有所提高。人类勘探的结果，在主要估算圆田面积时，对生产影响不大，但不适合制作器皿或其他计算。

几何方法周期

通过直观推测或物理测量计算π值的实验方法相当粗糙。

首先，阿基米德使圆周率的计算有了科学依据。他是第一个对这个常数进行科学研究的人，他首先提出了一种方法，可以通过数学过程而不是测量的方式，使π的值精确到任意精度。于是，pi计算的第二阶段开始了。

圆的周长大于内接正四边形，小于外切正四边形，所以2 √ 2 < π < 4。

当然，这是一个很糟糕的例子。据说阿基米德用一个正96边形来计算他的射程。

阿基米德寻找圆周率更精确近似值的方法体现在他的一篇论文《圆的确定》中。在这本书中，阿基米德第一次用上下界来确定π的近似值。他用几何证明了“圆的周长与圆的直径之比小于3+(1/7)大于3+(10/71)”，他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法理论上可以得到更准确的圆周率值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒密已经得出π = 3.1416，这是自阿基米德以来的巨大进步。

包皮环切。不断用勾股定理计算正N边形的边长。

在中国，数学家刘徽首先得到了更精确的圆周率。公元263年左右，刘徽提出了著名的割线术，得到π = 3.14，通常称为“徽率”。他指出这是一个近似值。虽然他提出割圆比阿基米德晚，但它的方法确实比阿基米德的方法更美。环切只是利用内接正多边形来确定圆周率的上下界，比阿基米德同时利用内接正多边形和外切正多边形要简单得多。另外，也有人认为刘辉在割圆术中提供了精彩的整理方法，以至于他通过简单加权平均得到了pi = 3927/1250 = 3.1416有四位有效数字。而这个结果，正如刘辉自己指出的，如果这个结果是通过圆切割的计算得到的，需要切割成3072个多边形。这种整理方法的效果非常好。这种神奇的精加工技术是圈切最精彩的部分，可惜因为人们对它缺乏了解，它被埋没了很久。

祖冲之的贡献恐怕你更熟悉。对此，《隋书法纪》的记载是这样记载的:“宋末，南徐州搞祖冲之更秘法。以圆直径一亿为高，周向丰数为三尺、一尺、四寸、一分、五毫米、九秒、七秒，以及三尺、一尺、四寸、五毫米、九毫米、两秒、六秒，正数介于余数和两个极限之间。密度:圆直径113，周长355。关于率，圆直径七，星期二十二。”

该记载指出，祖冲之对《圆周率》有两大贡献。一是求圆周率。

3.1415926 < π < 3.1415927

其次，得到π的两个近似分数:近似率为22/7；加密率为355/113。

他计算出的π的8位可靠数字，不仅是当时最精确的圆周率，而且保持了900多年的世界纪录。以至于有数学史家提议把这个结果命名为“祖先率”。

这个结果是怎么来的？追根溯源，祖冲之能取得这一非凡的成就，正是基于对刘徽割线技法的继承和发展。所以，我们在赞美祖冲之成就的时候，不要忘记，他的成就是因为站在了刘徽这位伟大的数学人的肩膀上而取得的。后人估算过，如果简单的通过计算内接于圆的多边形的边长得到这个结果，那么就需要计算内接于圆的多边形才能得到这么精确的值。祖冲之有没有用其他巧妙的方法来简化计算？这个不得而知，因为记录其研究成果的《篆书》早已失传。这是中国数学发展史上非常令人遗憾的事情。

中国发行的祖冲之纪念邮票

祖冲之的研究成果享誉世界:“发现宫”科学博物馆的墙上介绍着祖冲之获得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌着祖冲之的大理石雕像，月球上有以祖冲之命名的环形山...

人们通常不太注意祖冲之关于π的第二个贡献，即他用两个简单的分数，尤其是密度来近似π。然而，其实后者在数学上更重要。

密度和π之间的近似度不错，但形式简洁美观，只用了1，3，5这几个数字。数学史家梁宗举教授考证，在所有分母小于16604的分数中，没有比密度更接近π的分数。在国外，西方人得到这个结果是在祖冲之死后一千多年。

可见，提出保密率并不容易。人们自然想知道他是怎么得到这个结果的。他是怎么把圆周率从一个用小数表示的近似值变成一个近似分数的？这个问题一直为数学史家所关注。因文献失传，祖冲之解不详。后人对此进行了各种各样的推测。

我们先来看看国外历史上的作品，希望能提供一些资料。

1573年，德国人奥托得出了这个结果。他用了阿基米德的结果22/7和托勒密的结果377/120，类似于加法过程的“合成”:(377-22)/(120-7)= 355/113。

1585年，荷兰人安图奥尼用阿基米德的方法得到:333/106 < π < 377/120，并把它们作为π的母逼近，分子和分母分别平均，用加法过程得到结果:3 ((15+65438)。

虽然两人都得到了祖冲之秘息，但使用方法都是耦合，没什么道理可言。

在日本国内，17世纪-何的重要著作《围合的算法》第四卷，创立了化零术，其实质是用加法过程求近似分数。他以3和4为母近似值，连续加六次得到祖冲之的近似率，加一百一十二次得到秘密率。学生们改进了这种愚蠢的分步方法，提出了从相邻的亏和盈的近似值相加的方法(其实就是我们前面说的加法过程)。从3和4开始，第六次加法到近似率，第七次加法是25/8，最接近的22/7加法是47/15，以此类推，只要加23次。

在《中国算术史》(1931)中，钱宗炎先生提出祖冲之采用“日本调整法”或加权加法过程，由何承天首创。他构思了祖冲之秘率的过程:以157/50的徽率和22/7的近似率为母近似，计算出加法权重x=9，所以(157+22×9)/(50+7×9)= 355/1658。钱先生道:“承天之后，用其技造秘率，也有趣。”

另一种猜测是使用连分数法。

因为求两个自然数的最大公约数的多相减法技术自从《九章算术》出版以来一直很流行，用这个工具求近似分数应该是很自然的。于是有人建议祖冲之在找到多余的二进制数后，可以用这个工具，表示3。* * * * * * * *作为连分数，并得到它的渐近分数:3，22/7，333/106，355/113，6538。

最后取精度高但分子分母小的355/113作为圆周率的近似值。至于上面圆周率的渐近分数的具体解法，这里就省略了。你不妨用我们前面介绍的方法自己去问。英国的李约瑟博士持这种观点。他在《中国科学技术史》第19章几何编中谈到祖冲之的秘率时说:“秘率的分数是一个连分式渐近数，所以是一个非凡的成就。”

让我们回顾一下国外取得的成就。

1150年，印度数学家巴什加罗第二次计算出π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚的天文学家、数学家卡西写出了《圆的理论》，计算了3× 228 = 805，306，368条边内接外切的正多边形的周长，并求出了π值。他的结果是:

π=3.14159265358979325

有十七个准确的数字。这是外国第一次打破祖冲之的记录。

16世纪法国数学家吠陀用阿基米德法计算π近似值，用6×216正多边形计算π值，精确到小数点后9位。他仍然采用阿基米德的方法，但是大卫有一个比阿基米德更先进的工具:十进制位置系统。17世纪初，德国人鲁道夫几乎用了一生的时间研究这个问题。他还将新的十进制与早期的阿基米德方法结合起来，但他并不是从一个正六边形开始，把它的边数增加一倍。他从一个正方形开始，一直推导出一个有262条边的正多边形，大约4610000000000000000000000000000！这样就算出了35位小数。为了纪念他的非凡成就，德国人把圆周率称为“鲁道夫号”。但是用几何方法求其值需要大量的计算。这样计算下去，穷数学家的生活也不会有太大改善。到了鲁道夫，可以说是登峰造极，经典方法引导数学家走远了。要前进，必须在方法上有所突破。

数学分析出现在17世纪，这个利器解决了初等数学中很多无奈的问题。π的计算历史也进入了一个新的阶段。

分析周期

这一时期，人们开始摆脱复杂的多边形周长计算，用无穷级数或无穷连积来计算π。

1593，大卫给了

这个不寻常的公式是π最早的解析表达式。即使在今天，我们仍然对这个公式的美丽感到惊讶。说明π值只需用数字2就可以通过一系列的加、乘、除、开平方计算出来。

然后各种各样的表情出现了。如沃利斯1650所述:

1706年，麦金建立了一个重要的公式，现在以他的名字命名:

利用分析中的级数展开，他计算到小数点后100位数。

这种方法比可怜的鲁道夫花了大半辈子挖掘出来的35位十进制方法简单多了。显然，级数方法宣告了古典方法的过时。从此，圆周率的计算就像一场马拉松比赛，记录了一个又一个:

在1844中，闫芸芸使用了公式:

数到200。

19世纪以后，类似的公式不断涌现，π位数也迅速增加。1873年，谢可利用麦金的一系列方法和级数公式计算π到小数点后707位。他花了20年时间才获得这个前所未有的记录。他死后，人们将这一凝聚了他毕生心血的价值刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和毅力。于是他在自己的墓碑上留下了一生努力的结晶:π小数点后707位。这个惊人的结果成为了接下来74年的标准。接下来的半个世纪，人们对他的计算深信不疑，或者说即使怀疑也没有办法去检验它是否正确。以至于在1937年巴黎世博会发现厅的院子里，他算出的π值还醒目地镌刻着。

若干年后，数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑。他的怀疑是基于以下猜想:在π的值中，虽然没有规律可循，但每个数出现的几率应该是相同的。当他统计棚屋的结果时，他发现数字显得太不均衡了。所以怀疑是错误的。他用当时能找到的最先进的计算工具，从5月1944到5月1945，算了整整一年。1946，弗格森发现第528位错了(应该是4，但错了应该是5)。谢思科价值100多已经全部一笔勾销，彻底一笔勾销了可怜的谢思科和他浪费的十五年时光。

对此，曾有人嘲笑他说:数学史除了记载阿基米德、费马等人的著作，还会挤出一两行文字来描述1873年前谢可计算π到小数点后707位的事实。这样他可能会觉得自己的人生没有虚度。如果是这样，他的目的就达到了。

对于这些在地球各个角落不懈努力的人，人们感到不可理解可能是正常的。然而，对于这一点的嘲讽太过残酷。人的能力是不一样的，不能要求每个人都像费马和高斯一样。但不能成为伟大的数学家，并不意味着我们不能为这个社会做出自己有限的贡献。每个人都有自己的长处。作为一个精力充沛的计算器，谢思科愿意把大半辈子的时间都无偿地投入到这项工作中，最终为世界的知识宝库添上一砖一瓦。难道我们不应该被他的不懈努力所感染，从中得到一些启发和教育吗？

1948 65438+10月弗格森和朗奇发表了有808个正确小数的π。这是人工计算π的最高记录。

计算机时代

1946年，世界上第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史上计算机时代的开始。计算机的出现导致了计算领域的一场根本性革命。1949年，ENIAC根据Machin公式计算到2035 (2037)位小数，包括准备和排序时间在内，只用了70个小时。随着计算机的快速发展，它们的记录经常被打破。

ENIAC:一个时代的开始

1973年，有人将圆周率计算到小数点后100位，并将结果印成200页厚的书，这是世界上最无聊的书。1989突破1亿大关，1995 6月突破64亿。9月30日，1999，Abstracts报道，东京大学教授金田康正(Yasumasa Kanada)得到了20665438+5843百万的十进制数值。如果把这些数字印在A4大小的复印纸上，每页印2万个数字，那么这些纸堆起来会有500-600米。来自最新报道:金田康正(Yasumasa Kanada)用超级计算机计算出圆周率小数点后12411亿位的位数，改写了自己两年前创下的纪录。据悉，金田教授与日立公司的员工合作，使用了目前计算能力排名世界第26位的超级计算机，并使用了新的计算方法。计算这些新数字花了400多个小时，比他在1999年9月计算的2611个小数位多了6倍。圆周率小数点后第一万亿位是两位，第一万亿位是五位。如果每秒读一个数字，大概需要4万年才能读完。

不过，现在破纪录也不会特别意外，不管先进多少位。其实把π的值算的太准实际意义不大。现代科技用的十几个π值就够了。如果用鲁道夫小数点后35位的π值来计算可以环绕太阳系的圆的周长，误差不到质子直径的百万分之一。我们还可以引用美国天文学家西蒙·纽康的话来说明这种计算的实用价值:

“小数点后十位足以让地球的周长精确到一英寸以内，小数点后三十位可以让整个可见宇宙的周长精确到一个连最强大的显微镜都分辨不出的量。”

那么为什么数学家会像登山运动员一样，努力向上攀登，不断寻求而不是停止对π的探索呢？为什么它的十进制数值如此吸引人？

大概有人类的好奇心和超前他人的心态，但也有很多其他原因。

奔腾与圆周率的奇妙关系...

1，现在可以用来测试或考察超级计算机的性能，尤其是运算速度和计算过程的稳定性。这对计算机本身的改进至关重要。就在几年前，英特尔推出奔腾的时候，发现它有点小问题，是通过运行π计算发现的。这也是超高精度π计算在今天仍然具有重要意义的原因之一。

2.计算的方法和思路可以引出新的概念和思路。虽然计算机的运算速度超出了任何人的想象，但数学家仍然需要编写程序来指导计算机正确运行。其实确切的说，当我们把π的计算历史划分为一个电子计算机时期，这并不意味着计算方法的改进，而只是计算工具的一次大的飞跃。因此，如何改进计算技术，研究更好的计算公式，使公式收敛更快，很快达到更大的精度，仍然是数学家面临的重要课题。在这方面，本世纪印度的天才数学家Ramanuyan取得了一些不错的成果。他发现了很多可以快速准确计算π近似的公式。他的见解开启了更有效计算π近似的思路。现在计算机计算π值的公式就是他得出的。至于这位传奇数学家的故事，我们不想在这本小书里介绍。但是，我希望大家能明白，π的故事讲的是人类的胜利，而不是机器的胜利。

3.关于π的计算的另一个问题是:我们可以无限地继续计算吗？答案是:不会！根据Judarovsky的估计，我们最多能数出1077。虽然我们离这个极限还很远，但毕竟是一个边界。为了不受这个限制的束缚，需要在计算理论上有新的突破。上面说的计算，不管用什么公式，都要从头计算。一旦前面某个数字出错，后面的值就完全没有意义了。还记得令人遗憾的沙克斯吗？他是历史上最惨痛的教训。

4.所以，有人想，有没有可能从头开始，而是从中间开始？这个基本思想就是找到并行算法公式。1996，终于找到了圆周率的并行算法公式，但它是16的公式，所以很容易得到1000亿比特的值，但它只有16。是否存在10的并行计算公式，仍然是未来数学的一大难题。

5.作为一个无穷序列，数学家们感兴趣的是将π扩展到数亿比特，这样可以提供足够的数据来验证人们提出的一些理论问题，发现许多迷人的性质。比如π的十进制，有10个数，哪些是稀疏的，哪些是密集的？在π的数字展开中，有些数字会比其他数字出现得更频繁吗？也许它们不是完全随机的？这个想法并不无聊。只有头脑敏锐的人才会问这种看似简单的问题，很多人习惯了却不屑于问。

6.数学家弗格森最早有这个猜想:在π的数值公式中，每个数出现的概率是相同的。正是他的猜想，为发现和纠正考克斯计算π值的错误做出了巨大贡献。但是，猜想不等于现实。弗格森想测试一下，但他无能为力。后人也想验证，但也苦于已知π值位数太少。即使位数太少，人们也有理由怀疑猜测的正确性。例如，数字0很少出现在开头。前50位只有1个零，最早出现在32位。但这种现象随着数据的增加很快改变了:100位内有8个零；200位以内有19个零；.....10万位数内有999440个零；.....60亿位数内有599，963，005个零，差不多占65，438+0/65，438+00。

其他数字呢？结果显示每一个差不多都是1/10，有的多有的少。虽然有一些偏差，但都在1/10000以内。

7.人们还是想知道:π的数字扩张真的没有一定的模式吗？我们希望通过研究十进制展开式中数字的统计分布，找到任何可能的模型——如果有这样的模型，目前为止还没有找到。同时我们也想知道:π的展开是否包含无限的风格变化？或者说，会不会出现任何形式的数字排列？著名数学家希尔伯特曾在他未发表的笔记本中提出如下问题:π的十个级数中有10个9相连吗？从现在算出来的60亿数字来看，已经出现了:六个连续的9连在一起。希尔伯特问题的答案似乎是肯定的。似乎任何数字的排列都应该出现，只是什么时候。但它需要更多的π位数来提供切实的证据。

8.在这方面，有以下统计结果:60亿数字中出现了8个8；九个七；10 6;从小数位710150和3204765开始，连续有七个3；八位数* * * * * * * * *从小数点后52638开始连续出现，正好是前八位；从小数点后第2747956位开始，出现一个有趣的数列* * * * * * * * * * *，可惜前面少了一个9；还有一个更有意思的系列* * * * * * * * *也出现了。

如果继续数下去，似乎可能会出现各种类型的数值列组合。

变化:π的其他计算方法

在1777出版的《概率算术实验》一书中，布丰提出用实验方法计算π。这个实验方法的操作很简单:找一根粗细均匀、长度为D的细针，在一张白纸上画一组间隔为L的平行线(为方便起见，常取l = d/2)，然后将小针一次又一次地随意扔在白纸上。如此反复多次，统计出针与任意平行线相交的次数，就可以得到π的近似值。因为布冯自己证明了针与任意平行线相交的概率为p = 2l/π d .利用这个公式，可以用概率的方法求出圆周率的近似值。在一次实验中，他选择l = d/2，然后把针放2212次，其中针穿过平行线704次，这样圆周率的近似值为2212/704 = 3.142。当实验次数相当多时，可以得到更精确的π值。

在1850中，一个叫Wolff的人在投了5000多次后得到了一个近似值3.1596。目前声称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉斯利尼。在1901，他重复实验，做了3408次注射。π的近似值是3.1415929，精确到让很多人怀疑他实验的真实性。比如美国犹他州奥格登国立韦伯大学的L Badger就对此提出了强烈质疑。

但是，布丰实验的重要性并不在于得到比其他方法更精确的π值。布冯针问题的重要性在于，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。这种计算π的方法不仅因其新颖、奇妙而令人惊叹，而且开创了用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法解决确定性计算的先行者。

在用概率方法计算π值时，还需要提到的是，R Chatter在1904中发现，两个随机书写的数互质的概率是6/π 2。1995年4月，英国《自然》杂志发表了一篇文章，介绍了英国伯明翰阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特·马修斯如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗最亮的恒星中随机选取一对又一对，分析计算它们位置之间的角距离。他查了654.38+0万对因子，以此为基础，π的值约为3.654.38+02772。该值与真实值的相对误差小于5%