代数发展的四个阶段:算术、初等代数、高等代数和抽象代数。

算术一般是指自然数和正分数的四则运算，同时作为现代小学课程的内容，主要通过计数和测量来介绍一些简单的应用题。虽然算术的主要内容并不难，但它是数学中最古老的分支。千百年后，它作为经验逐渐积累并固化在人们的意识中。自然数是为了满足生产生活中计算和计数的需要而提出的抽象概念。除了计数要求，还计算包括长度、重量、时间在内的各种量，于是分数进一步出现。现代初等算术运算方法的发展起源于10世纪或11世纪的印度。通过阿拉伯人传播到欧洲。在15世纪，它被改造成现在的形式。19世纪中期，格拉斯曼首次成功地选择了一个定义加法和乘法运算的基本公理系统。作为逻辑的结果，算术的其他命题可以从这个系统中导出。后来皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。算术的基本概念和逻辑推理的规则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律，形成了数学其他分支最坚实的基础。

初等代数是古代算术的演变、普及和发展。在古代，当算术积累了丰富的数量问题的解法时，为了找到一种更系统、更通用的方法来解决各种数量关系问题，产生了以方程的解为中心问题的初等代数。以至于很长一段时间以来，数学家们都把代数理解为方程的科学，并把精力集中在方程的研究上。也就是说，数和字的代数运算的理论和方法，更确切地说，是多项式的代数运算的理论和方法，其研究方法是计算性的。

讨论方程，首先是如何把实际中的数量关系表示成代数表达式，并根据等价关系列出方程。代数表达式包括代数式、分式和根式。代数表达式可以进行加减乘除四则运算，也可以进行乘法和开方运算，并且遵守基本的运算规律。

在解方程问题的发展中，数系得到了扩展。算术中讨论的整数和分数的概念扩展到有理数的范围，所以初等代数可以解决更多的问题。但仍有一些方程在有理数范围内无解。于是，数的概念又一次扩展到实数，并进一步扩展到复数。

那么在复数的范围内还会有无解的方程吗，复数需要展开吗？不要！代数中的一个著名定理——代数基本定理说明一个n次方程有n个根。1742 15年2月15日，欧拉在一封信中明确阐述了代数的基本定理，德国数学王子高斯在1799年给出了严格的证明。

基于以上描述，初等代数的基本内容是:

有了以上的基本内容，我们可以看到，现代中学课程中设置了初等代数内容的学习。作为算术的延续和推广，主要问题是代数的有限次代数运算和生成方程组的求解。

解代数方程的简史；

初等代数进一步向两个方向发展:未知数较多的线性方程组；未知量较高的高阶方程。这两个方向的发展使得代数发展到了高等代数的阶段。高等代数作为代数学发展到高级阶段的总称，包括很多分支。现在大学开设的高等代数一般包括两部分:线性代数和多项式代数。

高等代数的研究对象在初等代数的基础上进一步拓展，引入了包括集合、向量、向量空间、矩阵、行列式等新概念。这些新概念具有与数相似的运算特征，但其研究方法和运算手段更为抽象和复杂。新对象的运算并不总是符号数的基本运算法则。于是代数就被纳入了代数体系，包括群论、环论、场论。其中，群论是研究数学和物理现象对称性规律的有力工具，也成为现代数学中最普遍、最重要的数学概念，在其他部门中被广泛应用。

高等代数的基本内容

多项式可以看作是一种简单函数，它的应用非常广泛。多项式理论的中心问题是代数方程根的计算和分布，也称为方程理论。多项式理论的学习主要在于讨论代数方程的性质，寻找求解的方法。

多项式代数研究的内容有整除论、最大公因式、多重因子等。整除性对于求解代数方程非常有用。求解代数方程对应的多项式的零点问题，零点不存在，对应的代数方程无解。

线性代数中最重要的概念是行列式和矩阵。行列式的概念最早是由日本数学家关晓和在1683年出版的《解题方法》一书中提出的，并有详细的描述。莱布尼茨是第一个提出行列式概念的欧洲人。1841年，德国数学家雅可比总结并提出了行列式的系统理论。

行列式有一定的计算规则，可以作为解线性方程组的工具，把一个线性方程组的解表示成一个公式，这也意味着行列式是一个数或者是一个运算。

因为行列式的行数和列数相同，所以排列的表是正方形的。通过对行列式的研究，发现了矩阵的理论。矩阵就是数组，行数和列数不要求相等。利用矩阵，可以将线性方程组中的系数形成向量空间中的向量；基于矩阵理论，多元线性方程组解的结构性问题得到了彻底解决。此外，矩阵还广泛应用于力学、物理学、科学和技术中。

抽象代数又称现代代数，其创始人之一是伽罗瓦，被誉为天才数学家。伽罗瓦通过研究代数方程根解存在所满足的条件，给出了全面而彻底的解答，解决了困扰数学家几百年的难题，提出了“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”、“伽罗瓦理论”作为近代代数研究中最重要的课题。伽罗瓦群论是公认的19世纪最杰出的数学成就之一。伽罗瓦群论也给出了判断几何图形能否用直尺画的一般方法，圆满地解决了任意角的等分和立方体相乘的问题。更重要的是，群论开辟了一个全新的研究领域，用结构研究代替了计算，改变了从强调计算研究到运用结构概念研究的思维方式，对数学运算进行了分类，使群论迅速发展成为一个全新的数学分支，对近代代数的形成和发展产生了重大影响。

1843年，汉密尔顿发明了不满足乘法交换律的“四元数”。第二年，格拉斯曼又推导出了几个更一般的代数。1857年，Gloria设计了另一个非交换矩阵代数。这些研究打开了抽象代数的大门。实际上，通过弱化或删除普通代数的某些假设，或者用其他相容的假设代替某些假设，可以得到很多种代数系统。

抽象代数的创始人和理论

抽象代数的研究对象是各种抽象的、公理化的代数系统。由于代数可以处理实数和复数之外的向量、矩阵、变换等对象，并分别依靠各自的微积分定律，数学家们对它们的共同点进行了升华和抽象，达到了抽象代数的更高层次，使之成为当代大多数数学的共同语言。抽象代数本身包含群、环、伽罗瓦理论、格理论等许多分支，并与数学的其他分支交叉产生代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。