高中数学选修课“数系的推广与复数的概念”教案。

教学目标

知识和技能

1，了解数系扩展的过程和引入复数的必要性。

2.掌握复数的相关概念和代数符号形式，复数的分类方法和复数相等的充要条件。

过程和方法

1，通过数系展开的介绍，让学生了解数系展开的一般规律。

2.通过从具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式。

情感态度和价值观

1，体验数系拓展过程中蕴含的创新精神和实践精神，感受人类理性思维的作用。

2.体验类比、分类讨论、等价变换的数学思维方法。

教学中的重点和难点

重点:引入复数及相关复数概念的必要性，复数的分类，复数相等的充要条件。

难点:虚数单位I的引入和复数的概念

教学过程

(一)问题的引入

其实x和y在实数范围内真的不存在？为什么会这样？假设x和y存在，那么它们一定是一些不是实数的数。那么，这些数字是什么？我们能解决这个问题吗？这就是我们今天要学的，数系的扩展，复数的引入。

(B)审查数字系统的扩展。

老师:其实对于这种？数量不够吗？我们对这种情况并不陌生。你还记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数字的不断膨胀。现在我们回过头来看看之前是怎么解决的。数量不够吗？的问题。

(3)类比，引入新数，扩充实数集。

1，模拟数系的展开定律，引导学生找出解法？实数不够？这个问题的解决方案

生:引入一个新数，使平方为负数。

老师:我们希望要介绍的数的平方是负数，但是负数有无穷多个。我们拒绝一下子介绍这么多，只要介绍广场就行。

2.历史再现:

3.探索复数的一般形式:

(D)新号码集复集

1.复数的定义(略)

2.复数的应用:复数广泛应用于数学、力学、电学等学科。复数与向量、平面解析几何、三角函数等密切相关。，和是进一步学习数学的基础。

(5)复数的分类

(6)复数相等的充要条件

复数等式的充要条件可以把复数等式的问题转化为解方程的问题，这是一种转化思想。

课后总结

1.由于实际需要，我们总结了数字三倍展开过程的规律。通过类比，我们引入了一个新的数I，将实数集推广到复数集，认识了复数的代数形式，讨论了复数的分类和复数相等的充要条件，利用等式条件将复数问题转化为方程组的求解。

2.那么，到底什么是复数呢？你能像实数一样在现实中找到它的影子吗？别担心，我们的探索不会停止。这是我们下次要探讨的。

课后练习

1，习题3.1一组1和2。

2.课后能不能比较一下复数的大小？为什么？(现有信息)

高中数学选修课教案2 1-2《数系的推广与复数的概念》学习目标；

1，理解引入复数的必要性；理解和掌握虚数的单位I

2.理解并掌握虚数与实数四则运算的规律。

3.理解和掌握复数的相关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部和虚部)理解和掌握复数等式的相关概念。

学习重点:

复数的概念、虚数单位I、复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相位是这节课的教学重点。

学习困难:

自主学习

一、知识复习:

数的概念是从实践中产生和发展起来的。由于计数的需要，产生了1，2及其表示。没有吗？0的数字。自然数的整体构成自然数集n为了解决计量和分配中一些量的等分问题，人们引入了分数；为了表示各种意义相反的量，满足计数的需要，人们引入了负数。从而把数集推广到有理数集Q .显然，n q .如果自然数集(包括正整数和0)和负整数集组合成整数集Z，那么就有Z Q和n z .如果把整数看成分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集。

有些量与量的比，比如测量一个正方形的对角线得到的结果，是不能用有理数来表示的。为了解决这个矛盾，引入了无理数。所谓无理数，就是无限循环小数。有理数的集合和无理数的集合合起来构成实数的集合r .因为有理数可以看作循环小数(包括整数和有限小数)，无理数是无限循环小数，所以，

由于生产和科学发展的需要，数集逐渐扩大。对于数学学科本身来说，也解决了原有数集中的一些运算永远无法实现的矛盾。分数解决的是在整数集合中不能整除的矛盾，负数解决的是在正有理数集合中不能够约的矛盾，无理数解决的是开根开不了的矛盾。但在数集展开到实数集R后，像x2=-1这样的方程仍然无解，因为没有实数的平方等于-1。由于解方程的需要，人们引入了一个新的数，叫做虚数单位，于是就产生了复数。

二、新课程研究:

1，虚数单位:

(1)其平方等于-1，即；

(2)实数可以用它进行四则运算，原来的加法和乘法定律仍然成立。

2.与-1的关系:是-1的平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-！

2.的周期性:4n+1 = i，4n+2 =-1，4n+3 =-i，4n = 1。

3.复数的定义:形状中的数称为复数，称为复数的实部，称为复数的虚部的所有复数形成的集合称为复数集，用字母c *表示

4.复数的代数形式:复数通常用字母Z表示，即a+bi的形式称为复数的代数形式。

5.复数与实数、虚数、纯虚数和0的关系:对于复数，当且仅当b=0，复数a+bi(a，B？r)是实数a；什么时候b？0，复数z=a+bi称为虚数；当a=0和b时？0，z=bi称为纯虚数；z是实数0当且仅当a=b=0。

6.复数集与其他数集的关系:N Z Q R C .

7.两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部相等，那么我们说这两个复数相等。

也就是说，如果a，b，c，d？r，那么a+bi =c+阿迪= c，b = d

复数相等的定义就是求复数的值，这是在复数集中解方程的重要依据。一般来说，两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小。比如3+5i和4+3i，大小不能比。

有个命题:？没有两个复数可以比较大小？对吗？不会，如果两个复数都是实数，就可以比较大小。只有当两个复数都不是实数时，才能比较大小。

示例说明

例1请说出复数的实部和虚部。有纯虚数吗？

答:都是虚数，实部分别是2，-3，0，-等。虚数部分是3、、-、-；-i是一个纯虚数。

例2复数-2i+3.14的实部和虚部有哪些？

答案:实部是3.14，虚部是-2。

易错:实部为-2，虚部为3.14！

例3实数m取什么值？复数z=m+1+(m-1)i为:

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

【解析】因为m？r，所以m+1和m-1都是实数，m的值可以由复数z=a+bi为实数、虚数和纯虚数的条件来确定。

解:(1)当m-1=0，即m=1时，复数Z为实数；

(2)当m-1？0，也就是m？1时，复数z为虚数；

(3)当m+1=0且m-1？0，即m=-1，复数z是纯虚数。

例4 (2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x，y？r，求x和y。

解法:根据复数相等的定义，得到方程，所以x=，y=4。

课堂整合

1.设集合C={复数}，A={实数}，B={纯虚数}。如果成套S=C，下列结论正确的是()。

A.答？B = C B A = B C A？B= D.B？B=C

2.如果复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i是虚数，那么实数x满足()。

A.x=- B.x=-2还是-C.x？-2 D.x？1和x？-2

3.复数z1=a+|b|i，z2=c+|d|i(a，B，C，D？r)，那么z1=z2的充要条件是_ _ _ _ _。

4.已知m？r，复数z= +(m2+2m-3)i，m的值是什么时候，(1)z？r；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i。

感应反射

课后探究

1，设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m？r)，如果z是纯虚数，求m的值.

2.如果方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实根，试求实数m的值.