函数形成和发展的历史

数学术语函数是莱布尼茨在1694中用来描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或曲线上的某一点。莱布尼茨所指的函数现在被称为导函数，数学家以外的普通人一般接触到的函数都属于这一类。对于一个可微函数，我们可以讨论它的极限和导数。这两者描述了函数输出值的变化与输入值的变化之间的关系，是微积分的基础。

在1718中，约翰·伯努利将函数定义为“变量的函数是指由这个变量和一个常数以任何方式组成的量。”1748年，约翰·伯努利的学生莱昂哈德·欧拉在他的著作《无穷分析导论》中说:“变量的函数是由变量和一些数字或[常数]以任何方式组成的解析表达式”。比如f(x) = sin(x)+x3。1775年，欧拉在《微分学原理》一书中提出了函数的定义:“如果某些量以下列方式依赖于其他量，即当后者发生变化时，前者本身也发生变化，那么前者的量称为后者的量的函数。”

19世纪的数学家开始规范数学的所有分支。卡尔·维尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)提出微积分应该以算术为基础，而不是以几何为基础，所以倾向于欧拉的定义。

通过扩展函数的定义，数学家可以研究一些“奇怪”的数学对象，比如非导数连续函数。这些函数一度被认为只有理论价值，但直到20世纪初，它们仍被视为“怪物”。后来，人们发现这些函数在布朗运动等物理现象的建模中发挥了重要作用。

到了19年底，数学家们开始尝试用集合论来规范数学。他们试图将每一种数学对象定义为一个集合。约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷给出了函数的现代形式定义。狄利克雷的定义将函数视为数学关系的特例。但对于实际应用，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略。