黎曼猜想简介及详细信息
相对于历经三个半世纪以上才得以解决的费马猜想和历经两个半世纪以上才得以存续的哥德巴赫猜想，黎曼猜想远非只有一个半世纪的记载，但它在数学上的重要性却远远大于这两个公众认知度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学中最重要的数学问题。目前有报道称尼日利亚的OpeyemiEnoch教授成功解决了黎曼猜想，但是克莱数学研究所既没有证实也没有否认Enoch博士正式解决了这个问题。
arxiv网站的一篇文章指出，德国数学家C.L.Siegel在1932年编纂的黎曼手稿中证明了黎曼猜想。作者根据手稿中的一个结论性公式，直接推导出ζ(s)函数在矩形区域内的所有零点都落在临界线上。
猜想的来源是黎曼猜想，是黎曼在1859年提出的。这位数学家于1826年出生在一个名叫Bre Slentz的小镇上，这个小镇现在属于德国，然后属于汉诺威王国。1859年，黎曼当选柏林科学院通讯院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定值的素数个数》的论文。这篇短短的八页纸，就是黎曼猜想的“诞生地”。
黎曼猜想研究者黎曼黎曼研究了一个数学家长期感兴趣的问题，那就是素数的分布。质数是像2，5，19，137这样除了1和它本身之外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中非常重要，因为所有大于1的正整数都可以表示为它们的乘积。从某种意义上说，它们在数论中的地位类似于用来构建物理世界一切的原子。质数的定义很简单，中学甚至小学都会教，但它们的分布却非同一般。数学家们付出了巨大的努力，但至今没有被完全理解。
黎曼论文的一个重要成果是发现了素数分布的奥秘完全包含在一个特殊函数中，特别是一系列使那个函数的值为零的特殊点对素数分布的详细规律有决定性的影响。那个函数现在叫做黎曼ζ函数，那一系列特殊点叫做黎曼ζ函数的非平凡零点。
有趣的是，虽然黎曼的文章成就显著，但文字极其简洁，甚至有点过于简洁，因为其中包括了很多“省略证明”的地方。可怕的是，本该用“省略证明”来省略显而易见的证明，但黎曼的论文没有。他的“证明省略”有些是后来的数学家花了几十年的努力才完成的，有些甚至到今天还是空白。但黎曼的论文中，除了大量的“证明被省略”之外，还有一个他明确承认自己无法证明的命题，就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年诞生以来，已经过去了150多个春秋。这期间，它就像一座巍峨的大山，吸引了无数数学家攀登，却没有人能够登顶。
当然，如果只从时间上比较，黎曼猜想的这一记录在三个半世纪后还远未得到解决，哥德巴赫猜想还屹立了两个半世纪以上。但是黎曼猜想在数学中的重要性远远超过这两个公众认知度更高的猜想。据统计，当今数学文献中基于黎曼猜想(或其扩展形式)成立的数学命题超过1000个。如果证明了黎曼猜想，那些数学命题都可以提升为定理；另一方面，如果黎曼猜想被证伪，至少那些数学命题中的一部分会和他一起陪葬。一个数学猜想与这么多数学命题密切相关，是极其罕见的。
等价定理1901赫尔格·冯·科赫指出，黎曼猜想等价于强条件的素数定理。
黎曼观察到，素数的频率与一个构造良好的所谓黎曼ζ函数ζ()的行为密切相关。黎曼假设断言方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这已经在最初的1，500，000，000个解决方案中得到验证。
黎曼ζ函数ζ(s)是一个级数表达式。
复平面上的解析延拓。
之所以要对这个表达式进行解析推广，是因为这个表达式只适用于复平面上S的实部，Re(S)>:1的区域(否则级数不收敛)。黎曼找到了这个表达式的解析延拓(当然黎曼没有使用“解析延拓”等复变函数论的现代术语)。使用路径积分，解析扩展的黎曼ζ函数可以表示为:
这里我们使用历史文献中的符号。公式中的积分实际上是围绕正实轴的一个轮廓积分(即从+∞开始，从实轴上方积分到原点附近，从原点周围积分到实轴下方，再从实轴下方积分到+∞，到实轴的距离和原点周围的半径趋于零)。根据现代数学记数法，它应该写成:
其中积分路径c与上述相同，并且围绕正实轴，这可以形象地表达如下:
公式中的γ函数γ (s)是复平面上阶乘函数的推广。对于正整数S >；1:γ(s)=(s-1)！。可以证明，除了s=1处的一个简单极点外，这个积分表达式在整个复平面上都是解析的。这是黎曼ζ函数的完整定义。
使用上面的积分表达式，可以证明黎曼ζ函数满足下面的代数关系:
从这个关系式不难发现，黎曼ζ函数在s=-2n (n为正整数)处的值为零——因为sin(πs/2)为零。复平面上使黎曼ζ函数值为零的这一点称为黎曼ζ函数的零点。所以s=-2n (n为正整数)是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序，性质简单，故称为黎曼ζ函数的平凡零点。除了这些平凡零点，黎曼ζ函数中还有许多其他零点，它们的性质远比平凡零点复杂，称为非平凡零点。
黎曼猜想提出:
黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。即方程ζ(s)=0的解的实部是1/2。
在黎曼猜想的研究中，数学家把复平面上Re(s)=1/2的直线称为临界线。利用这一项，黎曼猜想也可以表示为:黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于临界线上。
研究过程猜想验证黎曼猜想由德国数学家伯纳德于1859年提出，涉及素数分布，被认为是世界上最难的数学问题之一。三位荷兰数学家，J.van de Lune，H. J. Rielette和D.T.Winter，用计算机来检验黎曼的假设。他们测试了前2亿个同形词的零点，证明了黎曼的假设是正确的。他们在1981公布了他们的结果，他们继续用计算机测试他们下面的一些零。
世纪之谜1982 11苏联数学家马蒂·叶雪薇琪在苏联杂志《基贝里卡》上宣布，他用计算机测试了一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明问题是正确的，从而反过来支持黎曼猜想很可能是正确的。
麻省理工学院的1975莱文森证明了No (t) >: 0.3474N(T)。
1980年，中国数学家楼和对levinson的工作做了一点改进。他们证明了NO (t) >: 0.35N(T).
在C.L.Siegel在1932中发表的文章中，有如下公式:
根据该公式的几何意义和cos函数的零点性质，作者直接推导出No(T)=N(T)，证明了区域内所有零点都落在临界线上。
C.l .西格尔从黎曼的手稿中整理出四个公式，其中三个公式经常出现在文献和教科书中，但上述公式在80多年的文献中很少被提及，就连C.L .西格尔本人也对这个公式的作用感到不解。其实，只要跳出解析数论去看看黎曼的手稿，就可以清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格证明了现代的“黎曼猜想”。这可能是数学史上最大的不公。
201165438+10月17日，尼日利亚的Opeyemi Enoch教授成功解决了现有的数学难题156-黎曼猜想，获得了1万美元(约合人民币630万元)的奖金。
2000年，克莱数学研究所将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一。
2065438+2008年9月，迈克尔·阿蒂亚宣称他将证明黎曼假说，该假说将在9月24日的海德堡获奖者论坛上发表。迈克尔·阿蒂亚贴出了他的黎曼假设(猜想)证明的预印本。
研究成果2065438+2008年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚在演讲中表示，他已经证明了黎曼猜想。
在演讲过程中，Atia放出了上图，用todd函数反证法证明了所有的零都在临界线上。他发表了这篇研究论文，共5页。在这篇论文中，借助量子力学中的无量纲常数α(精细结构常数)，Atia声称已经解决了复域中的黎曼猜想。
阿蒂亚说，他想了解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数。因为精细结构常数近似等于1/137，它描述了电磁相互作用的强度。比如在氢原子中，我们可以粗略的说电子绕原子核的速度是光速的1/137倍。
阿蒂亚指出，了解精细结构常数只是最初的动机。在这个过程中发展起来的数学方法可以理解黎曼猜想。
最后，在论文的最后，Atia说精细结构常数和黎曼猜想已经用他的方法解决了。当然他只解决了复数域的黎曼猜想和有理数域的黎曼猜想，他还需要研究。另外，随着黎曼猜想的解决，Atia认为bsd猜想也有望解决。当然，现在Atia认为引力常数G是一个更难理解的常数。
在黎曼猜想中，我们看到非平凡零点的实部都等于1/2，这是一个令人惊讶的常数。虽然我们可以从一个简单的对称关系看出为什么1/2会出现。
1-s=s，所以s=1/2。
黎曼(Gee Friedrich Bernhard，1826-1866，德国数学家)是黎曼几何的创始人。博士期间，他研究复变函数。他将通常的函数概念推广到多值函数，引入了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文得到了高斯的称赞，也是他接下来十年工作的基础，包括:复变函数在阿贝尔积分和θ函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何的基础等等。
黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个结论:Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他证明失败后就放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但是这个问题至今没有解决，甚至连一个比这个假设更简单的猜想都没有被证明。函数论和解析数论中的许多问题都依赖于黎曼假设。代数数论中的广义黎曼假设影响深远。如果我们能证明黎曼假设，我们就能解决许多问题。