数学问题世界中的三大数学猜想
古希腊数学家丢番图写过一篇著名的算术a，在中世纪和文艺复兴时期的愚昧和黑暗之后，算术的残余被重新发现和研究。1637年，法国伟大的业余数学家皮埃尔·德·弗雷马特在《算术》那一页写下了一个猜想:xn+ yn =zn是不可能的(其中n大于2；x、y、z和n都是非零整数)。这个猜想后来被称为费马大定理。费马还写道，“我对此有一个绝妙的证明，但这一页的页边太窄，无法书写。”普遍认为他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经过欧拉等几代天才的努力，200年只解决了n = 3、4、5、7四种情况。1847年，库默创立了代数数论这一重要的现代学科。他还证明了费马大定理在n ~ 100时成立，除了n=37，59，67这些不规则素数，这是一个很大的飞跃。
历史上，费马大定理有过高潮，也有过传奇。其惊人的魅力在最后时刻挽救了自杀青年的生命。他就是德国的沃尔夫·斯克尔勒。1908年，他为费马大定理设立了65438+百万马克(相当于目前1600000多美元)的奖励，期限为1908-2007年。无数人耗尽了心血，留下了空洞的叹息。最现代的计算机和数学技巧已经验证了400万以内的N，但这对最后的证明毫无帮助。德国faltings在1983证明了对于任意固定的n，最多只有有限个x，y，z，震动了世界，获得了菲尔兹奖(数学最高奖)。
1986年夏天，历史发生了新的转折。贝克勒·里佩尔证明费马大定理包含在“谷山-志村猜想”中。童年痴迷于此的怀尔斯随即投身于顶楼的研究，历时7年，汇集了20世纪数论的所有突破性成果。终于在1993年6月23日，剑桥大学牛顿研究所的“世纪之言”的最后，证明了费马大定理。立刻震撼世界，和全世界一起庆祝。可惜过了几个月，渐渐发现这个证书有漏洞，一时间成为世人关注的焦点。这个证明系统是一个逻辑网络，由成千上万个深奥的数学推论连接成成千上万个最现代的定理、事实和计算组成。任何一个环节出现问题，都会导致之前的一切努力前功尽弃。诡计拼死挣扎，无路可逃。
1994年9月19日，周一早上，怀尔斯在思考的闪电中突然找到了丢失的钥匙:解决方法就在纸堆里！他热泪盈眶。怀尔斯的历史性长文《模椭圆曲线与费马大定理》发表在1995年5月的《美国数学年鉴》(第142卷)上，实际上占据了整卷，共五章，130页。1997年6月27日，怀尔斯被沃尔夫·斯克尔勒授予65438+百万马克的奖金。离截止日期10年，历史梦想实现了。还获得了沃尔夫奖(1996.3)、美国国家学院奖(1996.6)、菲尔兹特别奖(1998.8)。四色问题的内容是:“任何只有四种颜色的地图，都可以使相同边界的国家有不同的颜色。”用数学语言表达，就是“把平面随意分成不重叠的区域，每个区域总能标上1、2、3、4四个数字中的一个，而不使两个相邻的区域得到相同的数字。”
这里所说的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域仅在一点或有限数量的点处相交，则它们不相邻。因为给它们涂上相同的颜色不会造成混淆。
四色猜想是由英国提出的。1852年，毕业于伦敦大学的弗朗西斯·格思里(Francis guthrie)来到一家科研单位做地图着色时，发现了一个有趣的现象:“似乎每张地图都可以用四种颜色着色，这样同样边界的国家就用不同的颜色着色了。”这种现象可以用数学方法严格证明吗？他和正在读大学的弟弟格莱斯决心试一试。两兄弟用来证明这个问题的稿纸已经堆了一堆，但研究工作一直没有进展。
1852 10年10月23日，他的弟弟向他的老师、著名数学家奥古斯都·德·摩根请教这个问题的证明。摩根找不到解决这个问题的方法，于是他写信给他的好朋友、著名数学家威廉·汉密尔顿寻求建议。汉密尔顿收到摩尔根的信后，论证了四色问题。但是直到1865汉密尔顿去世，这个问题还是没有解决。
1872年，当时英国最著名的数学家凯利正式向伦敦数学会提出了这个问题，于是四色猜想成为世界数学界关注的问题。世界上很多一流的数学家都参加过四色猜想的大战役。在1878到1880的两年间，坎普和泰勒两位著名的律师和数学家分别提交了证明四色猜想的论文，并宣布证明了四色定理。大家都以为四色猜想从此解决了。
坎普的证明是这样的:首先指出，如果没有一个国家包围其他国家，或者不超过三个国家在一点相交，则称这个地图是“正则的”。如果是规则图，否则就是不规则图。一张地图往往由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需的颜色数量一般不会超过正规地图所需的数量。如果有一张地图需要五色，说明它的正规地图是五色的。要证明四色猜想，只要证明不存在有规律的五色地图就够了。
坎普用归谬法证明了这一点，大意是:如果有一个正则五色地图，就会有一个国家数最少的“极小正则五色地图”。如果极小正则五色图中有一个邻国少于六个的国家，那么就会有一个国家较少的正则图仍然是五色的，所以就不会有极小五色图的国家，也就不会有正则五色图。于是坎普以为自己证明了“四色问题”，但后来人们发现他错了。
但是，肯普的证明澄清了两个重要概念，为以后解决问题提供了一个思路。第一个概念是“配置”。他证明了在每个正则图中，至少一个国家有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多邻国的正则图。也就是说，一组由两个邻国、三个邻国、四个或五个邻国组成的“配置”是不可避免的，每张地图至少包含这四种配置中的一种。
坎普提出的另一个概念是可还原性。“可协商”一词的使用来自坎普的论证。他证明了五色地图中只要有一个国家有四个邻国，就会有一个国家较少的五色地图。自从“构形”和“可约性”的概念被提出以来，一些检验构形以确定它们是否可约的标准方法逐渐被发展起来，可以找到可约构形的必然群，这是证明“四色问题”的重要基础。但是要证明一个大的配置是可约的，需要查很多细节，相当复杂。
11年后，也就是1890年，年仅29岁、就读于牛津大学的赫伍德用自己的精确计算指出了坎普证明中的漏洞。他指出，坎普提出的没有最小五色地图的国家不可能有五个邻国的理由是有缺陷的。很快，泰勒的证明也被否定了。人们发现他们其实证明了一个弱命题——五色定理。也就是说，给地图涂上五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家为此绞尽脑汁，却一无所获。于是，人们开始意识到，这个看似简单的题目，其实是一个堪比费马猜想的难题。
自20世纪以来，科学家们基本上是按照肯普的想法证明四色猜想的。1913、美国著名数学家、哈佛大学boekhoff利用了Kemp的思想，结合了他的新思想；证明了一些大的构形是可约的。后来，美国数学家富兰克林在1939中证明了22个国家以下的地图可以用四种颜色着色。1950有人从22国晋级35国。1960中证明了39个国家以下的地图只用四种颜色就可以着色；然后推进到50个国家。看来这个进度还是很慢的。
高速数字计算机的发明促使更多的数学家研究“四色问题”。从1936开始研究四色猜想的Heck公开宣称，可以通过寻找可约图的必然群来证明四色猜想。他的学生图雷写了一个计算程序。Heck不仅可以用这个程序生成的数据证明构型的可约性，还可以通过将映射转化为数学上称为“对偶”的形状来描述可约构型。
他标出每个国家的首都，然后用一条穿越边境的铁路把邻国的首都连接起来。除了首都(称之为顶点)和铁路(称之为弧或边)之外，其他所有的线都被抹掉了，剩下的称为原图的对偶图。在20世纪60年代后期，Heck引入了一种类似于在电网络中移动电荷的方法来寻找不可避免的一组配置。在赫克的研究中第一次以相当不成熟的形式出现的“放电法”，是以后研究必然群的一把钥匙，是证明四色定理的一个中心要素。
电子计算机出现后，由于计算速度的快速提高和人机对话的出现，四色猜想的证明过程大大加快了。美国伊利诺伊大学的哈肯在1970开始改进“放电过程”，然后和Appel一起编了一个很好的程序。1976年6月，他们在美国伊利诺伊大学两台不同的电子计算机上，花费了1200个小时，做出了1000亿次判断，最终完成了四色定理的证明，在世界上引起了轰动。
这是100多年来吸引了众多数学家和数学爱好者的一件大事。当两位数学家发表他们的研究成果时，当地邮局给当天寄出的所有邮件盖上了“四种颜色就够了”的特别邮戳，以庆祝这一难题的解决。
“四色问题”被证明只是解决了一个持续了100多年的难题，它成为数学史上一系列新思想的起点。在“四色问题”的研究过程中，出现了许多新的数学理论，发展了许多数学计算技巧。比如把地图的着色问题变成图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”还在有效设计航空公司航班时刻表和设计计算机编码程序中发挥了作用。
然而，许多数学家并不满足于计算机所取得的成就。他们认为应该有更简单、更简洁的书面证明方法。时至今日，许多数学家和数学爱好者仍在寻找更简洁的证明方法。历史上与质数有关的数学猜想中，最著名的是“哥德巴赫猜想”。
1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在给著名数学家欧拉的一封信中提出了两个大胆的猜想:
1.任何不小于6的偶数都是两个奇素数之和；
2.任何不小于9的奇数都是三个奇素数之和。
这就是数学史上著名的哥德巴赫猜想。显然，第二个猜测是第一个猜测的推论。所以证明两个猜想中的一个就够了。
同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中明确表示，他确信哥德巴赫的两个猜想都是正确的定理，但当时欧拉无法证明。因为欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心影响了整个欧洲乃至世界的数学领域。此后，许多数学家跃跃欲试，甚至毕生致力于证明哥德巴赫猜想。然而，直到19年底，哥德巴赫猜想的证明仍无进展。哥德巴赫猜想的证明难度远超人们的想象。有数学家将哥德巴赫猜想比作“数学皇冠上的明珠”。
我们从6=3+3，8=3+5，10=5+5开始，..., 100 = 3+97 = 11+89 = 17+83, ...甚至有人把3300万以内的偶数都一一验证了，没有一个不符合哥德巴赫猜想。20世纪，随着计算机技术的发展，数学家发现哥德巴赫猜想对更大的数仍然成立。然而，自然数是无限的。谁知道在一个足够大的偶数上，会不会突然出现哥德巴赫猜想的反例？于是人们逐渐改变了探索问题的方式。
1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特在国际数学大会上将“哥德巴赫猜想”列为23个数学问题之一。此后，20世纪的数学家们“携手”向世界“哥德巴赫猜想”堡垒发起进攻，最终取得辉煌战果。
20世纪数学家研究哥德巴赫猜想的主要方法有筛法、圆法、密度法、三角求和等。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐渐接近最后的结果。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，从而圈定了攻击“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9+9”是什么？所谓“9+9”，翻译成数学语言就是:“任何一个足够大的偶数都可以表示为另外两个数的和，而这两个数中的每一个都是两个奇素数的乘积。”从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标是“1+1”。
1924年，德国数学家雷德马克证明了定理“7+7”。很快，“6+6”、“5+5”、“4+4”、“3+3”一一被抓获。1957年，中国数学家王元证明了“2+3”。1962年，中国数学家潘承东证明了“1+5”，同年与王元合作证明了“1+4”。1965年，苏联数学家证明了“1+3”。
1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，即:“任何足够大的偶数都可以表示为两个数之和，而这两个数中一个是奇素数，另一个是两个奇素数的乘积。”这个定理被世界数学界称为“陈定理”。
感谢陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想“1+1”的最终结果只有一步之遥。但为了实现这最后一步，可能需要一个漫长的探索过程。很多数学家认为，要证明“1+1”，就必须创造新的数学方法，以前的方式很可能是不可能的。