圆周率的历史和发现
古希腊欧几里得的《几何原本》(约公元前3世纪初)提到圆周率是常数，中国古代的计算书《周髀算经》(约公元前2世纪)记载圆周率是常数。历史上使用过很多圆周率的近似值，大部分是早期通过实验得到的。比如π = (4/3) 4 ≈ 3.1604取自古埃及纸莎草纸(约公元前1700年)。第一个用科学方法求圆周率的人是阿基米德。在《圆的测量》(公元前3世纪)中，他利用圆内接和外切的正多边形的周长，确定了圆的周长的上下界。从正六边形开始，他将其乘以正96边形，得到(3+(10/71))
我国数学家刘徽注释《九章算术》(263)时，仅通过将一个正多边形内接于一个圆，就得到π的近似值，还得到了精确到小数点后两位的π值。他的方法被后人称为割圆法。他使用割线技术，直到圆内接192的正多边形。
南北朝数学家祖冲之进一步得到了精确到小数点后7位的π值(约5世纪下半叶)，给出了3.1415926的不足近似和3.1415927的过度近似，还得到了两个近似分数值，即355/113的密比。在西方，秘密率直到1573年才被德国人奥托获得，并于1625年发表在荷兰工程师安图奥尼的著作中，在欧洲被称为安图奥尼率。
15世纪初，阿拉伯数学家卡西得到了圆周率的精确十进制数值17，打破了祖冲之保持了近千年的记录。
1596年，德国数学家柯伦把π值计算到小数点后20位，然后用毕生精力把它计算到1610的小数点后35位。这个数值以他的名字命名为鲁道夫数。
1579法国数学家吠陀给出了π的第一个解析表达式。
此后，无穷乘积、无穷连分数、无穷级数等π值的各种表达式相继出现，π值的计算精度也迅速提高。1706年，英国数学家麦金计算出π值，突破了100的十进制大关。1873年，另一位英国数学家让-雅克计算π到小数点后707位，但他的结果从小数点后528位开始就错了。到1948年，英国的Ferguson和美国的Ronchi公布了π的808位十进制数值，成为人工计算圆周率的最高记录。
电子计算机的出现使π值的计算有了突飞猛进的发展。从65438年到0949年，美国马里兰州阿伯丁的陆军弹道学研究实验室首次使用计算机(ENIAC)计算π值，一下子到了小数点后2037位，超过了千位数。1989年，美国哥伦比亚大学的研究人员利用Cray-2和IBM-VF巨型计算机计算π值小数点后4.8亿位，然后继续计算到小数点后101亿位，创下新纪录。
除了π的数值计算，它的性质也吸引了很多数学家。1761年，瑞士数学家朗伯首先证明了π是无理数。1794法国数学家勒让德证明了π2也是无理数。到1882，德国数学家林德曼首次证明π是超越数，从而否定了困扰人们两千多年的“化圆为方”的问题。还有人研究π的特性和它与其他数的联系。比如1929，苏联数学家格尔丰德证明eπ是超越数等等。
圆周率的计算
一直以来，很多人都致力于圆周率的研究和计算。为了计算出圆周率更好的近似值，一代又一代的数学家为这个神秘的数字贡献了无数的时间和精力。
19世纪以前，圆周率的计算进展非常缓慢。19世纪以后，计算圆周率的世界纪录频频被创新。整个十九世纪可以说是人工计算圆周率最多的世纪。
20世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了很大的进步。在超级计算机的帮助下，人们获得了圆周率的2061亿位的精度。
历史上最马拉松式的计算之一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎用了一生的时间来计算内接的262边圆，在1609中得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；第二个是英国的威廉·桑克斯，他用了15年，算出了1874中圆周率的707位小数。可惜后人从第528位就发现他错了。
这么精确的计算圆周率的值，实际意义不大。现代科技用的十几个pi值就够了。如果用Ludolph Van Ceulen计算出的35位精度pi值来计算一个可以包裹太阳系的圆的周长，误差不到质子直径的百万分之一。以前人们计算圆周率是为了探究圆周率是否循环小数。自从兰伯特在1761年证明了圆周率是无理数，林德曼在1882年证明了圆周率是超越的，圆周率的奥秘就被揭开了。
现在人们计算圆周率大多是为了验证计算机的运算能力，也是为了兴趣。
圆周率计算方法
古人一般用切圆法计算圆周率。也就是说，圆的周长由内接或外切的正多边形来近似。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后三位的精度；刘辉用正3072多边形，得到5位数精度；Ludolph Van Ceulen使用规则的262边多边形获得了35位精度。这种基于几何的算法计算量大、速度慢且费力不讨好。随着数学的发展，数学家在数学研究中有意无意地发现了很多计算圆周率的公式。下面就来介绍一些经典的常用公式。除了这些经典公式，还有很多其他的公式，以及由这些经典公式衍生出来的公式，我就不一一列举了。
1，麦金公式
这个公式是英国天文学教授约翰·麦金在1706年发现的。他用这个公式计算了100位的圆周率。Machin公式每次计算可以得到1.4位的小数精度。由于它的被乘数和被除数在计算过程中都不大于长整数，所以在计算机上很容易编程。
Machin.c源程序
类似Machin公式的反正切公式还有很多。在所有这些公式中，麦金公式似乎是最快的。尽管如此，如果我们要计算更多的数字，比如几千万，麦金公式就不够用了。下面介绍的算法，在PC上计算大约需要一天的时间，可以得到圆周率超过1亿位的精度。这些算法用程序实现起来更复杂。因为计算过程涉及两个大数的乘除运算，所以要用FFT(快速傅立叶变换)算法。FFT可以将两个大数的乘除时间从O(n2)缩短到O(nlog(n))。
2.拉马努金公式
1914年，印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金在他的论文中发表了一系列计算圆周率的***14公式，这是其中之一。这个公式每次计算可以得到8位小数的精度。1985年，Gosper用这个公式算出了圆周率的17，500，000位数。
1989，大卫&；格里高利·丘德诺夫斯基兄弟把拉马努金公式改进成:
这个公式叫做丘德诺夫斯基公式，每次计算可以得到15位的小数精度。1994年，丘德诺夫斯基兄弟用这个公式算出了40.44亿。更便于计算机编程的另一种形式的Chudnovsky公式是:
3.AGM(算术-几何平均)算法。
高斯-勒让德公式:
这个公式每次迭代都会得到双十进制精度，比如要计算654.38+0百万位，20次迭代就够了。1999年9月，高桥和金田用这种算法计算出圆周率的206，158，430，000位数，创造了新的世界纪录。
4、Borwein四次迭代:
这个公式是Jonathan Borwein和Peter Borwein在1985发表的，它四次收敛到圆周率。
这个公式，缩写为BBP公式，是由戴维·贝利、彼得·博维恩和西蒙·普劳夫在1995 * * *发表的。它打破了圆周率的传统算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不需要计算前面的n-1位。这为pi的分布式计算提供了可行性。1997，法布里贝拉德发现了一个比BBP快40%的公式: