数形结合的想法是怎么产生的？数形结合思想在国内(国外)的研究现状如何？

中学数学的基础知识分为三类:一类是纯数的知识，如实数、代数表达式、方程(组)、不等式(组)、函数等。一类是关于纯形式的知识，如平面几何、立体几何等。一个是关于数形结合的知识，主要体现在解析几何中。

数形结合是一种数学思维方法，包括“以形助数”和“以数助形”两个方面。其应用大致可分为两种情况:一种是借助形状的生动性和直观性来阐明数字之间的关系，即以形状为手段，以数字为目的，如用函数的形象直观地说明函数的性质；或者借助数字的准确性和严密性来阐明一个形状的某些性质，即以数字为手段，以形状为目的，如利用曲线的方程来准确阐明一条曲线的几何性质。

恩格斯曾说:“数学是研究现实世界中数量和空间形式之间关系的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，分析其代数意义，揭示其几何直观性，从而将数量的精确描述与空间形式的直观形象巧妙地、和谐地结合起来，充分利用这种结合，找出解决问题的方法，化繁为简。这样，问题就解决了。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙万物都是“数”与“形”矛盾的统一。

数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的形象相结合，关键是代数问题与图形的相互转化，可以使代数问题几何化、代数化。用数形结合的思想分析和解决问题时，要注意三点:一是要透彻理解一些概念和运算的几何意义和曲线的代数特征，对于数学题目中的条件和结论，要分析其几何和代数两方面的意义；二是合理设置参数，合理使用参数，建立关系，将数由数转化为形。三是正确确定参数的取值范围。

数学本身的一些知识可以看作是数形结合。比如锐角三角函数的定义是用直角三角形来定义的；用直角坐标系或单位圆定义任意角度的三角函数。