兰彻斯特方程的主要形式
公式中，α和β分别是单位时间内蓝方和红方各作战单位对对方作战单位造成伤害的次数，简称蓝方和红方伤害率系数。双方使用步兵武器直接射击时，毁伤率系数等于武器的射速乘以单发弹丸命中目标的概率与命中目标条件下毁伤目标的概率的乘积。假设交战开始时蓝方和红方的初始作战单位数为m (0) = m，n (0) = n，由上述微分方程可知，交战时双方的作战单位数符合以下状态方程:
α[M^2- m(t)^2]=β[N^2- n(t)^2]
当初始战斗单位数与交战双方的损伤率系数之间满足αm ^ 2 =βn ^ 2时，m(t)和n(t)同时趋于零，战斗无定论。当αm ^ 2
根据这个规律，如果蓝方武器系统单个作战单元的平均效率是红方的4倍，那么红方必须集中两倍于蓝方的兵力，才能抵消蓝方武器在质量上的优势。
兰彻斯特用下面的例子来说明平方律符合集中优势兵力的作战原则:“如果蓝方有1000人，红方有1000人，那么双方单个作战单位的平均战斗力是一样的，红方分成两半，各500人。假设蓝方先用1，000人攻击红方500人，蓝方以损失1.34人为代价消灭红方一半，然后蓝方再用剩下的866人消灭红方另一半。蓝方在这两场战役中共损失293人。”
通过直接求解上述微分方程，可以得到蓝色和红色力与时间的关系:
蓝色强度=A1=1000
红色强度=B1=B2=500。
运营效率=1
蓝战力=蓝力×作战效率=1000。
红色战斗力=红色武力×作战效率=500。
单位时间=1
如果蓝方1000人攻击红方500人，根据公式可以得到。
前一单轮
剩余蓝军= √蓝战斗力2-红战斗力2 = √ 750000 √ 866.02。
第二轮
剩余蓝军=√499956≈707.07
由此可见，在两军对抗中，如果武器装备落后对手水平4倍，就需要将兵力增加到4倍，以抵消对手装备造成的压力。即当双方总实力接近瓶颈时，装备质量是影响战局的主要因素。
其中ch()和sh()是双曲余弦函数和双曲正弦函数。假设红军和蓝军各自使用武器(如火炮)远距离间接向对方射击，火力集中在已知的对方作战单元的集结区域，而这个区域的大小与对方部队的数量无关。此时，一方的伤害率与对方向其开火的战斗单位数量成正比，也与防区内己方部队数量成正比。这时可以用下面的微分方程来描述双方作战单位数量随时间的变化:(t)和n(t)与平方律的含义相同。通过简单的推导可知，啮合过程中双方的力符合以下状态方程:
α[M - m(t)]=β[N - n(t)]
公式中m和n的含义与平方律相同。交战双方的平局是αM=βN，如果αM
冷兵器时代，战斗形式通常是单兵之间的一对一战斗，战斗的胜负取决于双方的战斗水平。蓝边和红边的平均伤害率取一个定值，分别用α和β表示。战斗中双方力量的变化可以用下面的微分方程来描述:
其中m(t)和n(t)的含义与平方律相同。此时交战过程中双方受力之间的状态方程与向面目标射击时线性定律所描述的状态方程完全相同。这种关系可以概括为“在士兵一对一作战的条件下，交战一方的有效战斗力与其作战单位数量与该方各作战单位平均战斗力的乘积成正比。”这就是冷兵器时代描述战斗的线性定律。
为了区分它们，有时把用冷兵器描述战斗的线性定律称为“第一线性定律”，而把用火器描述间接射击的线性定律称为“第二线性定律”。