世界上有多少古老的文化？
希腊数学的发展史可以分为三个时期。第一个时期，从爱奥尼亚学派到柏拉图学派，从公元前7世纪中叶持续到公元前3世纪。第二个时期是前亚历山大时期，从欧几里得到公元前146年，希腊被困罗马。第三个时期是亚历山大后期，由罗马人统治，到641亚历山大被阿拉伯人占领结束。
从古埃及和巴比伦的衰落到希腊文化的繁荣，这个过渡时期留下的数学史料不多。然而，希腊数学的兴起与希腊商人通过旅行接触到古代东方文化密切相关。
爱奥尼亚位于小亚细亚西海岸，比希腊其他地方更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累的经验和文化。在爱奥尼亚，氏族贵族政治被商人的统治所取代，商人具有很强的活动性，有利于思想的自由和大胆发展。城邦内部的斗争有助于摆脱传统信仰。希腊没有特别的神职，也没有必须遵循的教条，所以思想有相当程度的自由。这极大地促成了科学和哲学与宗教的分离。
米利都是爱奥尼亚最大的城市，也是公认的希腊哲学鼻祖泰勒斯的故乡。早年作为商人，他游历了巴比伦、埃及等地，很快学到了古代流传下来的知识，并将其发扬光大。后来创立了爱奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中寻求真理，以水为万物之根。
当时天文学、数学和哲学密不可分，泰勒斯也研究天文学和数学。他预言了日蚀，促使米泰(黑海和里海以南)和吕底亚(土耳其以西)停战。大多数学者认为日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及的时候，利用日影和比例关系计算出金字塔的高度，让法老大为吃惊。
泰勒斯对数学的贡献开启了命题的证明，标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这是数学史上不同寻常的一次飞跃。爱奥尼亚学派的著名学者有阿纳克尔·西曼德和阿纳克尔·西米尼。他们对后来的毕达哥拉斯影响很大。
公元前580年左右，毕达哥拉斯出生在萨摩斯。为了摆脱暴政，他搬到了意大利半岛南部的克罗顿。组织一个集政治、宗教、哲学、数学于一体的秘密社团。后来在政治斗争中被毁，毕达哥拉斯被杀，但他的学派继续存在了两个世纪。
毕达哥拉斯学派试图用数字来解释一切，不仅认为一切都包含数字，而且认为一切都是数字。他们以发现勾股定理(西方称勾股定理)而闻名，从而发现了不可公度量。
这个学派的另一个特点是算术和几何的紧密联系。他们发现了一个用三个正整数表示直角三角形三条边长的公式，并注意到连续奇数和来自1的平方数不仅是算术问题，还与几何有关。他们还发现了五个正多面体。
爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派之间存在着显著的差异。前者研究数学不仅是为了哲学兴趣，也是为了实用目的。后者则不注重实际应用，把数学和宗教联系起来，想通过数学探索永恒的真理。
公元前五世纪，雅典成为文化聚集的中心，人们崇尚开放精神。在公开的讨论或辩论中，你必须具备口才、修辞学、哲学和数学的知识，于是“智人学派”应运而生。他们教授语法、逻辑、数学、天文学、修辞学、口才等科目。
在数学上，他们提出了“三大难题”:平分任意角度；双立方体，求一个立方体，使其体积是已知立方体的两倍；把圆变成正方形，求一个正方形，使其面积等于已知的圆。这些问题的难点在于只允许用尺子(没有刻度的尺子)和圆规作图。
希腊人的兴趣不在于实际绘图，而在于在统治者的制约下从理论上解决这些问题，这是几何学从实际应用过渡到系统理论的重要一步。
这个学派的安体丰提出用“穷举法”解决化圆为方的问题，这就是现代极限理论的雏形。先将一个圆内接一个正方形，然后每次将边数增加一倍，这样就得到了8，16，32，…个多边形。安体丰深信“最后一个”多边形与圆的“差别”会“耗尽”。这为求圆的面积提供了一种近似的方法，与中国的刘徽割据思想不谋而合。
公元前三世纪，柏拉图在雅典建校，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面的作用，忽视了它的实用价值。他主张通过对几何的学习来培养逻辑思维能力，因为几何能给人强烈的直观印象，把抽象的逻辑规律体现在具体的图形中。
这所学校培养了许多数学家。比如欧多克索斯就师从柏拉图，他创立了比例理论，是欧几里得的前身。柏拉图的学生亚里士多德也是古代伟大的哲学家，形式逻辑的创始人。他的逻辑思想为以后把几何学安排在严格的逻辑体系中铺平了道路。
这一时期还有以芝诺为代表的以利亚学派，他提出了四个悖论，极大地震动了学术界。这四个悖论是:
口述，一个东西从a到b，永远无法到达。因为如果你想从A到B，你必须先走完一半的路，但如果你想走完这一半，你必须先走完一半的路，以此类推，永远。结论是，这个物体的运动受到道路无限分割的阻碍，根本无法前进；阿喀琉斯(善跑的英雄)追着乌龟说阿喀琉斯永远追不上乌龟。因为他追乌龟起点的时候，乌龟已经向前爬了一段，他追完这一段，乌龟又向前爬了一小段。如果永远这样重复下去，就永远赶不上了；飞箭是静止的，说的是箭每时每刻都在某个位置，所以不动；在操场上，芝诺证明了时间等于它的一半。
以德谟克利特为代表的原子论学派认为，线段、面积和立体是由许多不可分割的原子组成的。计算面积和体积相当于收集这些原子。这种不太严格的推理方法是古代数学家发现新结果的重要线索。
公元前四世纪以后，希腊数学逐渐从哲学和天文学中分离出来，成为一门独立的学科。数学史于是进入了一个新的阶段——初等数学时期。
这一时期的特点是数学(主要是几何)建立了自己的理论体系，从基于实验和观察的经验科学发展到演绎科学。从几个原始命题(公理)出发，通过逻辑推理得到一系列定理。这是希腊数学的基本精神。
在这个时期，初等几何和算术初等代数已普遍成为独立的学科。与17世纪出现的解析几何和微积分相比，这一时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，所以称之为初等数学时期。
埃及亚历山大港是东西水陆交通的枢纽，经过托勒密国王的运作，逐渐成为新的希腊文化中心，希腊本土现在退居次要地位。几何学首先在埃及萌芽，然后移植到爱奥尼亚，再在意大利和雅典兴盛，最后回到发源地。经过这样的修炼，已经到了林木葱郁的位置。
从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，直到罗马成为地中海地区的统治者，以亚历山大为中心的希腊数学达到全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术氛围，世界各地的学者聚集在这里进行教学和研究。其中，欧几里德、阿基米德和阿波罗尼斯是亚历山大早期的三大数学家。
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。它的伟大历史意义在于，它是最早用公理化方法建立演绎系统的范例。过去积累的数学知识是零碎的，零碎的，可以比作砖、木、石；只有借助逻辑方法，我们才能把这些知识组织起来，进行分类比较，揭示其内在联系，并按照严格的体系进行排列，从而建造出宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，对整个数学的发展产生了深远的影响。
阿基米德是物理学家和数学家。他善于将抽象的理论与工程技术的具体应用相结合，在实践中洞察事物的本质。通过严格的论证，他将经验事实转化为理论。他根据力学原理探索解决了面积和体积的问题，其中已经包含了积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。
除了这三位数学家，厄拉多塞的大地测量学和以他名字命名的“素筛”也很有名。天文学家希帕克斯制作了“弦表”，这是三角学的先驱。
公元前146年后，罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断进行发明创造。海伦(约公元62年)、墨涅拉俄斯(约公元100年)、帕普斯等人都做出了重要贡献。天文学家托勒密发挥了希帕查斯的工作，奠定了三角学的基础。
晚期希腊学者在算术和代数方面也取得了巨大成就。代表人物有尼科尔·霍斯(约公元100年)和丢番图(约公元250年)。前者来自杰拉什(今约旦北部)。《算术导论》的作者，后者的《算术》讲的是数论，大部分内容都可以归入代数的范畴。它完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响巨大，仅次于《几何原本》。
公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始把宗教作为统治的工具，把所有的学问都置于基督教神学的控制之下。
公元529年，东罗马帝国皇帝查理·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园等学校，禁止教授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯。数学研究受到了沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学就这样走到了尽头。
古希腊的自然哲学最早是由奴隶城米利都的哲学家提出来的。他们的自然观简单原始，但意义重大:打破了古希腊人关于世界起源的神话信仰，代之以纯粹理性的解释。
文献记载的最早的自然哲学家是米利都的泰勒斯(约公元前625-546)。他认为一切以地球为首的物体都不是上帝的力量产生的，而是大自然本身的过程，一切都是水产生的。这种自然哲学始于泰勒斯，认为世界是一个整体，宇宙是物质自然活动的结果。从这一传统中衍生出来的最富有成果的自然哲学就是原子论。
古代原子论者认为宇宙的基本元素是无限的、不可毁灭的、不可分割的原子。这些原子的形状和大小不同，但它们的结构相同。由于固有的运动，它们总是以不同的方式组合、分离和再组合。因此，宇宙中的每一个物体或有机物都是原子偶然聚集的产物。
居住在色雷斯海岸阿法提拉的德谟克里特斯(约公元前460-370年)将古希腊的原子论系统化。他认为，在这个宇宙中，归根结底，只有虚空和不可分割的原子；原子在虚空中不断运动，相互碰撞形成漩涡。旋涡因重量不同分为内、外两部分。中间部分的原子产生地球，而外面部分的原子产生天空、空气和火。这一思想反映了早期希腊思想中唯物主义倾向的最终结果。
原子论的基本概念是粒子在无限的虚空中运动，这已经成为现代科学中一个极其有效的假说。但是，在历史上，原子论作为一种无神论，长期受到批判和压制。直到近代才重新焕发光彩。
古希腊最著名的哲学家亚里士多德也为自然哲学的发展做出了自己的贡献。
亚里士多德师从柏拉图，但他的哲学思想与柏拉图不同。柏拉图尊重思想，而亚里士多德非常重视经验。(当然，他作为理解经验基础的概念框架与现代科学完全不同。他对生态学、物理学和天文学有着浓厚的兴趣，以傲慢的热情进行了大量的观测，留下了大量有价值的资料。他的世界观是目的论的，可以看作是柏拉图的唯心论和超验主义、原子论的机械唯物主义之间的妥协。他的哲学注重初始状态和最终状态，却忽略了过程。他认为物质和精神同等重要，是永恒的，不可或缺的，形式是一切的原因，是有目的的动力。自然界的变化都被看作是从形式到完全明显的最终状态的过渡。
亚里士多德的自然哲学是在中世纪从伊斯兰世界传入欧洲的。因为他的思想加上了基督教会的一些教条，而当时的欧洲人又渴望学习古希腊的文化，所以他的思想被当时的经院哲学家奉为权威。
古希腊另一位著名的自然哲学家是阿基米德。他是数学家和自然哲学家。是他把物理学从自然哲学的框架中解放出来，使之成为一门独立的实验科学。他不同于亚里士多德。亚里士多德虽然重视经验，但他不做任何实验，他忽视了数学的应用。阿基米德不仅做了大量的实验，而且很早就用数学作为工具证明了杠杆定理和浮力定理。他对数学在物理学中的作用的理解和现代科学家差不多。
古希腊灿烂的文明随着外族的不断入侵而衰落，其文明成果没有被当时还处于蛮荒状态的欧洲继承，而是被其东方的伊斯兰世界保存了下来。之后，物理学进入了极其缓慢甚至停滞的发展时期。
西方的古代文明起源于世界上最早的文明发源地之一爱琴海世界(亚洲大陆的克里特岛、爱琴海诸岛和小亚细亚西部在古代被称为爱琴海世界)。以爱琴海文明为起点的古希腊文明，是欧洲最早、影响最深远的古代文明之一。
爱琴海文明作为古希腊文明的前身，最早出现在公元前2000年左右克里特岛的奴隶城邦青铜时代。然后在前1600年延伸到迈锡尼，大约在公元前1100年灭亡。从此，希腊社会的发展水平倒退到氏族制度晚期的军事民主阶段，处于一个既落后又变革发展的阶段。西方人习惯称之为黑暗时代，即荷马时代，以荷马史诗命名，是这一时期的主要文献。
延续了300年的荷马时代之后，古希腊文明获得了新生。斯巴达和雅典相继建城，希腊城邦时代始于公元前800年左右。“城邦”源于古希腊词Polis (Pohris)。城邦是古希腊人典型的政治社会组织，是一项伟大的政治创举。在古代，以城市为中心的独立主权国家的城邦必须具备三个要素:城市、国家机构或国家机器、市民公社或市民大会。
公元前431年，伯罗奔尼撒战争爆发。这场持续了27年，由城邦间的矛盾引发的战争，是繁荣的古希腊文明走向衰落的起点。公元前336年，亚历山大通过军事征服建立了一个帝国。由此，城邦走向帝国。亚历山大死后，他建立的庞大帝国迅速崩溃，文明进入了一个新时代——希腊化时代。由此，希腊文明在西亚北部从希腊世界向外扩散，与古埃及和两河文明互动。
公元前281年，几个国家基本稳定的割据局面结束了亚历山大死后中央权力争夺的混乱时期。然而，战争和内部纷争导致希腊化国家迅速衰落。公元前200年罗马在巴尔干半岛扩张时，希腊的长期不统一和内部衰弱为罗马的扩张提供了绝佳的机会。最后，在公元前30年，随着希腊化东方的最后一个地区埃及被并入罗马帝国，希腊化时代结束了。