基数的历史

康托尔在介绍1874到1884最原始的集合论(现在称为朴素集合论)时，首次引入了基数概念。他首先考虑的是集合{1，2，3}和{2，3，4}，这两个集合不相同，但具有相同的基数。但是两个集合有相同数量的元素到底意味着什么呢？

康托尔的答案是所谓的一一对应，即两个集合的元素一一排列——如果能做到，两个集合的基数自然是一样的。同样的方法可以用来比较任意集合的大小，包括无限集合。

要考虑的第一个无穷集是自然数集N = {1，2，3，...}及其无限子集。他把所有对应于n个能量的集合都看作是可数集合。n的所有无限子集都可以与n一一对应。他称n的基数(读作Alev zero，Alef是希伯来语的第一个字母)，这是最少超限的基数。

康托发现原有理数集和代数数集也是可数的。于是在1874开头，他试图证明是否所有的无限集合都是可数的，后来他得出了著名的对角论证:实数集合是不可数的。实数集的基数，记为，代表连续统。

然后康托尔构造了一个更大的集合，得到了一个更大的基数，但是这些庞大集合的元素无法如实写出。因此，一般的基数理论需要一种新的语言描述，这也是康托尔发明集合论的主要原因。

康托尔接着提出了连续统假说:它是第二个超差数，也就是下一个最小的基数。许多年后，数学家发现这个假设无法被证明，即接受或否定它会导致两套不同但逻辑上可行的公理集合论。