傅立叶级数展开的实际意义

傅立叶变换是数字信号处理领域中的一种重要算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。

傅立叶原理表明，任何连续测量的时间序列或信号都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。基于该原理的傅里叶变换算法，利用直接测得的原始信号，通过累加计算出该信号中不同正弦波信号的频率、幅值和相位。

与傅立叶变换算法相对应的是傅立叶逆变换算法。这个逆变换本质上也是一个累加的过程，让单独变化的正弦波信号转换成信号。因此，可以说傅立叶变换是将原本难以处理的时域信号转化为易于分析的频域信号(信号频谱)，而这些频域信号可以通过一些工具进行处理和加工。最后，这些频域信号可以通过傅立叶逆变换转换成时域信号。

从现代数学的角度来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。它可以将满足一定条件的函数表示为正弦基函数的线性组合或积分。

在不同的研究领域，傅里叶变换有许多不同的变体，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，虽然傅立叶分析最初是作为热力过程的解析分析工具，但其思维方法仍然具有典型的还原论和分析论的特点。“任意”函数可以通过一定的分解表示为正弦函数的线性组合，正弦函数是物理学中已经得到充分研究的比较简单的函数:

1)傅立叶变换是线性算子，如果给定适当的范数，也是酉算子；

2)傅里叶变换的逆变换很好找，形式和正变换很像；

3)正弦基函数是微分运算的本征函数，使线性微分方程的求解转化为常系数代数方程的求解。线性卷积运算是一种简单的乘积运算，它提供了一种计算卷积的简单方法。

4)在离散傅里叶物理系统中，频率是一个不变的性质，因此系统对复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获得；5.著名的卷积定理指出，傅里叶变换可以转化为复变换，可以用数字计算机快速计算(其算法称为FFT)。由于上述良好的性质，傅立叶变换被广泛应用于物理、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域。

参考链接:

傅立叶级数展开的现实意义_百度文库

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